高中数学：《数学的极限及运算》学案（旧人教版选修2）（贵州适用）.doc

高三数学的极限及运算高三数学的极限及运算 人教版人教版选修选修 2 2 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 高三数学选修 II 数列的极限及运算 目标 理解数列极限的描述性定义 掌握数列极限的四则运算法则 重点 会判断无穷数列的极限 会进行简单运算 难点 利用简单数列的极限求较为复杂数列的极限 知识点 1 数列极限的定义 描述性 2 四则运算法则 1 对无穷数列 an 当项数 n 无限增大时 数列的项 an无限趋近于某个常数 a 则称数列 an 有极限 常数 a 叫 an 的极限 记为lim n n aa 2 limlim若 则 n n n n aabb lim lim lim n nn n nn n n n ababa bab a b a b b 0 注 注 1 以上法则只适用于有限个数列的运算 2 基本数列的极限 limlimlim nnn n n ccaa 1 001 例 1 下列数列中 存在极限的数列是 aa nn A aB a n C a n D aqq n n n n nn n cos 11 2 11 4 1 解 解 直接由定义判断选 B A C 是周期数列 D an无限增大 n 例 2 已知 则当时 的极限为 a n n n n n na nn 1 100 1 100 A 0B 1C 0 或 1D 不存在 解 解 选 A 例 3 考察下列数列 an 的极限 1 1 2 23 3 1 a n n a nn nn n 解 解 1 111 22 a n nnn n 且limlimlimlim nnnn nnnn 1 0 111 0 2 lim n n a0 2 2 3 3 1 2 3 3 2 3 1 an n n limlim lim n n n n n a 2 3 33 例 4 求下列数列的极限 1 51 25 2 2 lim n n nn 2 1 4 3 4 21 4 444 lim n nn n n 解 解 原式1 5 1 2 15 5 2 2 2 lim n n nn 2 1 4 121 2 4 1 1 4 1 4 2 4 4 a n n n n n n n n lim n n a1 注 注 不能直接按和的运算法则求解 例 5 已知 求常数 lim n n ann bn ab 2 21 2 1 2 解 解 an ann bn bnnann bn ba nn bn n 2 21 2 2421 2 221 2 2222 且lim n n a 1 20 2 4 2 ba b a b 注 注 若 an的分子 分母是关于 n 的多项式 则 lim n n a nn b a 0 分子中 的次方低于分母中 的次方 同次 不存在 分子次方高于分母次方 例 6 已知 若存在 且 求 limlim limananana n n n n n n n 211 解 解 limlim n n n n nana n n 21 21 lim lim n n n na n n 21 21 1 1 1 例 7 求下列数列的极限 1 23 23 2 122 2 2 1 1 aa t t n nn nn n n nn 解 解 1 2 3 3 2 2 3 1 3limlim n n n n n a 2 12 12 2 21 2 1 1 a tt n n nn n nn limlim n n n n nn a t t t t 21 2 22 12 02 1 例 8 若无穷等比数列 an 的任一项等于它以后各项之和的两倍 求公比 q 解 解 设aaa a q nnn n 2 2 1 12 1 则1 2 1 1 3 q q q 注 注 等比数列当时 limqSaaaS a q n n n 1 1 12 1 由此公式可简化运算 如lim n n n 2 1 3 1 9 1 27 1 1 3 2 1 3 1 1 3 2 1 4 7 4 模拟试题模拟试题 1 求下列极限 lim n nnn n n 14732 2222 2 若lim n nn ann 2 2 1 43 4 则常数 a 的值是 A 0B 4C 1 4 D 1 4 3 若M m m mN m m nZ n n m n lim lim 1 1 1 为常数 为常数 则 M N 等 于 A 2B 0C 1D 不存在 4 若 12 9 x 展开式的第 3 项为 288 则lim n n xxx 111 2 的值是 A 2B 1C 1 2 D 2 5 5 已知数列 an的前 n 项和为Sn 且aSn anN nn1 2 1 下面Sn的表达式正 确的是 A S n n n 2 1 B S n n n 21 1 C S n n n 21 1 D S n n n 2 2 6 若极限lim n n xx 2 2存在 则实数 x 的取值范围是 A 1212 B 121112 C 1212 D 121112 7 设Sn n n 1 7 2 7 1 7 2 7 1 7 3 2 1 1 2 234 则lim n n S 的值为 A 1 16 B 1 4 C 9 16 D 3 16 8 已知等比数列 xn的公比为 q 且有lim n n x q q 1 1 1 2 则首项x1的取值范围是 9 若lim lim n nn n nn aba