材料力学课后答案

第六章第六章 应力状态理论和应变状态理论应力状态理论和应变状态理论 6 1 构件受力如图所示 确定危险点的位置 用单元体表示危险点的应力状态 不计自重时 危险点为任一横截面上的任意一点a 危险点在与之间的任一截面的边缘上任一b3M2M 危险点在图示三处c 危险点为任一截面的外边缘上任一点d l P a b d d M P l c M d 3M2M b P M P d M d a A B C A B C c d 题 6 1 图 20 50 20 50 25 a b c 20 40 d 40 80 20 e 30 20 f 20 题 6 2 图 6 2 已知应力状态如图所示 图中应力单位皆为兆帕 试用解析法及图解法求 主应力 大小 主平面位置 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向 最大剪应力 解 解析法a 0 2 20 50 0 20 20 8 500 xyxy MPaMPa tg 得 从而 0 19 20 13 57 7MPaMPa max10 32 4525 40MPa 用图解法 按几何关系可求得 0max 240 32MPa 20 40 a 30 50 30 b 30 20 6040 c 45 120 40 20 0 20 60 50 20 30 20 90 60 40 0 40 d 1 3 37 59 20 40 40 40 37 59 e 1 3 13 5 27 0 20 80 20 30 20 f 20 109 20 20 20 30 20 218 40 解析法 b 22 1 5050 2057 22 MPa 22 3 5050 207 22 MPa 得 0 2 20 4 20 8 505 tg 0 1 38 4019 20 2 22 max 50 2032 2 MPa 解析法 c 2 13 002525 25MPaMPa 无穷大 0 2 25 2 0 tg 00max 290 45 25MPa 解析法 d40 29 xy MPaMPa 22 1 40204020 4011 2 22 MPa 22 3 40204020 4071 2 22 MPa 0 2 40 4 2 40203 tg 0max 37 59 41 2MPa e 解析法 22 1 080080 204 7 22 MPa 22 3 080080 2084 7 22 MPa 0 2 20 20 5 080 tg 00 226 34 13 17 22 max 80 2044 7 2 MPa 解析法 f 22 1 20302030 2037 22 MPa 22 3 20302030 2027 22 MPa 000 2 20 20 8 2218 40 109 20 2030 tg 22 max 50 2032 2 MPa 6 3 在图示应力状态中 试用解析法和图解法求指定斜截面上的应力 应力单位为兆帕 解 解析法 a 400400 cos12020sin12027 3 22 MPa 400 sin12020cos12027 3 2 MPa 即 27 3 27 3MPaMPa 图解法 斜面法线与轴夹角为 应力图中 x60 2 60120 解析法 b 20503050 cos60 20 sin6052 3 22 MPa 3050 sin60 20 cos6018 7 2 MPa 斜面与轴正向夹角为 应力图中 x30 2 3060 解析法 c 060060 cos9040sin9010 22 MPa 060 sin9040cos9030 2 MPa 20 40 a 30 50 30 b 30 20 6040 c 45 120 40 20 0 20 60 50 20 30 20 90 60 40 0 40 题 6 3 图 6 4 已知矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为 试绘制截10MkN m 120QkN 面上 1 2 3 4 各应力点应力状态的单元体 并求其主应力 解 点 1 26 10 1000 120 1 5 1010 6 x M MPa W 123 0 120 x MPa 点 2 处于纯剪状态 3 4 33 120 10 36 22 5 10 10 x Q MPa bh 123 36 0 36 MPaMPa 点 3 32 38 10 10 1010 4 60 1 5 1010 12 x M y MPa I 36 382 120 1046 8 10 27 1 5 10105 10 12 x Q S MPa I b 式中静矩 得 2 2 24 b h Sy 22 13 70 4 10 4 22 xx xy MPaMPa 2 0 点 4 123 120 0 x MPa 50 100 1 2 3 4 25 50 x Q M x 12 x x 3 x 4 x 题 6 4 图 6 5 薄壁圆筒扭转 拉伸试验的示意图如图所示 若 且20PkN 600 n MN m 试求 点在指定斜截面上的应力 点主应力的大小及方5dcm 2mm AA 向 用单元体表示 解 数据代入 得 2 nn xy PP MMD II 34 16 1 n xy M D 254Ddmm 73 2 xy MPa 4 2 0 10 61 2 y PN MPa Ad 所以0 61 2 73 2 xyxy MPaMPa 现已知 1 30 cos2248 1 22 xy x xysian MPa sin2cos210 1 2 xy xy MPa 00 21 2 33 3 xy xy tg 得 13 109 8 48 8MPaMPa d P P A30 n M n M 1 3 33 3 xy y 题 6 5 图 l 2 P A l h 4 h 60 50 50 120 50 43 3 MPa MPa 4080 题 6 6 图 题 6 7 图 6 6 图示简支梁为工字梁 点所在截面在集中力的左侧 36a140PkN 4lm AP 且无限接近力作用的截面 试求 点在指定斜截面上的应力 点的主应力及主PAA 平面位置 用单元体表示 解 所处截面上弯矩 剪力 A 11 140 4140 44 MPLkN m 140 70 22 P QkN 查型钢表后 点以下表面对中性轴静矩 A 663 13 6 1 58 17 2 1 7 42 12 7 10464 10Sm 正应力 剪应力 36 8 140 109 10 79 9 15760 10 My MPa I 36 6 82 70 10464 10 1020 6 15760 101 10 QS MPa Ib 则 60 79 979 9 cos12020 6sin1202 13 22 MPa 79 9 sin12020 6cos12024 3 2 MPa 主应力计算 22 1 79 979 9 20 684 9 22 MPa 22 3 79 979 9 20 65 22 MPa 00 2 20 6 20 516 13 56 79 9 tg 6 7 二向应力状态如图所示 应力单元为兆帕 试求主应力并作应力圆 解 已知 80 60 x MPa 8080 cos120sin12050 22 yy xy MPa 且 80 sin120cos120 2 y xy 0 xy 联立解得 从而40 y MPa 12 80 40MPaMPa 注 凡是涉及某斜面上的应力 应从角定义出发 准确找出角的值 150 45 95 25 3 25 3 x x y 题 6 8 图 6 8 在通过一点的两个平面上 应力如图所示 单位为兆帕 试求主应力的数值及主平面 位置 并用单元体的草图表示出来 在通过一点的两个平面上 应力如图所示 单位为兆 帕 试求主应力的数值及主平面位置 并用单元体的草图表示出来 解 取出图示单元体 依题中条件有 105 cos210sin21045 22 xyxy x 75 sin150cos15025 3 2 xy x 105 sin210cos21025 3 2 xy x 联立求解 得到70 50 xyx MPaMPa 则 22 1 70707070 50 100 22 MPa 22 2 70707070 50 20 22 MPa 则 3 0 0 2 2 x xy tg 0 45 50 50 a 30 50 b 40 20 30 120 c 30 20 30 50 40 20 x y z x x y y x y 题 6 9 图 6 9 试求图示各应力状态的主应力及最大剪应力 应力单位为兆帕 解 a 2 132 005050 50 50MPaMPaMPa 13 50 50 50 22 max MPa b 22 13 30203020 4052 2 42 2 22 MPaMPa 2 50MPa 13 max 47 2 2 MPa c 22 12 1204012040 30130 30 22 MPaMPa 3 30MPa 13 max 80 2 MPa 注 此类问题中 受力状态是三向的 不再是平面问题 以 为例作详细分析 b 在图示坐标系下 50 20 30 zxy MPaMPaMPa 因为面内应力情况复杂 先进行分析 xy 则 20 x MPa 30 y MPa 40 xy MPa 22 max 547 252 2 22 xyxy xy MPa 而 又有 min 547 242 2MPa 50 z MPa 123 综合知 123 52 2 50 42 2MPaMPaMPa x y A x y 题 6 10 图 6 10 列车通过钢桥时 在钢桥横梁的点用变形仪测得 A0 0004 x 0 00012 y 试求点在及方向的正应力 设 Axxyy200EGPa 0 30 解 广义虎克定律知 11 xxyyyx EE 代到上述两式中 解得0 3 200 0 004 0 00012 xy EGPa 即 方向应力为方向为 0 80 0 xy MPa x80 MPa y 6 11 在 6 9 题中的各应力状态下 求单元体积的体积改变 比能和形状改变比能 u x u 设 200EGPa 0 30 解 a 63 123 9 1 21 2 0 3 505050 100 1 10 200 10E 223 123122313 12 33 1 2 2 2500250025002 0 3 250025002500 10 22 5 10 u E N m m 222 122331 22212 9 3 1 6 1 0 3 5050 5050 5050 10 6 200 10 x u E N m m 各量的求解公式同前 b 33333 0 12 10 20 1 10 18 9 10 x uN m m uN m m c 33333 0 26 10 48 1 10 42 5 10 x uN m m uN m m 6 12 薄壁钢圆筒受到内压 内径 壁厚 计算筒中主应力 若最大主2 1MPa1m30mm 应力限制为 则在筒的两端可加多大的扭矩 80MPa 解 取轴向长为的管分析 微元上 作用力为L 2 D dL 2 D PdL 向分量 积分得ysin 2 D PdL 2 PDL NAL 则 而35 2 y NPD MPa A 2222 max 80 2222 xyxyyy xyxy MPa 则 60 xy MPa 9 2 24 10 n MN m N d x x y y 题 6 12 图 题 6 13 图 6 13 长输水管受内压 管的内径为 用第四2 0MPa0 75m0 3 500MPa 强度理论计算壁厚 提示 可设管的轴向应变为零 解 取任一单元体 向与管轴向一致 由提示 认为广义虎克定律y0 y yx 设内压力为 内径为 厚为 则积分表明 则PD 2 x PD 2 y PD 条件 第四强度理论 在平面应力下为 Mises 即 222 1212 1 2 222 1 2 xyxy 各数据代入 2 1411 50 162 0 0131 3mcm 6 14 炮筒横截面如图所示 在危险点处 第三个主应550 t MPa 350 r MPa 力垂直于图面是拉应力 且大小为 试按第三和第四强度理论 计算其相当应力 420MPa 解 第三强度理论下 550350900 xd MPa 第四强度理论下 222 1 550420 420350 350550 842 2 xd MPa 6 15 钢制圆珠笔柱形薄壁容器 直径 壁厚 800Dmm 4tmm 120MPa 试用强度理论确定可能承受的内压力 200PkN p p t r P D l p P x x y y 题 6 14 图 题 6 15 图 解 作用下 周向 轴向 P 2 2 y P Dt t 2 4 x P Dt t 轴向外力作用下 数据代入 解得 P x PP ADtt 1 99 y P 23 49 520 1 0 xx PMPa 则 313 99 120 xd PMPa 1 21PMPa 222222 41212 11 99 49 520 1 49 520 1 22 xd PPP 化简得 解出 2 73511980140000 0PPP 1 37PMPa 即 按两种强度理论 内压极限分别为和1 21MPa1 37MPa 6 16 如图示简支梁 截面为工字钢 试对梁作强25b 100MPa 160MPa 度校核 已知 200PkN 10 qkN m 0 2am 2lm 解 求得处支反力 处支反力为 绘出剪力图 弯矩图 A300 A PkN B300 kN 截面上 处 有 几何数据查型钢表可知 有 1 A max QQ H max max max z z Q I b s 3 max 4 210 10 98 7 1 0 21 27 10 PaMPa Q kN x 210 208 208 210 M kN m 41 841 8 45 x A AB B C C D D E E H F G aa l PP ACDB q E 题 6 16 图 截面上 处有 2 E max MMG max 3 max max 63 45 10 106 5 422 72 10 z MN m MPa Wm 截面上的点 由于都较大 也很危险 3 CF xyx 41 8 208MkN m QkN 32 8 41 8 10 12 5 1 3 10 88 6 5283 96 101 0 x z M y MPa I 36 82 208 10 11 8 1 3 61 9 10 71 8 5283 96 101 0 10 z xy z QS MPa Ib 得 123 128 7 0 40 1MPaMPa 按第三强度理论 313 168 7 xd MPa 按第四强度理论 22 4 3152 7 xdxxy MPa 第七章第七章 7 1 箱形截面悬臂梁受力如图 计算固定端截面三点的正应力 BCA B A C P 4kN P 3m 50 200 50 300 C x P y P y z 题 7 1 图 解 如图示 向截面的几何中心简化后 4PkN 0 sin cos nzy MPPPP 其中已知 2002 3003 tg 对固定端截面 引起 引起 z P3sin yz MP lP y P3cos yy MP lP 得 2 133 13 4 sin cos 1313 PkN 6 66 9 98 yz MkN m MkN m 作用下 y M y BC y Mz I 334 1 300 200200 100 12 y Imm 得 3 63 BC MPa 0 A 作用下 z M 334 1 200 300100 200 150 12 zC CzC z My Immymm I 同上 0 z BAz zA M I I y 100 A ymm 得 叠加得 3 91 2 6 CA MPaMPa 02 62 6 03 633 63 3 633 917 54 ABC MPaMPaMPa 7 2 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力和铅锤力作用 若 1 P 2 P 1 800 PN 试求以下两种情况下梁内的最大正应力及其作用位置 2 1650PN 2lm 1 梁的截面为矩形 其宽和高分别为 9 18bcm hcm 2 梁为圆截面 其直径 13dcm z y 2 P 1m1m 1 P x O b h 2 P 1m1m d 1 P 题7 2图 解 1 矩形截面 3535 11 0 090 184 374 10 0 180 091 0935 10 1212 yz II 引起 2 P 5 1650 0 09 3 395 4 374 10 y Mz MPa I 引起 1 P 5 800 0 045 2 6 58 1 0935 10 z My MPa I 两者叠加 max 9 98MPa 2 圆形截面 44 5 0 13 1 4019 10 6464 d I 设该点坐标为 y z 引起 2 P 1650z I 引起 1 P 800 2y I 22 0 065zy 两者叠加 22 1650 0 065160016501600yyzy II 得 0 d dy 0 0452y 0 0466z 5 1650 0 04667 1600 0 0452 10 7 1 4019 10 MPa 7 3 图示起重机的最大起吊重量 包括行走小车等 为 横梁由两根40PkN AC 槽钢组成 材料为钢 许用应力 试校核横梁的强度 18 O N3A 2 120 MN m 解 小车位于中点时 最危险 ACAC 处支反力 杆上受到力 AACA3034 6 2 A P xctgkN 20 2 A P ykN c 处3034 6 20 22 CC PP xctgkNykN 中点处 max maxmaxmax 115 5 9 y MN MMMPaMPa WA 引起的应力 在下侧边沿为正 上侧边沿为负 压 max M 则 max 115 5 9 120 9 120MPaMPa B 30 C A P z A F C F P CA M35kN m 题 7 3 图 7 4 拆卸工具的抓由号钢制成 其许用应力 试按抓的强度确定工具45 2 180 MN m 的最大顶压力 max P 解 由强度条件 则 max 180MPa max 11 1 22 180 2 PeP NMPe MPa AWAWAW 解得 max 2 max 2 19 6 bh PPkN he 7 5 图示钻床的主柱为铸钢制成 许用应力 若 试确定立 2 35 MN m 15PkN 柱所需直径 d 解 内力15 0 46NPkN MPmkN m 而 为简化求解 先不计入的影响 2 max 4 NM Ad AW 3 32 d W N 则取 M W 3 32 0 12 M dm 0 0 12dm 再计入的影响以校核 N max 2 4 1 33 1 333536 33 N NP MPaMPa Ad 但超出部分为 认为合适 1 33 100 3 8 5 35 上述计算表明 引起的应力是明显大于引起的应力的 所以无须按确定MNN 0 d 综合 取 0 0 12120dmmm 32 II P 32 26 17 I I截面 400 P d 题 7 4 图 题 7 5 图 7 6 承受偏心载荷的矩形截面杆如图所示 今用实验方法测得杆左 右两侧面的纵向应变 和 试证明偏心矩和 满足下列关系式 1 2 e 1 2 12 12 6 h e 解 偏心力的作用等效为 简化为 轴力 拉 和弯矩PNP MP e 组合变形下 左侧表面处 右侧表面处 1NM NM AW 2NM NM AW 代到中 2 6 bh Ab h W 12 1122 22 66 PPePPe EE bhbhbhbh 则 两式比较 1212 2 212 PeP EE bhbh 1212 6 EEe h 即 12 12 6 h e 7 7 手摇式提升机如图所示 轴的直径 材料为钢 试30dmm 3A 2 80 MN m 按第三强度理论求提升机的最大起吊重量 P 解 受力分析知 轴的中间截面为危险面 0 18 0 40 2 2 nw P MP N m MmP N m 忽略剪应力影响 则 解得 22 3 10 269 xdWn MMP WW max 788PN P e h b 1 2 180 P 400400 e P P 题 7 6 图 题 7 7 图 发电机组 W x P t W 滑轮 主轴 砂轮 转子 D x P y P 2 Q 2 Q z P 1 Q 180240 130 题 7 8 图 题 7 9 图 7 8 图为某型水轮机主轴的示意图 水轮机组的输出功率为 转速37500NkW 已知轴向推力 转轮重 主轴的内径150 minnr 4800 z PkN 390 t WkN 外径 自重 主轴材料为号钢 其许用应力34dcm 75Dcm 285WkN 45 试按第四强度理论校核主轴的强度 2 80 MN m 解 扭矩 危险面在轴上方 95492387 k n N MkN m n 5475 zz NPWWkN 其中 22 54754 15 5 0 750 34 NkN MPa A 3 34 2385 1016 30 1 0 75 1 n n M MPa W 则 0 34 0 75 22 4 354 4 xd MPa 7 9 图为某精密磨床砂轮轴的示意图 已知电动机功率 转子转速3NkW 转子重量 砂轮直径 砂轮重量 1400 minnr 1 101QN 250Dmm 2 275QN 磨削力 砂轮轴直径 材料为轴承钢 1 试 3 1 yz PP 5dcm 2 60 MN m 用单元体表示出危险点的应力状态 并求出主应力和最大剪应力 2 试利用第三强度 理论校核轴的强度 解 则954920 46 163 7 2 k eey NM MN m MMPN nD 解出两个支承处的反力 作铰接处理 无弯矩约束 1 54 6 3 zy PPN 1212 264 57 4 25 29 6FNFNRN RN M e M z P y P 1 R 2 R 1 F 2 F 1 Q 2 Q z M n M y M 0 130 37 0 130 37 0 130 37 7 1N m 28 7N m 18 2N m 20 5N m nxy wx 砂轮轴发生组合变形 各向弯矩图如图示 因为砂轮轴是圆截面 故 很明显 距左端处为危险面 22 Wyz MMM 0 13m 22 7 1128 7 29 6 W MM m 3 29 6 32 2 4 0 05 W w M PaMPa W 3 20 5 16 0 8 0 05 n n n M PaMPa W 如图 2 4 0 8 xWxyn MPaMPa 0 y 2 222 max 2 64 2224 xyxy xx xyxy MPa minmax 0 24 1 44MPaMPa 123max 2 64 0 0 24 1 44MPaMPaMPa 第三强度理论 故砂轮轴强度足够 22 3 42 88 xdxxy MPa 3m 1m 400N 1800N x z z x A B 底 顶 1200N m y y y y AB 题 7 10 图 7 10 图示重的标牌由外径为 内径的钢管所支撑 作用在该标牌1800N73mm62 7mm 上的最大水平方向的风力估计为 试确定由这些载荷在固定端点处所引起的400NBA 应力状态 并在管子的这些点处切出的单元体上表示出结果 这些单元体都是从管子外侧 观察的 钢管的面积 惯性据 2 1099Amm 4 636800Imm 解 受力化简后可知 与轴正向相反 4001400 400 nz MNmN m QN z 分布如图 1800 1800 zx NN MN m M 略去的影响 则 得 z Q 3 4 1 16 n nn n MD W W 10 6 n MPa 作用下 拉 z M0 101 5 z BA z M MPa W 作用下 拉 x M0 67 x A x M LBMPa W 作用下 N 1800 1 6 AB MPa A 所以 处有A101 50 1 6 99 9 10 6 yn MPaMPa 处有B6709 1 6 65 4 10 6 yn MPaMPa xy x x 40 96 160 100 300 P C B II I I截面 题 7 11 图 题 7 12 图 7 11 一实心圆轴同时承受扭矩和弯矩作用 且 试用表示最大主应 n M w M wn MkM k 力和最大剪应力之比 当此轴直径为 以及最大剪应力为 且轴以50mm0 4k 75MPa 每分钟 300 转时 试求它所能传递的功率 解 实心轴 则而 33 1632 n DD WW maxmax Wn n MM WW 如图示 设 maxmax 0 xyxy 对单元体而言 代入 22 1 22 xyxy xywn MkM 最大剪应力为 2 22 max 1 24 xy xyxy 求得 22 1 22 1 16161 1 1611 kkkk kk 时 则0 4k 1 1 1 37 11 1 37102 8MPa 返回主应力 最大剪应力公式中 22 22 2 102 8 75 244 xx xyxy MPaMPa 得 max 1 102 875 27 8 55 6 2 xx MPaMPa 而且 求出0 05Dm max 3 32 n kM D 1705 n MN m 又因为解得 9549 k n N M n 53 6 k NkW 所以 传递功率为 53 6kW 7 12 铸钢曲柄如图所示 已知材料的许用应力 试用第四强 2 70 MN m 30PkN 度理论校核曲柄的强度 解 表面上内力分量 0 0480 02 2 04 n MPkN m 0 30 1 6 W MPkN m 为弯曲 扭转组合变形 处 求得B 160 4 0 0 282 0 745 40 h b 2 28 3 n M MPa hb 2 4 0349 0 xd MPa 处 C 1 35 2 21 1 W M MPaMPa W 22 41 350 7 xd MPa d 45 1 m 1 m 2 m 2 m xy x x 题 7 13 图 7 13 直径的圆轴 承受扭转力矩及水平面内的力偶矩的联合作用 为了30dmm 1 m 2 m 测定和 今在轴表面图示轴线方向和轴线成方向贴上电阻应变片 若测得应变 1 m 2 m45 值分别为 已知材料的 试求 66 45 0 500 10 426 10 210EGPa 0 28 和 1 m 2 m 解 已知 则已知 66 045 500 10 426 10 E 0045 105 89 5EMPaMPa 分析处应力状态 有 A0 yxy 方向上 有 22 cossin2sincos xyxy 和 即为 0 45 0 1 02 0105 x MPa 2 222 02 89 5 222 x MPa 解得 105 37 x MPaMPa 33 2 3216 Wn xn n MmMdd WW WWW 得 12 214 278 3 nx mWN m mWN m t q 11000 500500 D p y 题 7 14 图 7 14 某锅炉汽包的受力情况及截面尺寸如图所示 图中将锅炉自重简化为均布载荷 若已 知内压力 锅炉总重 平均直径 壁厚 3 4pMPa 600kN1570Dmm 35tmm 试按第三强度理论校核该汽包的强度 薄壁圆筒可采用近似公式 100MPa y W 式中 为平均直径 为厚度 3 2 8 4 22 y y D t T D t W DD Dt 解 分析受力状态 引起汽包壁上各处均有周向正应力和轴向正应力 P 2 PD t 4 PD t 设自重简化为均布载荷 则可计算出弯矩最大值为 其中q 2 2 max 2 4 q l Ma 求得 600 11000 500 2 kN lmm amm q la max 2 600825 8 la MkNkN m 得 2 4 y D t W max 12 18 M y M MPa W 3 4PPa 得76 26 38 13MPaMPa 单元体上 1 123 76 26 50 31 0 M MPaMPa 则 313 76 26 100 xd MPaMPa 7 15 一个等截面的实心圆轴要驱动一船舶推进器 此轴因而必须同时承受推力和扭矩作用 推力的大小与扭矩之间可以用简单的关系来联系 式中表示推力的大小 表NkT NT 示扭矩的大小 而为一常数 同时轴上还将有弯矩产生 假定计算的要求是轴中的最大k 剪应力在任何地方均不超过某一个用表示的值 试证明允许的最大弯矩其表达式为 226 2 1 44 RkR MT T 式中表示轴截面的半径 R 一个等截面的实心圆轴要驱动一船舶推进器 此轴因而必须同时承受推力和扭矩作用 推 力的大小与扭矩之间可以用简单的关系来联系 式中表示推力的大小 表示NkT NT 扭矩的大小 而为一常数 同时轴上还将有弯矩产生 假定计算的要求是轴中的最大剪k 应力在任何地方均不超过某一个用表示的值 试证明允许的最大弯矩其表达式为 226 2 1 44 RkR MT T 式中表示轴截面的半径 R 证明 2233 1632 NTM NNkTTM ARRDD 令 xNMxyT 因为二维应力状态下 则 22 max 2 xy xy 22 max 1 4 xxy 即 22 233 1 43216 2 4 kTMT DR DDD 化简即得 222226 22 1 1 4444 RkRRkR MTTT TT 第八章第八章 变形能法变形能法 8 1 两根圆截面直杆的材料相同 试比较两根杆件的变形能 解 此杆为均匀杆 轴力为 则变形能 aP 222 22 42 22 N lP lP l U EAE dE d 杆为分段均匀 轴力均为 bP 222 2222 3 123 2222 1 123 331 4 7 884 2222228 i i PlPlPl P lP lP lP l UU EAEAEAE dE dE dd E C A D B P aa 30 30 d PP 2d 2d d 3 8 l 3 8 l 4 l a b l 题 8 1 图 题 8 2 图 8 2 图示桁架各杆的相同 试求在点的力作用下 桁架的变形能 EADP 解 处支反力 对点作受力分析 可求得 AB 2 AB P YY B0 0XY 压 拉 BC SP 3 2 BD SP 进而求得 拉 由 CD SP 2 32 3 233 N l UCDa ACa EA 求得 2 9 10 3 12 i P a UU EA 8 3 计算图示各杆件结构的变形能 A P C EI B 2 l 2 l 4 l 4 PI M a B P A O R EI b 题 8 3 图 解 首先求解处的约束反力为 aAC 3 44 AC P PPP 弯矩方程为 3 0 42242 Plll M xxxM xPxxl 55 444 P M xxllxl 则 2 M x udx EI 2 2 Mx udx EI 分段积分 5 222 24 0 2 11315 2422424 l ll l l Pl ux dxPxdxP xldx EIEIEI 2 3 5 384 P l EI 解 以逆时针方向为正 b sin 0 2 MPR dsR d 积分得 2 2 M URd EI 23 2 0 8 P R uUds EI 8 4 试求图示各梁的点的挠度的转角 A a qa A q EI a2a l EI 0 q A b 题 8 4 图 解 以点为轴起点 结构的弯矩方程为 aAxxa 0 M xqaxxa 22 5 3 3 22 q M xxqaxqa axa 则 2 2 3 0 0 35 3 2222 aa a l xaqx qaxqa M xMxqax Adxdxdx EIEIEI 得 4 2 3 qa A EI 撤去和 在处作用逆时针向qaqA 0 1M 00 1 1 0 1 3 2 Mxxa Mxxaaxa 则 逆时针向 3 0 0 5 6 l A M x Mxqa dx EIEI 简单起见 轴起点选在点 向左为正 bxA 3 00 0 2 36 xqx xq x M xxl ll 只有竖直向下的单位力作用于点时 0 PA 00 MxP xx 只有顺时针向力偶矩作用于点时 0 1M A 0 1Mx 积分得 4 00 0 30 l A M x Mxq l dx EIlEI 33 000 00 24 ll A M x Mxq xq l dxdx EIEIlEI 和值均为正 其方向与相同 A A 00 PM 8 5 试求图示阶梯截面梁在力作用下截面的转角和截面的挠度 弹性模量已知 PABE P A B C PP ABC D aa aa 2a I 2I II 2I a b 题 8 5 图 解 本题中 值沿轴向是分段相等的 为使积分计算简单 在两端上取不同的坐标 aI 起点 向右为正 111222 0 0 M xPxxa M xP axxa 仅处作用单位力偶矩 顺时针向 A 0102 1MxMx 仅处作用单位力 竖直向下 B 01022 M 0 M xxx 其积分得 2 101202 12 00 M M M M 5 24 aa A xxxxPa dxdx EIEIEI 3 101202 12 00 M M M M 5 212 aa B xxxxPa fdxdx EIEIEI 可见 大小为 方向为逆时针 与所加单位力偶矩反向 为竖直向下 为 A 2 5 4 Pa EI B f 3 5 12 Pa EI 同中处理 为配合分段积分的简便 在三段值变化的部分 取不同的坐标起点 b aEI 向右为正 载荷作用下 11122333 0 02 0 M xPxxa M xPaxa M xP axxa 在处加顺时针向单位力偶矩后 支反力A 11 44 AO RR aa 0111 1 1 0 4 Mxxxa a 0222 0333 1 1 02 4 1 0 4 Mxaxxa a Mxaxxa a 分段积分得 2 2 101202303 123 000 2 aaa A M xMxM xMxM xMxPa dxdxdx EIEIEIEI 单独在处加单位力 支反力B 0 31 44 A RR 0111 3 4 Mxxxa 2 022 0333 3 02 4 1 0 4 ax Mxxa Mxaxxa 同理 积分得 3 5 6 B Pa f EI 所以 处转角为 为顺时针方向 处挠度为 为竖直向下 A 2 Pa EI B 3 5 6 Pa EI 8 6 试求图示各刚架点的竖直位移 已知刚架各杆的相等 AEI 解 段 段上 aAB 111 M xPxxa BC 22 222 2 q M xPalxxl 由卡氏定理 处的竖直位移A 分段带入后面积分 M xM x dx M x EIP 33333 22 11 32633 P aqalqalPaqal Pa lPa l EIEIEI 为正值 则与同向 竖直向下 P 分析可知 处已经作用有竖直方向的力 为了能利用卡氏定理解题 处和竖杆中 bAA 间处的分别为 P 12 PP PP 11 1121231233 0 0 M xPxxa M xPaxa M xPaP xxa 则 3 12311 123 000 1 11 6 aaaPa p xPxPaM xM xPa dxx dxadxadx EIPEIEIEIEI l A BC D P 2P l aa aa P P P EI EI q l AA a b B CC B 题 8 6 图 题 8 7 图 8 7 图示正方形桁架各杆的相同 试求节点处的水平位移和竖直位移 EAC 解 各杆在载荷作用 处单独施加水平 竖直单位力时 轴力为 水平单位力向左 竖C 直单位力向上 则 0ii i N N l EA 12 2 3 8 PlPl uPlv EAEAEA 8 8 图示正方形桁架各杆的相同 试求在载荷作用下 节点和之间的相对位移 EAPBD 解 于上加一对反向 共同指向内部 的单位力 各杆在原载 单位力下的轴力 BD 则 与单位力指向同趋势 是相近的 2 2 2 BD Pl EA 注 因为所求的是之间的相对位移 所加单位力 就应该是一对反向力 BD l A B C D l P A B O P R 题 8 8 图 题 8 9 图 8 9 轴线为四分之一圆周的平面曲杆位于水平面内 端固定 自由端受竖直力作用 ABP 设和为常量 试求截面在竖直方向的位移 EI P GIB 解 以为起始边 有 内力 OB0 2 sin 1 cos n MPRMPR 可见曲杆的变形应该计入的影响 n M n B P M sMs ds GIP 与同向 dsRd 33 3 2 44 B P PRPR EIGI P 8 10 试求图示半圆形平面曲杆点的水平位移 等于常量 BEI 解 以为起始边 有 内力 OB0 cos1 2 PR M 在处水平方向向右的单位力作用下 B 0 sinMR 则 积分得 向右 0 M s Ms ds dsRd EI 3 2 PR EI P AB R D a C B A P c b 题 8 10 图 题 8 11 图 8 11 水平面内的刚架由圆截面折杆组成 转折处均为直角 求点沿竖直集中力方向的AP 位移 和已知 EI P GI 解 取由指向 由指向 由指向 1 xAB 2 xBC 3 xCD 段 段 AB 111 0 M xPxxa BC 0222 n MxPa M xPxxb 段 CD 333 0 n M xxa MxPb 由卡氏定理 nn A P M xMMxM dxdx EIPGIP 则 123 112233123 000000 0 abaaba A PP PxPxPxPaPb x dxx dxx dxdxadxbdx EIEIEIGIGI 与同向 33 8 3 P PPab abab EIGI P 8 12 有切口的平均半径为的细圆环 截面为圆形 其直径为 试求在两个力作用下RdP 切口的张开量 弹性模量已知 ABE C A P P P A BO R 题 8 12 图 解 结构与载荷均有对称性 取其上部分析 处截面无转角无位移 相当于固定约束 C 原题中所求张开量 2 A cosM sMPR