2014福建高考真题数学理(含解析).pdf

1 17 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 数数 学 学 理理科 科 第第 I 卷卷 选择题 选择题 共共 50 分 分 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 复数 32i iz 的共轭复数z等于 A 23i B 23i C 23i D 23i 2 某空间几何体的正视图是三角形 则该几何体不可能是 A 圆柱 B 圆锥 C 四面体 D 三棱柱 3 等差数列 n a的前n项和 n S 若 13 2 12aS 则 6 a A 8 B 10 C 12 D 14 4 若函数log 0 1 a yx aa 且的图像如右图所示 则下列 函数图像正确的是 5 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的S得值等于 A 18 B 20 C 21 D 40 y x 3 y logax 1 O y a x y loga x y x a y xa DCBA 3 3 1 1 O1 O 1O 11 O y x y x y x x y 2 17 6 直线 1l ykx 与圆 22 1O xy 相交于 A B两点 则 1 k 是 ABC 的面积为 1 2 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 7 已知函数 2 1 0 cos 0 xx f x xx 则下列结论正确的是 A f x是偶函数 B f x是增函数 C f x是周期函数 D f x的值域为 1 8 在下列向量组中 可以把向量 3 2 a表示出来的是 A 12 0 0 1 2 ee B 12 1 2 5 2 ee C 12 3 5 6 10 ee D 12 2 3 2 3 ee 9 设 P Q分别为 2 2 62xy 和椭圆 2 2 1 10 x y 上的点 则 P Q两点间的最大距离是 A 5 2 B 462 C 72 D 6 2 10 用a代表红球 b代表蓝球 c代表黑球 由加法原理及乘法原理 从 1 个红球和 1 个篮球中取 出若干个球的所有取法可由 11ab 的展开式1abab 表示出来 如 1 表示一个球都不 取 a 表示取出一个红球 面 ab 用表示把红球和篮球都取出来 以此类推 下列各式中 其 展开式可用来表示从 5 个无区别的红球 5 个有区别的黑球中取出若干个球 且所有的篮球都取 出或都不取出的所有取法的是 A 5 23455 111aaaaabc B 5 52345 111abbbbbc C 5 23455 111abbbbbc D 5 52345 111abccccc 第第 II 卷 非选择题卷 非选择题 共共 100 分 分 二 二 填空题填空题 本大题共 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 11 若变量 x y满足约束条件 10 280 0 xy xy x 则3zxy 的最小值为 12 在ABC 中 60 2 3AACBC 则ABC 的面积等于 13 要制作一个容器为 4 3 m 高为1m的无盖长方形容器 已知该容器的底面造价是每平方米 20 元 侧面造价是每平方米 10 元 则该容器的最低总造价是 单位 元 3 17 14 如图 在边长为e e为自然对数的底数 的正方形中随机撒 一粒黄豆 则他落到阴影部分的概率为 15 若集合 1 2 3 4 a b c d 且下列四个关系 1a 1b 2c 4d 有且只有一个是正确的 则 符合条件的有序数组 a b c d的个数是 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 16 本小题满分 13 分 已知函数 1 cos sincos 2 f xxxx I 若 0 2 且 2 sin 2 求 f 的值 II 求函数 f x的最小正周期及单调递增区间 4 17 17 本小题满分 12 分 在平行四边形ABCD中 1ABBDCD ABBD CDBD 将ABD 沿BD折起 使得平面 ABD 平面BCD 如图 I 求证 CD CD II 若M为AD中点 求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 5 17 18 本小题满分 13 分 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 I 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元 其余 3 个均为 10 元 求 顾客所获的奖励额为 60 元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 II 商场对奖励总额的预算是 60000 元 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种 球组成 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算 且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 6 17 19 本小题满分 13 分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Eab ab 的两条渐近线分别为 12 2 2lyx lyx I 求双曲线E的离心率 II 如图 O为坐标原点 动直线l分别交直线 12 l l于 A B两点 A B分别在第一 四象限 且OAB 的面积恒为 8 试探究 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E 若存在 求出双曲线E 的方程 若不存在 说明理由 7 17 20 本小题满分 14 分 已知函数 exf xax a为常数 的图像与y轴交于点A 曲线 yf x 在点A处 的切线斜率为 1 I 求a的值及函数 f x的极值 II 证明 当0 x 时 2 exx III 证明 对任意给定的正数c 总存在 0 x 使得当 0 xx 恒有 2 exxc 8 17 21 本题设有 1 2 3 三个选考题 每题 7 分 请考生任选 2 题作答 满分 14 分 如果多做 则按所做的前两题计分 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵A的逆矩阵 1 21 12 A I 求矩阵A II 求矩阵 1 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 极坐标与参数方程 已知直线l的参数方程为 2 4 xat yt t为参数 圆C的参数方程为 4cos 4sin x y 为常数 I 求直线l和圆C的普通方程 II 若直线l与圆C有公共点 求实数a的取值范围 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 已知定义在R上的函数 12f xxx 的最小值为a I 求a的值 II 若p q r 为正实数 且pqra 求证 222 3pqr 9 17 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 数数 学 学 理理科 科 参考答案参考答案 第第 I 卷卷 选择题 选择题 共共 50 分 分 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 复数 32i iz 的共轭复数z等于 A 23i B 23i C 23i D 23i 答案 C 2 某空间几何体的正视图是三角形 则该几何体不可能是 A 圆柱 B 圆锥 C 四面体 D 三棱柱 答案 A 3 等差数列 n a的前n项和 n S 若 13 2 12aS 则 6 a A 8 B 10 C 12 D 14 答案 C 4 若函数log 0 1 a yx aa 且的图像如右图所示 则下列函数图像正确的是 答案 B 5 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的S得值等于 A 18 B 20 C 21 D 40 y x 3 y logax 1 O y a x y loga x y x a y xa DCBA 3 3 1 1 O1 O 1O 11 O y x y x y x x y 10 17 答案 B 6 直线 1l ykx 与圆 22 1O xy 相交于 A B两点 则 1 k 是 ABC 的面积为 1 2 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 A 7 已知函数 0 cos 0 1 2 xx xx xf则下列结论正确的是 B xf是偶函数 B xf是增函数 C xf是周期函数 D xf的值域为 1 答案 D 8 在下列向量组中 可以把向量 2 3 a表示出来的是 B 2 1 0 0 21 ee B 2 5 2 1 21 ee C 10 6 5 3 21 ee D 3 2 3 2 21 ee 答案 B 9 设QP 分别为 26 2 2 yx和椭圆1 10 2 2 y x 上的点 则QP 两点间的最大距离是 B 25 B 246 C 27 D 26 答案 D 10 用a代表红球 b代表蓝球 c代表黑球 由加法原理及乘法原理 从 1 个红球和 1 个篮球中取 出若干个球的所有取法可由 ba 11的展开式abba 1表示出来 如 1 表示一个球都 不取 a 表示取出一个红球 面 ab 用表示把红球和篮球都取出来 以此类推 下列各式中 其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球 5 个有区别的黑球中取出若干个球 且所有的篮球都 取出或都不取出的所有取法的是 B 5 55432 111cbaaaaa B 5 54325 111cbbbbba C 55432 5 111cbbbbba D 5432 5 5 111cccccba 答案 A 三 填空题 11 若变量yx 满足约束条件 0 082 01 x yx yx 则yxz 3的最小值为 11 17 答案 1 12 在ABC 中 3 2 60 BCACA 则ABC 等于 答案 2 3 13 要制作一个容器为 4 3 m 高为m1的无盖长方形容器 已知该容器的底面造价是每平方米 20 元 侧面造价是每平方米 10 元 则该容器的最低总造价是 单位 元 答案 160 14 如图 在边长为e e为自然对数的底数 的正方形中随机撒一粒黄豆 则他落到阴影部分的概 率为 答案 2 2 e 15 若集合 4 3 2 1 dcba且下列四个关系 1 a 1 b 2 c 4 d有且只有一个是正确的 则符合条件的有序数组 dcba的 个数是 答案 6 四 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 16 本小题满分 13 分 已知函数 1 cos sincos 2 f xxxx 1 若0 2 且 2 sin 2 求 f 的值 2 求函数 f x的最小正周期及单调递增区间 解析 1 因为0 2 且 2 sin 2 所以 2 cos 2 12 17 所以 22211 22222 f II 因为 2 111cos211 sin coscossin2 sin2cos2 22222 x f xxxxxxx 2 sin 2 24 x 所以 2 2 T 由222 242 kxk 得 3 88 kxkkZ 所以 f x的单调增区间为 3 88 kkkZ 17 本小题满分 12 分 在平行四边形ABCD中 1ABBDCD ABBD CDBD 将ABD 沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如图 1 求证 CD CD 2 若M为AD中点 求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 解析 1 因为平面ABD 平面BCD 平面ABD平面BCDBD ABBD 所以AB 平 面BCD 而CD 平面BCD 所以 AB CD II 做BEBD 以点 B 为原点 BE BD BA的方向为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系 由题意 得 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 2 BDAM 1 1 1 1 0 0 0 1 1 2 2 BCBMAD 设平面MBC的法向量为 nx y z 则 13 17 0 0 n BC n BM 即 0 11 0 22 xy xy 取1 z 得平面MBC的一个法向量为 1 1 1 n 6 s i n c o s 3 nA D n A D nA D 所以 直线AD与平面MBC所成角的正弦值为 6 3 18 本小题满分 13 分 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励 规定 每位顾客从 一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球 球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额 1 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元 其余 3 个均为 10 元 求 顾客所获的奖励额为 60 元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是 60000 元 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的 4 个球 的面值给出一个合适的设计 并说明理由 解析 I i 设顾客获得 60 元奖励为事件 A 则 1 3 2 4 1 60 2 C P AP X C ii 随机变量X的所取值为 20 60 1 3 2 4 1 60 2 C P X C 2 3 2 4 1 20 2 C P X C 11 602040 22 E X II 由于用60000元奖励1000名顾客 奖金的期望值为60元 如果小球的面值为10 10 10 50 则最高奖金为 60 元 期望值不可能为 60 元 同理 小球的面值也不可能是 50 50 50 10 20 20 20 40 40 40 40 20 接下来讨论 10 10 50 50 和 20 20 40 40 两种方案 若为 10 10 50 50 则分布列为 x 20 60 100 p 1 6 2 3 1 6 E x 60 1600 3 D x 若为 20 20 40 40 则分布列为 14 17 x 40 60 80 p 1 6 2 3 1 6 E x 60 400 3 D x 所以 两种方案的期望相同 而第二种方案波动性更小 所以选择方案二 20 20 40 40 19 本小题满分 13 分 已知双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x E的两条渐近线分别为xylxyl2 2 21 1 求双曲线E的离心率 2 如图 O为坐标原点 动直线l分别交直线 21 l l于BA 两点 BA 分别在第一 四象限 且OAB 的面积恒为 8 试探究 是否存在总与直线l有且只有一个公 共点的双曲线E 若存在 求出双曲线E的方程 若不存在 说明理由 解析 I 由2 b a 得 22 22 2 4 4 5 5 bca ee aa II 由 I 得 22 4ba 所以双曲线的方程为 22 22 1 4 xy aa 设直线l的方程为xmyt 由题意 11 22 m 由 2 xmyt yx 1 2 12 t y m 同理可得 2 2 12 t y m 设直线l 与x轴交于点 C 则 0 C t 由 12 1122 8 221212 ABC tt SOCyyt mm 22 4 14 tm 15 17 由 22 22 1 4 xmyt xy aa 2222 41 84 0mymtyta 2 410 m 直线与双曲线有且仅有一个公共点当且仅当 2 2222 644 41 0 m tmta 即 2222 40 m ata 即 222222 44 14 14m 4 0 m amaa 2 4 a 因此 存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E 双曲线的方程是 22 1 416 xy 20 本小题满分 14 分 已知函数 axexf x a为常数 的图像与y轴交于点A 曲线 xfy 在点A处 的切线斜率为 1 I 求a的值及函数 xf的极值 II 证明 当0 x时 x ex 2 III 证明 对任意给定的正数c 总存在 0 x 使得当 0 xx 恒有 x cex 2 解析 I 令0 0 1 xf x fxea 0 0 11 feaa 2a 20 x fxe ln2x 当ln2x 时 0 fx f x单调递增 当ln2x 时 0 fx f x单调递减 当ln2x 时 f x取得极小值 ln2 22ln2f f x无极大值 II 令 2 x g xxe 则 2 x g xxe 由 I 可知 ln2 0 g xf xf 故 g x在 R 上单调递增 又 0 10 g 当0 x 时 0 0 g xg 即 x ex 2 III 对任意给定的正数e 取 0 4 x c 由 II 知 当0 x 时 x ex 2 所以 22 22 22 xx x xx eee 当 0 xx时 2 222 4 222 x xxxx e cc 因此对于给定的正数c 总存在 0 x 使得当 0 xx 恒有 x