高三文科数学数列专题练习

1 高三文科数学数列专题练习 1 已知数列 n anN 是等比数列 且 13 0 2 8 n aaa 1 求数列 n a的通项公式 2 求证 1 1111 321 n aaaa 3 设1log2 2 nn ab 求数列 n b的前 100 项和 1 解 1 设等比数列 n a的公比为q 则由等比数列的通项公式 1 1 n n aa q 得 3 1 31 aa q 2 8 4 2 q 又 0 22 n aq L L分 数列 n a的通项公式是 1 2 223 nn n a 分L L 123 23 1111 2 111 1111 222 1 2222 1 2 n n n aaaa L L 1 1 2n 6分L L 1 1 117 2n n 分QL L 123 1111 18 n aaaa 分LL L 2 1 32log 21219 212112 n n nn n bn bbnn b 由分 又常数 数列是首项为3 公差为2的等差数列11分 L L Q L L 数列 n b的前 100 项和是 100 100 99 100 321020012 2 S 分L L 2 2 数列 an 中 且满足常数 1 8a 4 2a 21nn aa C 1 求常数和数列的通项公式 C 2 设 201220 Taaa 3 12 nn Taaa nN 2 解 1 C2102 n an 1256 12567 1251256720 520 2 a 2 a 2SS 260 nn n Taaaaa aaaaa aaaaaaaa 3 2 2 9 5 409 5 n nnn T nnn 3 已知数列 求 n n 2 n a 2n1 n 为奇数 为偶数 2n S 1232135212462 1352 1 2 2 1 4 1 2222 37 11 34 1 42 2 41 2 3 nnnn n n n Saaaaaaaaaaaa n n n nn 3 解 4 已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根 且 n a 1 nn aax02 2 n n bxx n 1 1 a 3 1 求证 数列是等比数列 n n a2 3 1 2 求数列的前项和 n bn n S 4 解 证法 1 是关于的方程N的两根 1 nn aax02 2 n n bxx n 2 1 1 nnn n nn aab aa 由 得 n nn aa2 1 n n n n aa2 3 1 2 3 1 1 1 故数列是首项为 公比为的等比数列 n n a2 3 1 3 1 3 2 1 a1 证法 2 是关于的方程N的两根 1 nn aax02 2 n n bxx n 2 1 1 nnn n nn aab aa n n n n n n n n n a a a a 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 11 1 1 2 3 1 2 3 1 n n n n a a 故数列是首项为 公比为的等比数列 n n a2 3 1 3 1 3 2 1 a1 2 解 由 1 得 即 1 1 3 1 2 3 1 n n n a n n n a12 3 1 1 1 1 1212 9 1 n n n n nnn aab 122 9 1 12 n n nn aaaaS 321 n n 1112222 3 1 2 32 2 11 22 3 1 1 n n 4 5 某种汽车购车费用 10 万元 每年应交保险费 养路费及汽油费合计 9 千元 汽车的维修费平均为第一年 2 千 元 第二年 4 千元 第三年 6 千元 各年的维修费平均数组成等差数列 问这种汽车使用多少年报废最合 算 即使用多少年时 年平均费用最少 6 从社会效益和经济效益出发 某地投入资金进行生态环境建设 并以此发展旅游产业 根据规划 本年度投 入 800 万元 以后每年投入将比上年减少 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元 由于该项建设对旅游业 5 1 的促进作用 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 4 1 1 设 n 年内 本年度为第一年 总投入为 an万元 旅游业总收入为 bn万元 写出 an bn的表达式 2 至少经过几年 旅游业的总收入才能超过总投入 7 在等比数列 an n N 中 已知 a1 1 q 0 设 bn log2an 且 b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求数列 an bn 的通项公式 an bn 2 若数列 bn 的前 n 项和为 Sn 试比较 Sn与 an的大小 1 11 21 3 5155 6 13551321 31 3 233 2252211 1 1 1 0 log 01 1 0 60 6 log6 264 1 64 8 81 16 2 n nn nn n n aa qaqa babb baab bbbbbba aa a aaaa qqqaa qa aa q 7 解 由题设有数列是单调数列又 及知必有即 由及得即 即由得 115 2 1 4 1 16 2log5 6 2 9 2 1 5 22 9 0 0 12 47 168 1 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 7 4 4 2 1 2 4 8 nn nn n nn nnnn nnn nnn ban n bbnn bn S nSaaS nSaaS nSaaS 分 由知 当 时 当或时或或 当时 129 3 4 5 6 7 8 13 n nn nn nnaS naS 综上所述当或或 时有 当时有分 5 8 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 an是 Sn与 2 的等差中项 数列 bn 中 b1 1 点 P bn bn 1 在直线 x y 2 0 上 1 求 a1和 a2的值 2 求数列 an bn 的通项 an和 bn 3 设 cn an bn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 8 解 1 an是 Sn与 2 的等差中项 Sn 2an 2 a1 S1 2a1 2 解得 a1 2 a1 a2 S2 2a2 2 解得 a2 4 3 分 2 Sn 2an 2 Sn 1 2an 1 2 又 Sn Sn 1 an 2 Nnn an 2an 2an 1 an 0 2 2 1 Nnn a a n n 即数列 an 是等比树立 a1 2 an 2n 点 P bn bn 1 在直线 x y 2 0 上 bn bn 1 2 0 bn 1 bn 2 即数列 bn 是等差数列 又 b1 1 bn 2n 1 8 分 3 cn 2n 1 2n Tn a1b1 a2b2 anbn 1 2 3 22 5 23 2n 1 2n 2Tn 1 22 3 23 2n 3 2n 2n 1 2n 1 因此 Tn 1 2 2 22 2 23 2 2n 2n 1 2n 1 即 Tn 1 2 23 24 2n 1 2n 1 2n 1 Tn 2n 3 2n 1 6 6 9 已知数列 n a的前 n 项和为 1 1 4 n Sa 且 11 1 2 nnn SSa 数列 n b满足 1 119 4 b 且 1 3 nn bbn 2 nnN 且 求 n a的通项公式 求证 数列 nn ba 为等比数列 求 n b前 n 项和的最小值 9 解 1 由 11 2221 nnn SSa 得 1 221 nn aa 1 1 2 nn aa 2 分 1 11 1 24 n aandn 4 分 2 1 3 nn bbn 1 11 33 nn bbn 111 1111111113 3324364324 nnnnn babnnbnbn 1111 1113 1 2424 nnnn babnbn 由上面两式得 11 1 3 nn nn ba ba 又 11 1191 30 44 ba 数列 nn ba 是以 30 为首项 1 3 为公比的等比数列 8 分 3 由 2 得 1 1 30 3 n nn ba 11 1111 30 30 3243 nn nn ban 12 1 111111 30 1 30 243243 nn nn bbnn 22 11111 30 1 20 0 23323 nn n b是递增数列 11 分 当 n 1 时 1 119 4 b 0 当 n 2 时 2 3 10 4 b 0 当 n 3 时 3 510 43 b 0 所以 从第 4 项起的各项均大于 0 故前 3 项之和最小 且 3 1101 1 35 30 1041 4312 S 13 分 7 10 已知等差数列 an的前 9 项和为 153 1 求 5 a 2 若 8 2 a 从数列 an中 依次取出第二项 第四项 第八项 第2n项 按原来的顺序组成一个新的数列 cn 求数列 cn的前 n 项和Sn 10 解 1 1539 2 29 2 9 5 591 9 a aaa S 17 5 a 5 分 2 设数列 an的公差为 d 则 3 5 174 8 1 15 12 d a daa daa 23 nan 9 分 Saaaan n nn n 248 2 1 3 2482232 26n 12 分 11 已知曲线 其中为自然对数的底数 在点处的切线与轴交于点 过点作轴的C x ye e 1 Pex 1 Q 1 Qx 垂线交曲线于点 曲线在点处的切线与轴交于点 过点作轴的垂线交曲线于点 C 1 PC 1 Px 2 Q 2 QxC 2 P 依次下去得到一系列点 设点的坐标为 1 P 2 P n P n P nn xy n N 分别求与的表达式 n x n y 求 1 n ii i x y 8 11 解 x ye 曲线 在点处的切线方程为 即 C x ye 1 Pe 1yee x yex 此切线与轴的交点的坐标为 x 1 Q 0 0 点的坐标为 2 分 1 P 0 1 点的坐标为 n P nn xy n N 曲线 在点处的切线方程为 4 分C x ye n P nn xy nn xx n yeexx 令 得点的横坐标为 0y 1n Q 1 1 nn xx 数列是以 0 为首项 为公差的等差数列 n x1 8 分1 n xn 1 n n ye n N 112233 1 n iinn i x yx yx yx yx y 12341 01232 1221 1 2 234 1 1 234 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n nn n n Seeeen e eSeeeen e e Seeen e en e S ee 得到 e 14 分 12 在数列 0 2 2 2 1 11 Nnaa aa nn nnn 中 1 求证 数列 2 n n n a 是等差数列 2 求数列 n a的前 n 项和 n S 12 解 1 由 1 1 2 2 0 nn nn aanN 可得 1 1 1 22 1 nn nn nn aa 所以 2 n n n a 是首项为 0 公差为 1 的等差 数列 9 2 解 因为 2 1 n n n a n 即 1 2 nn n annN 设 231 2 2 1 nn n Tnn 341 2 2 1 nn n Tnn 当1 时 得 2341 1 1 nn n Tn 21 1 1 1 1 n n n 211212 22 1 1 1 1 1 nnnn n nnn T 13 在等差数列中 公差 且 n ad 0 5 6a 1 求的值 46 aa 2 当时 在数列中是否存在一项 正整数 使得 成等比数列 若存 3 3a n a m am 3 a 5 a m a 在 求的值 若不存在 说明理由 m 3 若自然数 为正整数 满足 使得 123t n n n n t5 1 n 2 n t n 成等比数列 当时 用 表示 3 1t 5nn a a a a 3 2a t t n 13 解 1 在等差数列中 公差 且 n ad 0 5 6a 则 3 分 54646 2aaa aa12 10 2 在等差数列中 公差 且 n ad 0 5 6a 3 3a 则 1 1 23 3 01 462 1n ad 3 d a an ad2 nN 又 则 7 分 2 35m aa a 3631 m 3 a 12 m m 9 2 3 在等差数列中 公差 且 n ad 0 5 6a 3 a2 则 1 1 2 4 46 1n ad2 d 2 a2 a2n nN ad 又因为公比首项 5 3 6 3 2 a q a 3 2a 1 2 3 t t n a 又因为 12 分 11 2442 332 t tt nttt an 2n n nN 14 已知二次函数满足条件 的最小值为 2 f xaxbx 0 1 ff f x 1 8 求函数的解析式 f x 设数列的前项积为 且 求数列的通项公式 n an n T 4 5 f n n T n a 在 的条件下 若是与的等差中项 试问数列中第几项的5 n f a n b n a n b 值最小 求出这个最小值 14 解 1 由题知 解得 故 2 分 2 0 0 1 48 ab a b a 1 2 1 2 a b 2 11 22 f xxx 2 2 2 12 4 5 nn nn Ta aa 11 2 1 1 2 1121 4 2 5 nn nn Ta aan 1 1 4 2 5 n n n n T an T 又满足上式 所以 7 分 11 1aT 1 4 5 n n anN 3 若是与的等差中项 则 5 n f a n b n a2 5 nnn f aba 从而 得 2 11 10 22 nnnn aaba 22 39 565 55 nnnn baaa 因为是的减函数 所以 1 4 5 n n anN n 当 即时 随的增大而减小 此时最小值为 3 5 n a 3 nnN n bn 3 b 当 即时 随的增大而增大 此时最小值为 3 5 n a 4 nnN n bn 4 b 又 所以 34 33 55 aa 34 bb 即数列中最小 且 12 分 n b 3 b 2 22 3 44224 56 55125 b 15 已知函数 f x x2 4 设曲线 y f x 在点 xn f xn 处的切线与 x 轴的交点为 xn 1 0 nN 用 xn表示 xn 1 若 x1 4 记 an lg 证明数列 成等比数列 并求数列 的通项公式 2 2 n n x x n a n x 若 x1 4 bn xn 2