有限元法与程序-形函数构造.ppt

补充 单元和插值形函数构造 上次课内容回顾 单元形函数 单元位移函数取决于插值函数即形函数 形函数是定义与单元内坐标的连续函数 对平面问题 形函数确定的单元位移表示为 不难证明 形函数具备如下基本性质 1 形函数的性质 单元形函数 形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛性要求 即满足完备性条件和协调性条件 形函数满足单元位移插值完备性的充要条件为 2 收敛性的要求 形函数的构造方法 利用形函数在节点上的性质 利用几何方法构造 然后再用位移函数的完备性和协调性来校核 1 广义坐标法 2 几何法 自然坐标法 首先将单元位移表示为多项式 然后利用单元的几何参数和节点位移来确定多项式的待定常数 从而用单元形函数和节点位移表示位移函数 形函数的构造方法 2 几何法 自然坐标法 回顾拉格朗日插值方法 构造方法 以平面问题为例 先做一组 m条 不通过节点i但通过单元其他所有节点的不可约曲线Fk 0 然后按下式计算 求得Ni后 检验由它们构造的位移函数是否满足完备性和协调性要求 例1四结点四边形单元 式中 i i是结点i的局部坐标 单元 形函数的构造方法 同理 母单元 形函数的构造方法 做两条直线过节点2 3 4 但不过节点1 例1四结点四边形等参数单元 式中 i i是结点i的局部坐标 母单元 形函数的构造方法 合并表示为 完备性检验 例2八结点四边形等参数单元 形函数的构造方法 形函数的构造方法 对节点1 做三条直线过节点2 3 4 5 6 7 8 但不过节点1 过3 4 5 过5 6 7 过2 8 则 形函数的构造方法 对节点2 做三条直线过节点1 3 4 5 6 7 8 但不过节点1 过3 4 5 过5 6 7 过7 8 1 则 同理 构造N3 N4 N8 完备性检验和协调性检验 例3五结点四边形单元 过渡单元 过渡单元 形函数的构造方法 5 对节点1 做三条直线过节点2 3 4 5 但不过节点1 过2 3 过4 3 过5 则 例3五结点四边形单元 过渡单元 过渡单元 形函数的构造方法 5 对节点2 做三条直线过节点1 3 4 5 但不过节点2 过1 4 过4 3 过5 则 例3五结点四边形单元 过渡单元 过渡单元 形函数的构造方法 5 对节点3 做二条直线过节点1 2 4 5 但不过节点3 过1 4 过1 2 5 则 同理 三角形高次单元的形函数 三角形高次单元的形函数可用面积坐标表示 其形函数的构造公式为 例4六结点三角形单元形函数 对节点1 做两条直线过节点2 3 4 5 6 但不过节点1 即 同理得 因此 例4六结点三角形单元形函数 对节点4 做两条直线过节点1 2 3 5 6 但不过节点4 即 同理得 因此 例4六结点三角形单元形函数 协调性检验 注意到 完备性 协调性检验 例5十结点三角形单元的形函数 位移形函数为 例6空间二十结点六面体单元 形函数的构造方法 对节点1 做四个平面过除节点1外的所有节点 过2 3 6 7 13 14 18 19 过5 6 7 8 11 12 14 15 则 过3 4 7 8 10 11 19 20 过9 16 17 作业 5 1 2 写出图示10节点四面体单