抽象代数期末考试试卷及答案.doc

抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。A、2阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）A、（N,） B、（Z,） C、（2,3,4,6,12,|（整除关系） D、 (P(A),)5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则-。3、区间1，2上的运算的单位元是-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环Z8的零因子有 -。6、一个子群H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b, abS1和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1，；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R，证毕。2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，所以b=a-1。一判断题(每小题2分,共20分)1. 实数集关于数的乘法成群. （ ）2. 若是群的一个非空有限子集，且都有成立，则是的一个子群. （ ）3. 循环群一定是交换群. （ ）4. 素数阶循环群是单群. （ ）5. 设是有限群，是的阶，若，则. （ ）6. 设是群到群的同态映射，是的子群，则是的子群. （ ）7. 交换群的子群是正规子群. （ ） 8. 设是有限群，是的子群，则. （ ）9. 有限域的特征是合数. （ ）10. 整数环的全部理想为形如的理想. （ ）二选择题(每小题3分,共15分)11. 下面的代数系统中，（ ）不是群. A. 为整数集合，为加法； B. 为偶数集合，为加法； C. 为有理数集合，为加法； D. 为整数集合，为乘法.12. 设是的子群，且有左陪集分类. 如果的阶为6，那么 的阶（ ）A. 6； B.24； C.10； D.12.13. 设，则中与元不能交换的元的个数是A. 1；B. 2； C. 3； D.4.14. 从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（ ）A. G=（a）与G的子群； B. 整数加法群与模的剩余类的加法群；C. 变换群与置换群； D. 有理数加法群与模的剩余类的加法群.15. 整数环Z中，可逆元的个数是( )。A.1个 B.2个C.4个 D.无限个三填空题(每小题3分,共15分)16. 如果是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 .17. 次对称群的阶是_.18. 整数加法群关于子群的陪集为 .19. 设是的正规子群，商群中的单位元是 。20. 若是交换环, 则主理想_.四计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21.令， ，计算.22. 设是3次对称群的子群，求的所有左陪集和右陪集，并说明是否是的正规子群.五证明题(每题10分,共30分)23. 设是群，是的子群，证明：，则也是子群24. 设是群，是的正规子群. 关于的陪集的集合为，证明：对于陪集的乘法成为一个群，称为对的商群.25. 证明：域上全体矩阵的集合在矩阵的加法和乘法下成为环.一判断题(每小题2分,共20分) 1-10 二选择题(每小题3分,共15分) 11. D；12. B；13. C；14. B；15. B.三填空题(每小题3分,共15分) 16. 1； 17. ；18. ； 19. ；20. .四计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分) 21. 解：，4分. 8分22. 解：的所有左陪集为 ， ；4分的所有右陪集为 ，. 对，有，即是正规子群. 12分五证明题(每题10分,共30分)23. 证明：因为是的子群，对任意，有. 4分由题意，对任意，有，从而，即也是子群. 10分24. 证明：