第三章-一元函数积分学

第三章 一元函数积分学 3 1 不定积分 不定积分是计算定积分 重积分 线面积分和解微分方程的基础 要求在掌握基本积 分法的基础上 更要注重和提高计算的技巧 一 基本概念与公式 1 1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 2 2 不定积分与微分的关系 互为逆运算 不定积分与微分的关系 互为逆运算 3 3 不定积分的性质不定积分的性质 4 4 基本积分表 基本积分表 2 2 2 2 223 1 2 223 2 max 1 d 1 max 1 1 11 1 1 1 max 1 dd 3 11 max 1 d1d 1 1 max 1 dd 3 xx xx xx xx x xxxxxC x xxxxC x xxxxxC 1求 因 当时 当时 当时 例 解 3 1 11 3 2 11 1 2 3 2 3 1 limlim 3 1 limlim 3 2 3 2 3 2 1 33 max 1 d11 2 1 33 xx xx xCxC xCxC CC CC x Cx xxxCx x Cx 由原函数的连续性 有 得 故 二 不定积分的基本方法 1 1 第一类换元法 凑微分法 第一类换元法 凑微分法 d d d f uuF uC fxxxfxxFxC 若 则 2 2 第二类换元法第二类换元法 1 0 d d xttx xttfttG t f xxftttG tCGxC 令代回 若是单调可导函数 且 又具有原函数 则有换元公式 3 3 分部积分法分部积分法 d d dd u x v xxu x v xu x v xx u vuvv u 或 4 4 有理函数的积分法有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式 5 5 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 sincos d tan 2 RxxxR u vu v x t 对于 其中 表示关于 的有理函数 可用 万 能代换 化为有理函数的积分 三 题解示例 2 22 22 2 5 sin 2 5 sin 25 sin 2 5 sin 25 sin 22 5 s arctan d 1 arctanarctan d2d2 arctand arctan 1 1 arctan sin4 d sin4 d2sin2 cos2 d 1 sin2 dsin2d 5 sin 2 2 1 2 x xx xx x x xx xx xxxx xxx xC ex x ex xexx x exxex e 2 3 求 求 例 解 例 解 2 in 2 2 2 2 22 2 3 2 2 2 222 ln 1 d 1 ln 1 d ln 1 dln 1 1 2 ln 1 3 1ln d ln 1ln1lnd d ln ln 1 x C xx x x xx xxxxx x xxC x x xx xxx x xxx x x 4 5 求 求 例 解 例 解 2 1ln1 d 1 ln ln 1 1 ln x C x x x x x x C xx sin 22 tan 22 d d d d n n tax b n ax b t cx d n x at x at R xaxbx axb R xx cxd R xaxx R xaxx 令 令 令 令 化为有理函数的积分 化为有理函数的积分 化为三角函数有 第二类换元法常用来去根号 如 式 理的积分 sec 22 d x at R xxax 令 化为三角函数有理式的积分 化为三角函数有理式的积分 3 5 6 53 2 32 32 366 d 11 1d6 d 6d d6d6 1 d6 11 2366ln 1 2131616ln 11 x xx xtxtt ttt ttttt tttt ttttC xxxxC 6求 令 则 原式 例 解 2 222 22 2222 d 1 1 d 1 2 d d 11 1 12 d2d1 ln 1 11 x I xx x Ix xx xtt t txx xtt ttttt IC tttt 7求 法一 令 则 故 例 解 2 22 2 1 1 ln2ln 1 1 1 d111 ln 224 11 22 1 ln 2 x x CxxC x x x IxxC x xxxC 法二 22222 2 22 2 dd 2 413 2 2 3 3tan2 3secd1cos d 9tan3sec9sin 1413 9sin9 2 xx I xxxxx xt t tt t ttt xx CC tx 8求 令 原式 例 解 2 2 2 22 2 2 22 2 arcsin1 d 1 arcsinsindcos d 1sin dcscddcotcot d sin2 11 cotln sin arcsinln arcsin 22 xx Ix x x xt xtxt t ttt Ittt tt tttt t t tx tttCxxxC x 9求 令 例 解 d sind cosd dsindcosdd ln d arcsin d arctan d ln arcsin arctan ax mmm ax mm nn mm nn m P x exP xax xP xbx x P xmP xuexax xbx xv P xaxbxP xxxP xx x axbxxuP 一般地 形如 的积分 其中 为次多项式 选取为 为应用分部 积分降幂 形如 的积分 选 取 为 ddxxv为应用分部积分超越函数代 数化 22 2 2 1 lnd 1 11111 lndlnd 1221211 11 ln 21 x Ixx x xxxx Ixx xxxx xx xC x 10例 解 3 2 3332 2 2 3 3 sin d sincossin dd 3 d cossin3 sinsin d cos4 sin6cos d 1 dd 1 x x x x x f xx fxx x xxxx f x xx x fxxxf xx f xx f xx xxxxxxxx xxxxxC xe Ix e e uxvx e v 11 12 已知是的一个原函数 求 求 令 则 例 解 例 解 32 22 22 2 1 1 d 1 2 1 11d 2 1 2 1 d1111 dd 1 1 1 1111 dln 1 ln 1 1 ln 1 1 111 ln 2 1 21 x xx xx xx xx x x xx x et e x ee xx I ee x tt ettttt teeC tttt exC e x Ix ee 令 故 又 所以 1 x eC 22 2 2 2 22 arcsinarccos d arccosarcsin arcsinarccosd 11 arcsinarccos arccosarcsin d 1 arcsinarccos1 arccosarcsin 11 1d 11 arcsinarcc Ixx x xx Ixxxxx xx xxxxxx xxxxxx xx xx xx 13求例 解 2 os1 arccosarcsin 2 xxxxxC 2 2 2 22 2 2 11 22 1sin d 1cos 12cossin 1 22 dsecdtand 222 2cos 2 tantandtandtan 2222 d 1 11d1 d 1 1 d 1 x xxx xxxx n n n nnn n x Iex x xx xx Iexexex x xxxx eexexeC x In xx xxx Ixnx xxx xx 14 15 求 求的递推公式为自然数 例 解 例 解 222 2 11 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 111 1 d 1 1 12 1 1 d ln1 1 11d ln 1 nn nn n nn n xxx nxn II xx xx xn II nxn x IxxC x xx IC x xx 移项得 而 有理函数的不定积分用分解为部分公式之和再分项积分是行之有效的方法 但有时计 算比较烦琐 如果针对被积函数的某种特点 可应用更简便的方法 例如 22 1 tan 2 1 11 3 dd 4 d nn n m xaxat R t R xxtxt xnt x xxat xa 被积函数分母中出现因子时 宜用代换 当被积函数分子为 分母为较高次数的多项式时 往往可采用倒代换化 为假分式 形如的积分可通过代换化为 形如的积分宜用代换 23 tan 4 23 2 22 d 1 d311 cosdsin2sin4 1 8432 3 53 arctan 88 1 xt x x x t ttttC x xx xC x 16求例 解 82 891012 82282 8 642 22 753 753 d 1 1 1 1 1 10 1 d1d 11 111 arctan 753 11111 arctan 753 x I xx AA xAAA xxxxxx x t t Ittttt tt tttttC C xxxxx 17 求 若将被积函数分解成部分分式之和 需确定个常数 令 则 例 解 2 100 2 1 9899100 100 d 1 21d d2dd x t x Ix x tt Ittttttt t 18 令 求例 解 979899 979899 111 974999 111 97 1 49 1 99 1 tttC C xxx 三角函数有理式的不定积分通过万能变换 tan 2 x u 总可化为有理函数积分 但有时 很繁 可用如下代换 1 sincos sincos cos 2 sincos sincos sin 3 sincos sincos tan RxxRxxtx RxxRxxtx RxxRxxtx 当 时 可用代换 当 时 可用代换 当 时 可用代换 44 1 19d sincos Ix xx 例 44 42 244 2 1 d sincos sincos sincos tan sec111 ddd tan11 1 2 1 11tan1 arctanarctan 2222 tan Ix xx RxxRxxtx xt Ixtt xtt t t t x t CC x 19求 因 故令 例 解 4 1 4 42422 23 2 3 1 d sincos sincos sincos sin cosd dd sin 1sin 1 1 1111 1dln 1322 1111sin ln 3sinsin21sin u t Ix xx RxxRxxux xut Ixt xxuut t ttttC tt x C xxx 20 令 求 因 故令 例 解 7sincos d 3sin4cos xx Ix xx 21求例 sincos 7sincos 3sin4cos 3sin4cos 34 sin 43 cos 347 431 1 1 3sin4cos 3sin4cos dln 3s 3sin4cos xx xxAxxBxx ABxABx AB AB A B xxxx Ixx xx 被积函数的特点是分子 分母均为和的线性组合 不一定用 万能变换 可用待定系数法 令 故有 解得 所以 解 in4cos xxC 杂例 22 2222 2 222 1d 1 1 ln 1 ln 1 1 2211 d2d 1111 11 2lnarctan 21 1 n12arctan 1 1dd d 111 x x x x x xx x xxx xxx e Ix e e t xtt e tt Ittt tttt t tC t e eeC e eee Ix eee 22求 法一 令 则 法二 例 解 2 ln1arcsin xxx eeeC lnln 1ln d d ln x xxxxx Ixxx IexxeCxC 23求例 解 2 3 222 32 2 d dd 1 d 2 f xfx fx Ix fxfx f x fxfx fxf xfxf x fx Ixx fxfxfx f xf xf x C fxfxfx 24求例 解 22 22222 2 3 2 2 sin cos2tan 01 sin sin d sin cos2tan d sin cos2tan sin d 1sin cos2 d cos2 2d 2cos 11 cos 22dcos2 cos dcos 4cos 1 cos 22ln cos 4 fxxxf xx fxfxxxxx xxx x x xxx x xxxx x xx 25设 求 法一 因 例 解 2 24 22 1 2 22 2 cos 3 ln 1sin sin 4 3 ln 1 ln 1 4 sin sin 12sin 1sin 1 122 11 xC xxC f xxxCxxC x fxx x x fxxx xx 所以 法二 因 故 2 1 2dln 1 1 f xxxxxC x 从而 3 2 定积分 一 重要概念及公式 1 1 定积分定义定积分定义 0 1 1 1 0 1 dlim dlim 0 1 1 dlim n b ii a i i i n b an i n n i f x f xxfx f x a ba bn baba f xxfai nn ab i f xxf nn 若可积则 注 定积分的存在与区间的分法和的取法无关 仅与被积函数与区 间有关如果把分成等份 取每个小区间的右端点 则有 特别地 若则有 2 2 定定 积分的性质积分的性质 略 d d 1 d bb aa b a f xC a bg xC a b a b f x g xxfg xx g x f xC a ba b f xxfba 积若且不变号 则 使 特别地 取则有 积若则使 分第一中值定理 分中值定理 3 3 积分上限函数的导数积分上限函数的导数 d d d x a fC a bf ttf xaxb x 若则 d d d u x v x f ttu x f u xv x f v x x 一般地 4 4 Newton Leibniz 公式公式 d b b a a fC a bF xf xa b f xxF xF bF a 若是在上的原函数则 5 5 定积分的换元公式和分部积分公式定积分的换元公式和分部积分公式 d d d d b a bb b a aa fC a bCab f xxfttt u xv xu x v xv xu x 若或且则 6 6 反常积分反常积分 定义略 反常积分是常积分的极限问题 7 7 一些常用的公式一些常用的公式 0 22 00 2 00 2 000 2 d d 0 0 1 sin d cos d sin d2 sin d sin d sin d sin d 2 0 a a a fCa a f xxf x f xx f x fC fxxfxx fxxfxx x fxxfxxfxx fCf xlf xl 若则 当是偶函数 当是奇函数 若则 若 0 0 d d d d Cauchy Schwarz a ll a a nll a f xxf xxa f xxnf xxakZ f gC a b 则 为常数 为常数 不等式若则 2 22 d d d baa abb f x g xxfxxgxx 二 利用定积分的定义计算数列的极限 1 1 1 00 1 ln 1 ln 1 d 1 ln 1 2ln2 1 1 2 2 lim 12 lim111lime 4 eee e n i n n i nn n nn xx xxx nnn n n nnn 1 求极限 原式 例 解 11 1 1 0 0 1 1 2 sinsinsin lim 11 1 2 2 sinsinsin 11 sinsin 11 11 2 112 limsinsindcos 1 limsinlim 1 n nn ii n n i n nn i n nnn n nn n n nii nnn nnnnnn nn n i x xx nn nin nnn 2 求极限 因 又 例 解 1 12 limsin 1 2 sinsinsin 2 lim 11 1 2 n n i n i nnn n nnn n nn n 由夹逼准则知 三 利用定积分的几何意义和定积分的性质 1 23 0 0 0 d 1 2 b a a bf xfxfxSf xx Sf b baSf af bba 3设在闭区间上记 则 例 213 d d d D bbb aaa yf xa bx a b f bf a f bf xf axa ba f bf a f bxf xxf axax ba SSS 由已知条件 曲线在闭区间上是位于由上方的单调下 降的 向上 凹弧 故在上 从而有 即故选 解 2 sin 222 sinsinsin2 000 2 sin2sin2 0 0 sinsinsin esin d A B C D esin decosecosd ecosd0 0 2 ecos0 esin desin desin d x t x ttt tt ttt F xt t F xt ttt t t tt F xt tt tt 4设则 为正常数 为负常数 恒为零 不为常数 因 因在上 或 例 解 0 sinsin 00 sinsin 0 sinsin esin desin d eesin d0 0 ee sin0 A ut ut tt tt t u ut t t t t 前一式令 因在上 故选 44 12 00 12122121 tan dd tan A 1 B 1 C 1 D 1 xx Ix Ix xx IIIIIIII 5设 则 例 12 2 222 tan 0 tan 4tan tansectansin cos 00sin cos xx xxxII xx xxxxxxx xxx xxxx 当时因故从而又 因当时 故 解 4 44 1 00 tantan4 0 4 tan4 dd1 B x xx x xx x Ixx x 从而 故选 四 积分上限函数的导数的应用 2 0 1 02 0 22 002 00 00 2 00 d 0 0 0 0 lim d 2 2 limlim 2 d 2 d 4 4 limlim 3 3 lim lim 0 x x x xx xx xx xx f tt fCff xf tt x f xf x xf ttx f xf ttx f x x fxfx f x f xx fx fx x fxfxf 6设求 原式 因 例 解 00 0 limlim 0 0 4 0 1 3 0 0 xx f x fxf x f ff 故 原式 1 1 11 limln 1d 11 ln 1dln 1 1 limlimlim 22 1 2 n n t ttt x nx x xt t tt t 7求极限 因 故 例 解 1 11 limln 1d2 n n x nx 2 2 2 2 22 245 00 0 3 2 0 0 54 00 2 0 0 2 0 43 00 1 limed ed 31e limlim 5 lim 31e0 1 31e62 e limlim 520 x t x x t x xx x x xx xx a b ab t xxx axxbt axb xx axb b axaxx xx 8 型 型 确定的取值 使得极限 存在并求出极限值 原式 由原极限存在知 故得于是 原式 例 解 2 2 2 2 0 0 2 22 00 3e lim 10 lim 3e0 1 3 e11 limlim 101010 x x x x x xx a x a a x xx 由原极限存在知 故得且 原式 2 2 22 0 1 d 0 d d d d d d d x xx x xxxx xx x g xTg f xxt g tt f T x f xxt g tttx g tt xg tttg tttg ttxg tt fxg ttxg xxg x 9 0 0 00 0 设是以为周期的连续函数 求 设因 故 例 解 2 2 2 0 4 2 d2 2 d d2 2 d d2 2 d d2 0 2 x x xx x TT T TT xgxxg xg ttxgxxg x g ttg ttxgx f Tg ttg ttTgT g ttg ttTgT 0 0 0 所以 0 1 0 1 00 2 0 00 1 0 0 lim2 d 0 1 d d 1 d 0 lim lim0 0 0 d0 0 lim x xt u x x xx x f x fC x xf xtt xx x xf xttf uu x f x xf uu xx f x ff xx x ft 10 令 已知且设 试求并讨论的连续性 当时 故 又 故 例 解 0 2 00 2 0 2 0000 d 0 1 limlim1 2 1 d 0 1 0 1 1 lim lim dlim21 0 2 x xx x x xxx f uu xf x xxx f x f uux xxx x f xf x xf uu xxx 所以 因 x 故在上连续 12 23 00 12 00 23 11 23 00 22 23 00 2 d d d d 111 d d 234 8 d d24 3 3 1 8 3 8 f x f xxxf xxxf xx f x Af xx Bf xx f xxAxBx Af xxxAxBxxAB Bf xxxAxBxxAB AB f xxxx 11设连续函数满足 求 设则 从而有 解得故 例 解 3 12 00 d df xxf xx 注 和都是常数 五 定积分和反常积分的计算 2 0 1 2101 0110 010 1 0 101 0 1 1 0 1 1 0 1e 1 d 1 d d d d 11e dddln 1 1e11e ln 1e ln2ln 1 x t x t tt t x x f x x f xx f xxf ttf ttf tt tttt t e 12 令 设 求 例 解 2 2 2 212 22 001 1 min d 112 2min d2dd2ln2 3 Ixx x Ixxxxx xx 13求 易见被积函数为偶函数 故 例 解 0 2 00 4 00 4 1sin2 d 1sin2 d 1sin2 d sincos d sincos d cossin d sincos d 2 2 n Ix x nZ f xx x Inx xnxxx nxxxnxxxxxx n 14计算 因是周期为的周期函数 故 例 解 1 2 1 2 11 2 22 00 11 22 22 00 1 12 2 2 2 0 0 1 cos lnd 1 1 ln 1 1 2lnd ln 1 ln 1 d 1 11 ln 1 ln 1 d 11 111 ln32dln32ln 4141 3 1ln3 4 x Ixxx x x x x Ixxxxx x xxxxx xx xx xx xx 15计算 因为奇函数 故 例 解 2 3 0 33 0 22 333 00 2 d 1 tan 2 d tan d tan d 1 cot 1 tan 1 tan x I x xt txxxx I xxx 16计算 令有 例 解 3 22 33 00 2 0 11 tan 1 dd 224 1 tan 1 tan 0 sin d sincos4 p pp x Ixx xx p x x xx 所以 类似地 对任意常数有 1 2 0 40 4 0 4 44 00 44 00 ln 1 d 1 tan ln 1tan dln 1tand 4 1tan2 ln 1dlnd 1tan1tan ln2dln 1tan dln2 4 ln2 8 ut x Ix x xt Itttu u uu uu uuuI I 17求 令则 所以 例 解 1 0 111 000 1 0 dln ln1 d lnln 11 ddddddln ln11 ba b yba b y a a ba bbb yy aaa xxb abx xa xxx xy xx xxb xxxyyxxy xya 18 交换积分次序 设证明 因 故 例 解 1 2 0 111 1 0 000 arctan 1 0 0 d d d 1 1 1 d y xxyy xx y xxy xxxy xxy xx 19若 计算例 解 2 1 11 2 00 11 1 arctan 1 darctan dln2 284 xt xxxt t 令 3 2 1 2 2 33 11 22 11 222211 22 3 1 2 1 1 2 d 1 dddd 22 11 2arctan2ln1ln 23 2 x xx x xxxx xxxx xx xxx 20计算 因为无穷间断点 瑕点 故 原式 例 解 2 1 22 2 2 21 1 1 d 1 11 1 1 1 dlnln1lnln2 1 1 x I xx x xxxx xx Ixxx xx x 21计算 因故 例 解 5101 5 1 01 222110 1 2 0 d 1 1d1d1d 555 11 13 24 11132 3 ln1ln 5253 u t x I xxx tx tuu I tttuu u uuu 22 令 求 令则有 例 解 六 定积分的证明题 4 0 tand 1 n n Ix x n 23设 为大于的整数试证 例 1 1 1 1 11 2 2222 nn n II n I nn 222 44 2 00 1 4 0 2 2 2 2 2 1 tantan dtansecd 11 tan 11 2 0 tan1 tantan 1 4 1 2 1 1 22 1 2 1 1 22 1 2 nnn nn n nn nn nnn n nn nnn n IIxxxxx x x nn xxxxnII III n I n II III n I n 当时故从而故 即 同理 由得 即 所以 证证 1 222 n I nn 2 0 2 22 00 0 2 0 2 0 0 2 0 2 sind 2 0 11 sind cos cosd 11 2 0 cosd 11 2 0 cosd 0 f xfxn f xnx xff n f xx xf xnxfxnx x nn fffxnx x nn fffxnx x nn fx 24设函数在上导数连续求证对任意正数有 因故 例 证证 0 0 f xff 为单调增函数 从而又 22 00 cos 112 sin d 2 0 d 2 0 fxnxfxfx f xx xfffxxff nnn 所以 000 000 000 0 00 00 d dd d d d d dd dd d d xxu xxu x uxu xu xu f u xuuf ttuf x f u xuuxuf tt xuf ttf ttu f ttu F xf u xuuf tt 25证明 其中为连续函数 法一 法二令 例 证证 0 0000 00 000 d d d dd d d0 0 0 0 0 d dd x xxxu xx xxu u F xxf uuu f uuf ttu F xf uux f xx f xf tt F xCFCF x f u xuuf ttu 由于 故 所以又故因此有即 11 00 11 11 0 1 0 ln dln d 1 11 lnln nn n ii nn ii fCf xf xxf xx ii ff nnn ii ff nnnn n 26设且证明 法一用定积分的定义由于 两边取对数 有 令取极限 注意到 例 证证 1 0 11 1 0 1 11 00 1 0 11 limlnln limln d 1 limlnln d ln dln d d 0 lnln 11 nn nn ii n n i ii fff xx nnnn i ff xx nn f xxf xx af xxa f xf x aa 即得 法二令由题设有故 1111 0000 111 000 1 1 ln dlnd1 d d10 ln dlndlnln d f x a f x f xxa xxf xx aa f xxa xaf xx 两边积分得 所以 11 00 111 000 111 000 0 1 d0 d1 0 1 4 0 1 4 11 d d d1 22 111 1 d d4d1 222 0 fCf xxx f xx f xf x xf xxx f xxf xx xf xxxf xxxx 27设且证明 使 用反证明法设有由题设 从而有 矛盾 所以假设不成立 即 例 证证 1 4 f 使 1 2 0 4 max d Lagrange b axa b fCa bf af b fxf xx ba xa bf xa xx b 28设且证明 设因在区间和上满足中值定理条 例 证证 11 22 2 2 2 max 0 d d d d d xa b a b bb a b aa a b a f xf afxaa x f bf xfbxx b Mfxf af b f xM xa f xM bx f xxf xxf xx MxaxMbxx 件 故 记并注意到得 于是 2 2 2 4 4 max d b a b b axa b ba M fxf xx ba 即 2 2 0 0 2 22 222 22 0000 1 0 2 1 0 d 3 max Taylor 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 d 1 1 d 2 d 2 d 22 x fCff xxM Mfx ff f xffxxfxx f f xxfxxxxfxx 29 已知证明 其中 由一阶公式 故 例 证证 2 222 22 000 2 2 0 11 d 2 d 2 d 22 11 2 d 23 f xxfxxfxx MxxM 从而 11 00 d8 0 1 1 2 d 9 1 2 x fCf xf xx f x f x 30设且证明 因有 例 证证 2 11 00 1111 0000 11 00 1 20 3 20 0 2 3 d d23 dd d22 2 d d8 d 9 f xf x fxf x f x f x f x x f xx f x xx f xxf xx f xf x x f xx f x 即 又因故有 积分得 由于 故 2 0 1 dd 4 bb aa fC a bf xa bMm m Mm f xxx f xM m 推广 设在上的最大值和最小值分别为和 且则有 1 2 11 3 00 2 3 00 3 00 0 1 0 1 0 0 d d 0 0 0 0 1 d d 0 1 0 0 2 d 2 d xx xx fCa bxfxf f xxfxx fx f xfx F xf ttfttFCF F xf xf ttfxf xf tt 31设当时证明 因故有 设则且 例 证证 2 2 0 2 d 0 1 0 0 2 2 2 1 0 0 1 x fx xf ttfxC xf xf x fxf xfxx 令则且 2 11 3 00 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 d d x x F xxF xFF f xxfxx 从而当时 于是即在上单调增加 因此有 即 00 212 0 1 0 cos d sind0 0 0 0 0 sin0 sind0 0 0 0 0 f xf xx xf xx x ff f xx f xx x f xf x f 32 1 1 设在上连续且证 明 在内存在相异的两点使 不妨设在上不恒为零 由在上及条件 可知在内必定变号又由在上的连续性可知 在内 至少有一点使 例 证证 111 1111 1 0 111 000 0 0 sin 0 sin 0 sin d0 sin dcos sindsin cos d0 0 f xf x xf xx f xxx f xxxf xx xf xx x f x 假设是在内的唯一零点则在和上异号 又 因在和上异号 故在内不变号 于是 另一方面 矛盾因此在 21 2 0f 2 内至少存在一点使 00 0 0 0 11 d d 0 1 d d 0 Taylor aa a a yf xfxuu t f u ttfu tta aa bu tt a abu tt fx 33设二次可微 且求证 对任意连续函数 必有 记即 由于由公式知 例 证证 2 00 0 00 2 d d d 0 11 d d aa a aa f f u tf bf b u tbu tb f bf b u tb f u tta f bf bu tbt a f bf bu ttaba f b a f u ttf bfu tt aa 于是 又因故有 01 0101 0 0 01 1 0 1 0 1 0 0 d4max 0 max 0 0 1 0 max 0 1 0 1 max Lagrange x xx x f xfff x fxxf x f xf xfff x x f xf x f 34 1 0 设在上具有二阶连续导数 且 证明 因故又因故在 内取得即使 由中值定理 有 例 证证 22 11 00 10 00 00 220 00 21 00 0 01 000000 0 0 1 1 11 d d d 11 max 1 1 1 x f xff x x xx ff xf x fx xx fxxfxxfxxff f xf x f xf x xxxxxx x 1 0 因此 而 2 000 01 111 1 424 d4max x xx fxxf x 1 0 所以 3 3 定积分的应用 本节最重要的知识是元素法 1 2 d d d dd d b a u uxa b ua b u x xx uuf xx uux uf xx 若所求量满足条件 所求量与变量的变化区间有关 所求量对区间具有可加性 则可通过定积分来计算 若在任一小区间上分量 其中与相差一个比高阶的无穷小 则 一 几何应用 熟悉常见图形 掌握平面区域的面积 平面曲线的弧长及特殊立体的体积的计算公式 含极坐标 4422 2 44 22 2 2 4444 000 2 tan 24 00 2 0 1 cossin 1111 dd2d 22cossincossin 1 d 1 2d2 1 1 2 1 2arctan2 2 u xyxy A u uu u u u u u u 1求由曲线所围图形的面积 曲线的极坐标方程为故 例 解 lnln 1 2 e yxyxx DDADx 2过坐标原点作曲线的切线 该切线与及轴围成平面 区域求的面积 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积 例 00 00 0 0 e e 1 1 1 222 0 ln 1 ln 0 0 e 1 e 1ee eln dln1 222 51 ee ee de2e 62 y xx yxxx x Ox yx Ax xxxx Vyy 设切点坐标为则切线方程为 由切线过原点得所以切线方程为 因此 解 11 12 1122 12 12 00 cos0 2 sin sin 0 sin sincos cossin cossin 11 tan tan 0 cos dsin d xx yxxxy yaxybx aba b yaxybxyx x x xaxxbx xx ab abxx x xax x 3若曲线与轴及轴所围成图形的面积被曲线 三等分试确定值之值 设与交点 的横坐标分别为则 即 由知由题意 例 解 122 1 2 2 00 2 0 1122 1122 1122 2222 sin dcos dsin d sin dcos d 2sin2 cos2sincos sincoscos1sin 11 sin cos sin cos 1111 xxx x x x ax xx xbx x bx xx x xaxaxbxb xaxabxbx ab xxxx aabb 积分并整理得 因 代入上式化简得 2