高二(上)矩阵、行列式知识要点复习

1 矩阵 行列式复习矩阵 行列式复习 一 理解矩阵的概念并能正确的表示矩阵一 理解矩阵的概念并能正确的表示矩阵 1 矩阵的定义 1 个实数排成行列的矩形数表nm njmiaij 2 1 2 1 mn 叫做矩阵 记作 叫做矩阵的维数 mnnm n n aaa aaa aaa A 21 22212 11211 nm A nm 矩形数表叫做矩阵 矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 2 在矩阵中 水平方向排列的数组成的向量称为行向量行向量 垂直方向排列 12 n a aa 的数组成的向量称为列向量列向量 由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶阶 1 2 n b b b mnm n 矩阵矩阵 阶矩阵可记做 有时矩阵也可用 等字母表示 m n m n A AB 3 当一个矩阵中所有元素均为 0 时 我们称这个矩阵为零矩阵零矩阵 如为一个 000 000 阶零矩阵 2 3 4 当一个矩阵的行数与列数相等时 这个矩阵称为方矩阵方矩阵 简称方阵方阵 一个方阵有 行 列 可称此方阵为阶方阵阶方阵 如矩阵 均为三阶nn 512128 363836 232128 23 324 41 m n 方阵 在一个阶方阵中 从左上角到右下角所有元素组成对角线 如果其对角线的元n 素均为 1 其余元素均为零的方阵 叫做单位矩阵单位矩阵 如矩阵为 2 阶单位矩阵 矩 10 01 阵为 3 阶单位矩阵 100 010 001 5 如果矩阵与矩阵的行数和列数分别相等 那么与叫做同阶矩阵同阶矩阵 如果矩ABAB 阵与矩阵是同阶矩阵 当且仅当它们对应位置的元素都相等时 那么矩阵与矩阵ABA 叫做相等的矩阵相等的矩阵 记为 BAB 2 2 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 对于方程组中未知数的系数按原来的次序排列所得的矩阵 231 3242 44 xymz xyz xynz zyx 我们叫做方程组的系数矩阵系数矩阵 而矩阵叫做方程组 23 324 41 m n 231 3242 414 m n 的增广矩阵增广矩阵 3 矩阵的三种变换 互换矩阵的两行 把某一行同乘 除 以一个非零的数 某一行乘以一个数加到另一行 变换的目的是将线性方程组系数矩阵变为单位矩阵 其扩充矩阵的最后一列就是方 程组的解 二 掌握矩阵的加法 减法及乘法运算二 掌握矩阵的加法 减法及乘法运算 1 矩阵的和 差 当两个矩阵 A B 的行数与列数分别相同时 将它们对应位置上的元素相加 减 所 得到的矩阵称为矩阵 A B 的和 差 记作 A B A B 运算律 运算律 加法交换律 A B B A 加法结合律 A B C A B C 2 矩阵与实数的积 设为任意实数 把矩阵 A 的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵 A 与实数 的乘积矩阵 记作 A 运算律 运算律 为实数 分配律 BABA AAA 结合律 AAA 3 矩阵的乘积 一般 设 A 是阶矩阵 B 是阶矩阵 设 C 为矩阵 如果矩阵 C 中km nk nm 第 i 行第 j 列元素是矩阵 A 第 i 个行向量与矩阵 B 的第 j 个列向量的数量积 那么 C ij C 矩阵叫做 A 与 B 的乘积 记作 C AB 运算律运算律 分配律 ACABCBA CABAACB 3 结合律 BABAAB BCACAB 注 交换律不成立 即注 交换律不成立 即BAAB 三 掌握二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法 三 掌握二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法 设二元一次方程组 222 111 cybxa cybxa 其中是未知数 是未知数的系数且不全为零 是常数项 yx 2121 bbaa 21 c c 用加减消元法解方程组 当时 方程组 有唯一解 0 1221 baba 1221 1221 1221 1221 baba caca y baba bcbc x 引入记号 表示算式 即 2 1 a a 2 1 b b 1221 baba 2 1 a a 2 1 b b 1221 baba 从而引出行列式的相关概念 包括行列式 二阶行列式 行列式的展开式 行列式的值 行列式的元素 对角线法则等 记 D 2 1 a a 2 1 b b x D 2 1 c c 2 1 b b y D 2 1 a a 2 1 c c 则当 时 方程组 有唯一解 D 2 1 a a 2 1 b b 0 1221 baba 可用二阶行列式表示为 D D y D D x y x 当 D 0 时 无穷组解 0 xy DD 当 D 0 时 无解 0 0 xy Dor D 系数行列式也为二元一次方程组解的判别式 11 22 ab D ab 四 三阶行列式四 三阶行列式 1 三阶行列式的展开方法 对角线方式展开 4 按某一行 或列 展开法 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 112233122331132132112332122133132231 a a aa a aa a aa a aa a aa a a 11 a 3332 2322 aa aa 12 a 3331 2321 aa aa 13 a 3231 2221 aa aa 记 32 22 11 a a M 33 23 a a 11 11 11 1 MA 31 21 12 a a M 33 23 a a 12 A 12 21 1 M 31 21 13 a a M 32 22 a a 13 31 13 1 MA 称为元素的余子式余子式 即将元素所在的第一行 第列划去后剩下的元素按原 j M1 j a1 j a1j 来顺序组成的二阶行列式 类似可以定义其它元素的余子式 称为元素的代数余代数余 j A1 j a1 子式 子式 j j j MA 1 1 1 1 3 2 1 j 则三阶行列式就可以写成 D 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 131312121111 AaAaAa 这就是说 一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积 的和 上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式按第一行展开的展开式 类似地 若将按别的行或列的元D 素整理 同样可得行列式按任一行 列 展开式 五 用三阶行列