浅谈伴随矩阵的若干计算

I 摘要 伴随矩阵是高等代数中不可缺少的一部分内容 如果能深入的学习和探讨伴随矩 阵 那将充分的充实高等代数中矩阵的内容 则对高等代数的理解 学习 应用起到 良好的作用 本文开始详细的阐述了伴随矩阵的定义与基本性质为下面探讨做准备 接着进入伴随矩阵的计算 这是内容的重点和数学思想方法 伴随矩阵与原矩阵的关 系 这有利于培养数学思想 提高数学思维 伴随矩阵的证明与转化的应用这是对基 础性质和内容的巩固 通过对上面的探讨 进一步深入学习 推广 探索研究 从而 丰富伴随矩阵的内容 掌握伴随矩阵的计算方法及数学思想 增强辩证思维 提高学 习效率与能力 充实知识与内容 关键词 关键词 伴随矩阵 原矩阵 性质 计算 II Abstract Adjoint matrix is an indispensable part of the higher mathematics To study and explore further of adjoint matrix will not only enrich the knowledge of matrix but also contribute to the study and understanding of higher mathematics This thesis will give an elaboration of the definition and properties of adjoint matrix at the beginning and focus on the calculation of adjoint matrix in the following chapter which is the emphasis of the thesis and the thought and method of mathematics Also the study of the relationship between adjoint matrix and original matrix is helpful for the cultivation of thinking method on mathematics The justification and transform of adjoint matrix consolidate the properties and content of adjoint matrix the thesis try to enrich the adjoint matrix through further study and exploration step by step and make the readers understand and master the calculation of adjoint matrix and the thinking method of mathematics and also influence their dialectical thinking study effect and ability Key words adjoint matrix original matrix properties calculation III 目录目录 摘要 I Abstract II 目录 III 第一章 引言 1 1 1 研究背景 1 1 2 文献综述 1 1 3 计算方法 2 1 4 勇于创新 勤于思考 3 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 4 2 1 定义与基础性质 4 2 1 1 在A矩阵中进行伴随矩阵定义 4 2 1 2 伴随矩阵的基本性质 5 2 2 伴随矩阵的计算 7 2 2 1 定义式计算 7 2 2 2 分情况求解法 8 2 2 3 浅谈上 下 三角的求伴随矩阵的两种方法 11 2 2 4 分块对角可逆n阶矩阵求伴随矩阵 13 2 3 关于伴随矩阵有关的一些特殊等式关系 15 2 3 1 行 列 之和相等原矩阵与伴随矩阵对应关系 15 2 3 2 行 列 之和相等原矩阵与伴随矩阵对应关系的一个应用 17 2 3 3 两行 列 对应元素相等的原矩阵与伴随矩阵对应关系 18 2 3 4 两行 列 对应元素等比的一个推论 19 2 4 伴随矩阵的证明 19 2 4 1 关于性质 2 122 中的另一种证明 19 2 4 2 性质 2 123 的证明 20 2 4 3 性质 2 124 的另一种证明 20 2 5 伴随矩阵转化的应用 20 2 5 1 知伴随矩阵求原矩阵与原矩阵的逆 20 2 5 2 知伴随矩阵求相关矩阵 21 2 5 3 应用伴随求其它矩阵 22 第三章 求伴随矩阵的探讨及推广 23 3 1 两条线型矩阵求伴随矩阵 23 3 1 1 第一大类 23 3 1 2 第二大类 26 3 2 对 n 阶箭型矩阵求伴随矩阵 28 3 2 1 第一种方法 29 3 2 2 第二种方法 31 3 3 三对角 n 阶矩阵求伴随矩阵 32 IV 3 4 hessenberg 型的 n 阶矩阵求伴随矩阵 37 结束语 40 致谢 41 参考文献 42 第一章 引言 1 第一章第一章 引言引言 伴随矩阵是高等代数中不可缺少的一部分 对其研究充分的展示了矩阵内容的全 面性 对于伴随矩阵的计算方法 和一些有关于等式的证明 是本文所要研讨的内容 关于伴随矩阵的应用 这也是经常会用到的 例如求逆矩阵的时候 往往会用到伴随 矩阵的知识等等 掌握好伴随矩阵的基本性质 在这些基本性质上进行计算探讨 证 明 应用 推广是学好伴随矩阵所不能缺少的 1 11 1 研究背景研究背景 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的 在关于伴随矩阵的一些性质可以应 用到其他矩阵的计算证明中 在这时候就更需要这一方面的知识了 伴随矩阵的内容 深入不仅增加了矩阵的内容 也补充了矩阵计算的不足 在矩阵的证明与应用中的到 广泛的推广 从学习上来说 学习伴随矩阵不仅可以增加学习者的知识 在矩阵的研 究中 通过进一步学习伴随矩阵 使得我的知识得到巩固和扩充 在数学思想来说 学习这一方面的知识 可以使学生的数学思想得到有效的提高 通过这一次的数学探 讨 学生是有必要的 为了能更好的掌握这一方面的知识 增强学生的数学思维 提 高学生的知识能力 取得更好的学习效果 现在来学习本次知识内容 1 21 2 文献综述文献综述 经过三个多月的努力 我的论文基本完成 在这个过程中 我通过收集的方式参 考了很多书籍 文章 报刊和网上学习 通过这些资料 我深入的学习 探讨 研究 和分析 我总结出了 这些资料对于我这次的学习有很大的帮助 通过这些资料可以 更全面的来探讨所学的内容 它对我这次完成我的论文起到不可缺少的作用 下面就 是我所引用的文献综述 高等代数 第五版给出了伴随矩阵的基本性质 关于可逆矩阵与伴随矩阵的转 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 2 化关系 关于伴随矩阵与矩阵的逆它们的求法 在矩阵中求它的逆 是否在求逆方A 法之外的其他方法呢 通过这些等式可以更好的求你矩阵 这些基础性质是伴随矩阵 探究不可缺少的内容 是我所写论文的基础 高等代数 考研教案 北大 三版 这本书主要是探讨伴随矩阵的一些简单的计 算和一些特殊的证明 通过这些计算证明总结出计算方法和数学思想 高等代数 北京大学第三版 基础内容 一些困难的计算与证明 这主要是学 习一些比较困能的求法和证法 通过这次学习 使知识有更一步的提高 数学思维有 明显的进步 一种求伴随矩阵的方法 莆田学院学报 这是关于求伴随矩阵的一种计算方法 具有概括性的方法 伴随矩阵的一个性质 桂林市教育学院学报 综合版 这是伴随矩阵的一种特 殊的情形 这种特殊的情形是有规律的 这种规律可以得出伴随矩阵的规律 高等代数 教学研究 西南大学出版的 主要是深入研讨 一些特殊的方法 计算还有其他方面的应用等 还有其他的参考书和网络资料 在这里我就不一一列举 通过这些资料给我启发 很大 通过这些资料我才能够顺利的完成了我的学院论文 1 31 3 计算方法计算方法 写作之前在网上和图书管查看了许多相关的资料 也做好了笔记 通过我多方努 力 我把握了我需要的材料 经我再三的思考 我总结好我的论文结构 对我所查的 资料认真运用 也在这基础我创新出我的观点 相当多的一部分内容是我自己得出的 如我想出运用行列式的技巧来探讨伴随矩阵 在此之前我学习了行列式的计算 在行 列式的计算中把特殊的类型分成两行型的 有箭爪型的 有三对角型的 还有 hessenberg 型的这几类 对于这些特殊的情形都给予了解答 也就是说它们都有一条 计算公式 其实通过这些公式也是可以求伴随矩阵的 因为伴随矩阵就是由一些代数 余子式是构成 所研究的代数余子式就是一个带有符号的行列式 这正好符合行列式 的特征 当时我就想到利用行列式来求伴随矩阵 首先把这些类型的计算方法和过程 进行探究 对于这些特殊类型求伴随分类型讨论 我相信这些矩阵是可分部分进行求 伴随矩阵的 所以我把伴随矩阵分成好几个区域 而且这些区域可以总结出一条求伴 随矩阵的公式 在这里我发现了一个规律就是大部分区域都是可以化成一个常数和这 些特殊行列式相乘的 所以就可以利用这些行列式进行求解 第一章 引言 3 1 41 4 勇于创新勇于创新 勤于思考勤于思考 本内容是根据高等代数中的伴随矩阵内容而写 其中所探讨的内容有好几方面 有伴随矩阵的基础性质 有关伴随矩阵的计算方法 还有定义 定理 证明等等 内 容很多 也有些复杂 凌乱 在学习中有可能慌乱 抓不住主题 课后的习题也比较 多 涉及的知识点也很多 因此必须在清楚的认识 理解矩阵的内容和伴随矩阵的知 识 才能更好的学习与掌握 通过这一次的学习 要学习这种计算方法 证明方法 更重要的是在一系列的学习以后 对知识进行推广与扩充 学习这一种数学方法 做 到勇于创新 勤于思考 更好的掌握高等代数的知识与内容 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 4 第二章第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用伴随矩阵的定义性质与计算 应用 在高等代数的学习研讨中 每一个知识内容都是不可缺少的 也是有着重要意义 的 这些内容包含着重要的数学思想 在矩阵的研讨中 它更是高等代数中不可缺少 的一部分 伴随矩阵是矩阵中的一个特殊知识点 伴随矩阵的性质也和原矩阵有着密 切的联系 伴随矩阵的计算是矩阵不可缺少的内容 通过伴随矩阵计算 可以解决很 多应用性的问题 逆矩阵的求法是矩阵的重要组成部分 通过学习伴随矩阵 可以通 过伴随矩阵来求逆矩阵 伴随矩阵等价关系的证明也是极其重要的 通过这次学习掌 握这方面的知识 学习伴随矩阵 也为更好的掌握知识 为第三章推广做准备 2 12 1 定义与基础性质定义与基础性质 伴随矩阵的由来与其定义 伴随矩阵是根据原矩阵而定义的 它们存在一定的关 系的 在这个基础上它们在一定的条件关系中有一定的等价关系 它们的基础性质也 由此而产生了 2 1 12 1 1 在在矩阵中进行伴随矩阵定义矩阵中进行伴随矩阵定义A 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa 定义 2 111 在一个阶行列式中n 1 n 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa 的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的阶子式 ij MD ij a1n 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 5 111 11 11 1 11 11 11 1 11 11 11 1 1 1 jjn iijijin ij iijijin nn jn jnn aaaa aaaa M aaaa aaaa 定义 2 112阶行列式的元素的余子式附以符号后 叫做元素的带上nD ij a ij M 1 i j ij a 余子式 元素的代数余子式用符号来表示 ij a ij A 1 i j ijij AM 定义 2 113 设是行列式中元素的代数余子式 ij Adet A ij a 令 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 把叫做矩阵的伴随矩阵 AA 注 所说的伴随矩阵是指矩阵的伴随矩阵 那么对视矩阵时是否存在n n nm nm 伴随矩阵呢 这里是不存在的因为对于中代数余子式是没有值的 所以 nm nm ij A 这里的伴随矩阵是阶的 当然我们可以另外定义伴随矩阵 n n nm nm 2 1 22 1 2 伴随矩阵的基本性质伴随矩阵的基本性质 性质 2 121 若 则由 得伴随矩阵可逆 且 0A AAA AA E A 再由 得 1 1 1 AA AAA A 11 1 1 AAAEE A 11 AA 注 关于证明 AAA AA E 容易求得 det00 0det0 00det A A AAA AA E A L L M MM L 性质 2 122 对于 根据 得 2 n nA 阶方阵 AAA AA E 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 6 若 则 0A 1 nAA 若时 可分下面情况 0A 若 则 0A 0A 1 nAA 若 则可以 于是有非零0A 0A An 秩A 0A X 的列是的解 0A X 解 从而 则有 0A 1 nAA 综上所述 总有 1 nAA 性质 2 123 若 则 0A 11 AA TT AA 性质 2 124 若 都是阶可逆方阵 则由ABn 得 AB ABAB EA B EAAB EA B A EA BBA EABB A E ABB A 性质 2 125 设 2 n nA 阶方阵 若 则 所以 即可逆 从而 An 秩 0A 1 0 n AA A An 秩 若 则至少有阶子式不为 0 从而 又 1An 秩A1n 1A 秩 1An 秩 则有 的线性无关的列是线性方程组的线性无关 0AAA AA E A1n 0A X 的解 于是 因此得 1A 秩 1A 秩 若 则的所有阶子式都为 0 从而 1An 秩A1n 0A 综上所述 有 1 0 n A 秩 A n 秩 秩 A n 1 秩 A n 1 性质 2 126 1 n kAkA 因为 111 11211 111 1 12222 111 12 nnn n nnn nn nnn nnnn kAkAkA kAkAkA kAkA kAkAkA L L MMM L 注 11121 21222 12 n nn nnnn kakaka kakaka kAkA kakaka L L MMM L kA 性质 2 127 2 3 n AAA n 证明 时 则易知 当 0A 0A秩 2 n AAA 0A AAA E 对于 此公式不成了 这里不讨论 1 12 1nn AAAAAAA A 2n 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 7 2 22 2 伴随矩阵的计算伴随矩阵的计算 伴随矩阵的计算是矩阵不可缺少的一部分内容 那么要学习好伴随矩阵 主要是 通过伴随矩阵入手 通过探究伴随矩阵的计算 从而更好的研究伴随矩阵 下面的内 容是通过两种方法入手 第一种是从定义入手 这个计算方法是基础的 是研究伴随 矩阵不可缺少的内容 当然这种计算繁杂 不利于技巧性 也比较的容易出错 对于 比较高阶的矩阵是比较的困难的 因此又从另一方面进行计算探究 这是分情况讨论 性学习 其中是从三种情况进行 通过三种情况分析进行伴随矩阵的求解 也可以很 容易的求解到结果 从而避免了定义式计算的繁杂 这种方法技巧 灵活 特别是关 于这种情况技巧性更强 这是一种最实用的求伴随矩阵的方法 通过这两 1An 秩 种求解法来探讨伴随矩阵的计算 另外我又学习了一种特殊的计算 上三角的两种求 法 这种计算看是繁杂 但讨论起来还是可以解决 还有扩展了特殊可逆分块求伴随 2 2 12 2 1 定义式计算定义式计算 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA L L MMM L 这是一种根据伴随矩阵的定义来计算 其特点是对于知道一个原矩阵就可以求它 的伴随矩阵 其缺点是计算繁杂 不利多阶计算 例 1 已知 求 1112 2122 aa A aa A 解 根据定义可求得 1122122121122211 AaAaAaAa 即 2212 2111 aa A aa 例 2 已知 求 111213 212223 313233 aaa Aaaa aaa A 解 求得 1 i j ijij AM 1122332332 223323321332123312231322 1221332331 233121331133133121 131123 213222311231113211221221 3311221221 Ma aa a a aa aa aa aa aa a Ma aa a Aa aa aa aa aa aa a a aa aa aa aa aa a Ma aa a 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 8 注 从上例 2 可以知道对于高阶计算量会变得很大 这种好方法就比较容易 2 2 22 2 2 分情况求解法分情况求解法 条件阶方阵 第一种情形 第二种情况 第三种情况3n An 秩 1An 秩 那么对当然可以容易求得 2An 秩3n 即是可逆的 那么由 An 秩A AAA AA E 1 AA A 因此只要求出与即可 因为是知道的 所以可以求出它的行列式 再者 1 A AA 因为是可逆的 运用前面所学的可以求出的逆 AA 注 这里的变化是初等行变换求可逆 这里只允许实施初等行变 1 A EE A 初等行变换 换 例 3 设 求伴随矩阵 100 220 345 A A 解 可逆 则有易求 现在求 根据0A A 1 AA A 10A 1 A 1 A EE A 初等行变换 100100100100100100 220010020210020210 345001045301005121 100 100 1 01010 2 001 121 555 求得则 1 100 1 10 2 121 555 A 1 100 1000 1 10101050 2 242 121 555 AA A 对于的情形 1An 秩 定理 1 如果 有基本性质 2 125 得 1An 秩 1A 秩 可设其中是齐次线性方程组的一个基础解系 12n Akkk L 0AX 123 1 2 T iiii kxAAAin LL是的解 证 并且齐次线性方程组的解空间也是 1 维的 因此设是其 1A 秩0AX 一个基 那么中每一列向量都是的线性组合 故可得 A 12n Akkk L 从而 123 1 2 T iiii kxAAAin LL是的解 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 9 现在通过下面的方法进行求伴随矩阵 构造阶矩阵 其中阶单位矩阵 只进行行的消法或互换两 2 nn A EEn是 行的初等变化 则经过上述要求的行初等变换得到如下 1An 秩 对于时有 An 秩 1 2 00 00 00 n d d A E d LL LL MMMM MM LL 对于时有 1An 秩 11 22 11 11 1 00000 00000 00000 00 00000 00000 000000 00000 ii ii n nn dc dc dc A E cd c dc LLL LLL MMMMMMMM MM LLL LLL LLL MMMMMMMM MM LLL LLL 由于时 有 所以时有 根据上面的 An 秩 12n Ad dd L 1An 秩0 i d 结果 可以求得的基础解系是0AX 1112 1211 1 iin iin ccccc ddddd LL 通过求出则 123 1 2 T iiii kxAAAin LL是的解 i k 12n Akkk L 关于的值 假设求得 那么 i k 12 n x xx L ij i i A k x 0 ij A 例 4 求矩阵的伴随矩阵 10200 12600 02710 00310 00912 A A 解 可求得即符合定理 1 33 040AA 且 5 1A 秩 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 10 10200100001020010000 12600010000240011000 02710001000271000100 00310000100031000010 00912000010091200001 A E 10200100001020010000 02400110000240011000 00000111100000011110 00310000100031000010 00912000010060200011 所以容易求得 1112 1211 1 2 2 1 3 3 iin iin ccccc ddddd LL 13 0200 200 2600 2 3108 0310 912 0912 A 23 1200 120 1600 2 1608 0310 031 0912 A 33 1000 120010 10 4 001012 12 0012 A 43 1020 102 1260 2 12612 0030 003 0092 A 53 1020 102102 1260 1261266 1812 0031 003009 0091 A 由于 则 ij i i A k x 13 1 1 23 2 2 33 3 3 43 4 4 53 5 5 8 4 2 8 422222 2 22222 4 4411111 1 33333 12 4 33333 3 12 4 3 A k x A k x A kA x A k x A k x 容易求解到 2An 秩 0A 综上所述就是分情况求解法 这三种方法覆盖所有的阶方阵伴随矩阵求解 那3n 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 11 么对于方阵 当然容易求解 2n 2 2 32 2 3 浅谈上 下 三角的求伴随矩阵的两种方法 浅谈上 下 三角的求伴随矩阵的两种方法 首先来探究上三角伴随矩阵的两种求法 利用同样的方法也可以同样的求下三角 现在求的伴随矩阵 11112 222 1122 0 0 00 n n nn nn aaa aa Aa aa a L L L MMM L A 第一种方法 直接定义法 现在设表示所求中的某一具体元素 那么分别表示元素的行标和列标 ij A A i jA 现在设分别表示任意元素的行标和列标 求出代数余子式 那么也就是求出了伴 I JA 随矩阵 下面我们分情况求它的代数余子式 当的时候 即所求中某一元素的行标数小于列标数 则 ij A0 ij A 当的时候 即所求中某一元素的行标数等于列标数 这时 ij A 1 ijII Aa 为元素连乘符号 表示遍取排除 后的所有数 1 Ini 当的时候 即所求中某一元素的行标数减去列标数等于 1 则1ij A 表示遍取排除 后的所有数 2 ijijII Aaa 2 Ini 当的时候 首先来探讨关于这样的一个行列式 2ij 1 2 1 1 11 21 11 2 22 12 11 1 2 12 1 11 j jj jj ij i jjjjjiji jjjijiijj jjjj j ijij iiii aaaa aaaa aaaBaBaaB aa L L L OMM 11 22 21 33 32 42 33 32 42334j jjjjjjjjjjjjjjjjjijijijij aaBaaBaaaBaaB 按照这样张开可以求得的值 也就是是已知 现在来求 ij B ij B ij A 11111 11 2111 1 11 11 21 11 1 2 1 1 11 21 11 2 22 12 1 11 1 1 1 jjjii jjjjjjjiji j jj jj ij i ij jjjjjiji ij jjjiji iiii ii aaaaaa aaaaa aaaa aaaa A aaa aa a LL OMMMMM L L L L OMM L O 1 11 1 jn ij kkkkij kk i aaB 第二种方法 它与第一种方法大概是相同的 它是从的逆矩阵出发的 我们都A 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 12 知道当存在逆的时候 那么 这里很容易求得 只要求出A 1 AA A 1122nn Aa aa L 的逆便可以了 对于可以通过初等行变换来求 把分别表示元素的行标和A 1 A i jA 列标 表示的 行标和列标的代数余子式 设分别表示任意元素的行标和 ij bAij I JA 列标 那么因为可逆 则 分别求得 A 1122 0 nn a aa L 当的时候 即所求中某一元素的行标数小于列标数 则 ij 1 A 0 ij b 当的时候 即所求中某一元素的行标数等于列标数 这时ij 1 A 为元素连乘符号 表示遍取排除 后的所有数 1 1122 1 ijII nn ba a aa L 1 Ini 当的时候 即所求中某一元素的行标数减去列标数等于 1 则1ij 1 A 表示遍取排除 后的所有数 2 1122 ij ijII nn a ba a aa L 2 Ini 当 即所求中某一元素的行标数减去列标数大于等于 2 则2ij 1 A 在这里还知道所以同样可以求 1 11 1122 1 jn ij ij ijkkkk kk i nn B baa a aa L 1122nn Aa aa L 得 1 11 1 jn ij ijkkkkij kk i baaB 这就是求伴随矩阵的两种方法 对于下三角同理也可以得出这种方法 注 这两种方法同时都是通过发现他们的规律来求元素的 在这里它们仅是不同 就是在于所求的矩阵不同 第一种方法是直接就求出它的元素 而第二种是间接求出 逆矩阵再求伴随矩阵 困难的理解两题的第四部分的时候 不过只需认真观察2ij 就可以发现第四部分的规律 从第一种证明中 我们就可以看出 只要求出就可以 ij B 求出代数余子式 ij A 2 2 42 2 4 分块对角可逆分块对角可逆 阶矩阵求伴随矩阵阶矩阵求伴随矩阵 n 这里有一个条件就是分块矩阵都可逆 第一种对角 求 1 2 s A A A A O A 解 因为阶可逆 则可逆 所以求 1 12 S AA AAA AA QLn 1 2 i A is L 得 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 13 1 1 1 1 1 21 2 1 s s AA AA A AA OO 1 1 1 12 12 1 S s A A AA AA AA A L O 第二种对角 求 1 2 s A A A A N A 解 1 AA A 所以求得 11 1 1 22 22 12 11 n nn n S ss AA AA AA AA AA L NO 1 1 1 1 21 1 1 1 s s s AA AA A AA NN 1 1 1 1 2 12 1 1 1 s n n s S A A AA AA A L N 例 5 已知求伴随矩阵 11100 12100 11300 00012 00011 A A 解 其中 1 2 11100 12100 11300 00012 00011 AO A OA 12 111 12 121 11 113 AA 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 14 1 11 51 1 22 2 110 11 0 22 AA 1 22 10 3 11 33 AA 根据定理上面第一种方法求得 1 11 12 1 2 51 100 22 11000 11 6000 22 00010 11 000 33 AO AA AA A OA 例 6 已知求伴随矩阵 00111 00121 00113 12000 11000 A A 解 令 即是 12 111 12 121 11 113 AA 1 2 OA A AO 求得 1 11 51 1 22 2 110 11 0 22 AA 1 22 10 3 11 33 AA 根据第二种方法求得 1 4 5 12 2 12 1 1 00010 11 000 33 51 16100 22 11000 11 000 22 OA AA AA A AO 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 15 2 32 3 关于伴随矩阵有关的一些特殊等式关系关于伴随矩阵有关的一些特殊等式关系 这是关于伴随矩阵的一些特殊的关系 特殊体现在没有公式可言 但这种关系是 存在的 通过这种关系可以更好的学习伴随矩阵的内容 也有利于提高的知识水平 通过这种学习还可以培养学习兴趣 引理 1 已知阶方阵 则方阵的行列式之值等于它任一行 列 元素与它n ij n n Aa A 对应得代数余子式乘积之和 即 112222 1 2 iiiiii Aa Aa Aa Ain LL 2 3 12 3 1 行 列 之和相等原矩阵与伴随矩阵对应关系行 列 之和相等原矩阵与伴随矩阵对应关系 定理 2 设阶方阵 若的每一行 列 所有元素之和均为常数 则的n ij n n Aa AkA 伴随矩阵的每一行 列 所有元素之和也相等 A 证明 设 现在假设它们的列相等为 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa L L MMM L 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA L L MMM L 如下分两种情况来讨论值时 是否成立 kk 第一对行列式 第二把所有的非 列加到 列上 再按 列展开得 Aiii 111 11 11 11121 212 12 12 21222 1 1 1 12 1 1 1 iinn iinn nn in in nnnnn aaaaaaa aaaaaaa A aaaaaaa LLL LLL MMMMMMMM LLL 1 2 1 2 iii n kAkAkAin LL 假设 有0k 1 11 21 1 2 nnnn n A AAAAAA k LLL 假设 有0k 111212122212 0 nnnnnn aaaaaaaaa LLLL 所以有 1 1 11 1 2 ijii ji jn aaaaain LLL 取 列行的伴随矩阵得ij 111 11 11 1 11 11 11 1 11 11 11 1 1 1 1 iin jjijijn ij ij jjijijn nn in inn aaaa aaaa A aaaa aaaa LL MMMM LL LL MMMM LL 把所有除了第一列加到第一列 化简得 1 1 11 11 1 1 11 11 1 1 11 11 1 1 1 iiin jijijijn ij ij jijijijn n in in inn aaaa aaaa A aaaa aaaa LL MMMM LL LL MMMM LL 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 16 1 1 11 11 1 1 11 11 1 1 1 11 11 1 1 1 iiin jijijijn ij jijijijn n in in inn aaaa aaaa aaaa aaaa LL MMMM LL LL MMMM LL 第一列置换第二列 再把第二列置换第三列 如此类推一直到列置换列2j 1j 得到 1 21 1 11 1 21 1 11 12 1 21 1 11 2 1 1 iin jjijijnijj ij jjijijn nn in inn aaaa aaaa A aaaa aaaa LL MMMM LL LL MMMM LL 1 21 1 11 1 21 1 11 1 1 1 21 1 11 2 1 1 iin jjijijn i i jjijijn nn in inn aaaa aaaa A aaaa aaaa LL MMMM LL LL MMMM LL 即是求得 11121 21222 12 n n nnnn AAA AAA AAA L L M L 即证得 112111222212nnnnnn AAAAAAAAA LLLL 同理可以证得列关系也是成立的 综上所述 定理得证 2 3 22 3 2 行 列 之和相等原矩阵与伴随矩阵对应关系的一个应用行 列 之和相等原矩阵与伴随矩阵对应关系的一个应用 定理 3 若阶方阵可逆 且的每一行 列 所有元素之和均为常数 则每一nAAk 1 A 行 列 所有元素之和为相同的常数 且 l 1 0 kl k 证 因为可逆 所以 即是的每一行 列 所有元素之和不可能均为常数 A0A A0 否者这将与可逆矛盾 即是 A0k 由于可逆 所以A0A 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 17 既有 0AAA AA E 可以化简成 11121 12222 1 12 n n nnnn AAA AAA AAA A AAAA A AAA AAA L L MMM L 根据定理 2 可知道 112111222212nnnnnn AAAAAAAAA LLLL 所以 112111222212 111 nnnnnn AAAAAAAAA AAA LLLL 即证得行之和是成立的 同理可以证得列关系也是成立的 即得证 2 3 32 3 3 两行 列 对应元素相等的原矩阵与伴随矩阵对应关系两行 列 对应元素相等的原矩阵与伴随矩阵对应关系 定理 4 若阶方阵 中的有两行 列 所对应的元素相等 则所对应中的两nAAA A 列 行 所对应的元素相等 证 现在假设中的第 列和第列所对应的元素全部相等 既有Ai jji 1 111 11 111 1 2 122 12 122 1 1 1 1 1 iijj iijj n inn in jnn j axaaxa axaaxa A axaaxa LLL LLL MMMMMM LLL 对应的现在来证 1 2 k kn L ikjk AA 1 11 11 111 1 1 11 11 111 1 1 i k kikikjkkj ik kikikjkkj aaaxa A aaaxa MMMMMMMM LLL LLL MMMMMMMM 1 111 11 11 1 1 111 11 11 1 1 1 j i kikkikjkji k kikkikjkj axaaa axaaa MMMMMMMM LLL LLL MMMMMMMM 1 111 11 11 1 1 111 11 11 1 1 j k kikkikjkj jk kikkikjkj axaaa A axaaa MMMMMMMM LLL LLL MMMMMMMM 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 18 求证得 即所对应的行元素相等 ikjk AA 同理所对应的行元素想的时候 则中的两列所对应的元素相等A A 综上所述 得证 注 这里所说的是的行对应于的列 而列对应行 A A 2 3 42 3 4 两行 列 对应元素等比的一个推论两行 列 对应元素等比的一个推论 推论 1 若阶方阵 中的有两行 列 所对应的元素它们比相等 则所对应nAAA 中的两列 行 所对应的元素它们比也相等 A 2 42 4 伴随矩阵的证明伴随矩阵的证明 这是关于伴随矩阵的证明及其它证明的应用 这比较的特殊 因为关于证明的题 目没有公式 只能对知识的深入的学习 理解的基础上才能更好的灵活运用 通过对 知识点的探究 可以更好的学习 证明当然包括本身 也存在于应用之中 对于一条 证明题往往存在这技巧性 这些技巧和学习内容的性质是有关系的 只有对性质的记 忆和理解才能发挥这些性质的作用 因此证明题就是伴随矩阵的一部分重要的内容 更是体现了伴随矩阵的应用 通过证明可以更好的充实的学习能容和巩固学习知识 利用证明题可以体现伴随矩阵的性质的重要性 2 4 12 4 1 关于性质关于性质 2 1222 122 中的另一种证明中的另一种证明 求证 1 2 n AAn 证明 由于 因此 所以当时 A AAAA E n A AAAA EA 0A 1 n n A AA A 当时 则 因为 则 因为0A 1An 秩 0 n A 1An 秩 1A 秩 为阶方阵 所以 得证 An 2 n 0A 1 2 n AAn 综上所述 本题得证 1 2 n AAn 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 19 2 4 22 4 2 性质性质 2 1232 123 的证明的证明 求证 11 AA TT AA 证明 即 111 1 111 1 AAAAA AA A 11 AA 既 1 11 T T TTTT AAAA AA AA TT AA 2 4 32 4 3 性质性质 2 1242 124 的另一种证明的另一种证明 求证 ABB A 证明 11111 ABAB ABA B B AB BA AB A 2 52 5 伴随矩阵转化的应用伴随矩阵转化的应用 伴随矩阵的应用充分的展示了伴随矩阵的知识 体现了伴随矩阵的重要性 这是 不可缺少的一部分内容 通过伴随矩阵来求其它的矩阵 是根据伴随矩阵的定义与基 本性质出发的 因此只有掌握伴随矩阵的知识才能更好的应用 可以充分的展现出伴 随矩阵的联系性 通过这一节内容 深刻的探讨 分析及应用 2 5 12 5 1 知伴随矩阵求原矩阵与原矩阵的逆知伴随矩阵求原矩阵与原矩阵的逆 条件是伴随矩阵可逆 如果其中可逆且存在 现在来求与 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA L L MMM L A 1n A A 1 A 根据题意可以求得的值 假设 知道的逆是存在的 因为满秩 A 0Aa A A 根据可求得的值且不为 0 那么根据来求得 对于 1 n AA A 1 1 AA A 1 A A 因为 则 AAA E 1 AA A 可以求得 A 例 7 已知现在 4300 1000 0036 0033 A 来求与 A 1 A 第二章 伴随矩阵的定义性质与计算 应用 20 解 求得 即是 3 4300 1000 2730 0036 0033 A 3A 所以即是 1 AA A 1 1 AA A 1 4 4300100 3 10001000 1 3 00360123 0 0033011 0 A 1 1 43000100 10001400 3 00360012 00330011 AA A 2 5 22 5 2 知伴随矩阵求相关矩阵知伴随矩阵求相关矩阵 例 8 设矩阵的伴随矩阵 且 其中为 4A 1000 0100 1010 0303 A 11 3ABABAE E 阶单位矩阵 求矩阵 B 解 由于推出即是 AAA AA E 4 A AA 3 8 2AAA 又给等式右乘得 再左乘得 11 3ABABAE A3ABBA A 于是有即是而为可逆矩阵 3A ABA BA A 3A BA BA E 26EABE 2EA 于是 由 1 6 2BEA 求得 1000 0100 2 1010 0306 EA 1000 0100 2 1010 11 00 26 EA 故求得 1 6000 0600 6 2 6060 0301 BEA 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 21 2 5 32 5 3 应用伴随求其它矩阵应用伴随求其它矩阵 例 9 已知三阶的逆矩阵为A 1 111 121 113 A 求伴随矩阵的逆矩阵 解 由于 所以 1 AA A 11 1 1 AA AA A 这里因为由于可逆有 11 1AAEA AE A 1 1 A A 求得 1 51 2 111 22 121120 11311 0 22 A 1 521 1 220 101 AA A 伴随矩阵的内容及其丰富 认为可以更加广泛的研究它 可以在伴随矩阵的特殊 计算中更加深入的探讨 把行列式的计算运用于求伴随集中 通过这样更加深入的研 究 下面就开始更加深入的学习 第三章 求伴随矩阵的探讨及推广 22 第三章 求伴随矩阵的探讨及推广 这是这次论文的重点之一 它根据高等代数的内容出发 是一种具有技巧性的探 讨 在行列式的计算中 我们经常会遇到好几种特殊行列式 这些行列式是有规则的 它们分别为两行型的 箭爪型的 三对角型的 还有 hessenberg 型的 另外还有一些 更加特殊的情形 现在根据这些情形进行有目的的探讨 也就是伴随矩阵的推广 从 而是伴随矩阵的内容更加的丰富 培养辩证内力 使学习效率进一步的提高 提高数 学思想 因为伴随矩阵中的代数余子式原本就是一个行列式加符号而已 那么就可以联系 到伴随矩阵中来 在此之前我们都求了这些行列式 所以就可以应用到伴随矩阵的元 素计算中来 当然这些计算存在一定的规律 所以并不需要把每个元素意义求一遍 这也算是行列式推向伴随矩阵 使伴随矩阵得到更大的推广 先假设 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA L L MMM L 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa L L MMM L 3 13 1 两条线型矩阵求伴随矩阵两条线型矩阵求伴随矩阵 两条型的伴随矩阵又有好几种 按照行列式计算中把他们分成五种类型 但在这 五种类型中 又有几类仅是转至了一下 可以用同一种方法来求出 所以我把这五类 分成两大类 3 1 13 1 1 第一大类第一大类 11 2 1n n ab a b ca O O 1 12 1nn ac ba ba OO 1 21 1nn ca ab ab NN 11 2 1n n ba a b ac N N 现在仅对这大类中的一个矩阵进行求伴随矩阵即可 求解如下 对于伴随矩阵 11 2 1n n ab a A b ca O O 求伴随矩阵 A 解 按伴随矩阵的定义 只要求出伴随矩阵中的元素即可 在这里设 广东石油化工学院本科毕业论文 浅谈伴随矩阵的若干计算 23 是的第行第 列的元素 所以只要求出代数余子式 1 2 1 2 ij A in jn LL Aji 即可 下面求 ij A ij A 从的第 1 列开始 对应的第一行A A 同理 22 1 1 3 11234 1 n n n ab a Aa a aa b a O L O 11 21nn Abbb L 从第 1 列的第 2 个一直到第 n 1 个 可以发现一个规律A 1 2 2 1 11 11 1 1111 2 1 11 i in ii ii ijj jj iii i n n b a b ab Aba ab a b a O O O O 2 3 1in L 从第 n 行到第 2 列到第 n 列有A 11 22 1 1 111 22 11 11 ii in i ni n i nijj jj ii ii nn ab ab a Aab b ab ab OO OO 2 3 1in L 除第 1 列和第 n 行以外的所有代数余子式 设A 1 2 1 2 injn LL 当且 则1ij in 11 22 1 1 2 2 11 11 1 jj j j ij ijj i ii ii n ab ab a b Aa b ab ab ca OO O O OO 11 111 1 jin ij kkk kkjk i aba 第三章 求伴随矩阵的探讨及推广 24 当且时有1ji in 11 11 1 jn ij ijkk kkj Aab 当且时 即是1ij jn 11 11 11 22 1 1 2 1 1 ii ii