直线与圆的知识要点（人教版）

直线与方程 圆与方程知识纲领直线与方程 圆与方程知识纲领 1 直线的倾斜角的定义 直线 与 x 轴相交时 取 x 轴为基准 x 轴正方向与直线向上方向所成的角叫做直线l 的倾斜角倾斜角 l 2 直线倾斜角的范围 0 1800 注 1 与 x 轴平行或重合时 规定倾斜角为 0 0 2 平面直角坐标系内的任一条直线都有一个确定的倾斜角 3 直线的斜率 1 已知直线的倾斜角为 则 tan k 2 已知直线过两点 则 2211 yxByxA 21 21 21 12 12 xx xx yy xx yy k 注 1 倾斜角为时 直线没有斜率或称斜率不存在 0 90 2 当时 越大 直线的斜率越大 00 900 k 0k 当时 越大 直线的斜率越大 00 18090 k 0 k 4 直线的方程 点斜式方程 使用前提使用前提 已知直线过一点与直线的斜率 00 xxkyy 00 yxP k 斜截式方程 使用前提使用前提 已知直线在 y 轴上的截距与直线的斜率 bkxy bk 两点式方程 2121 12 1 12 1 yyxx xx xx yy yy 使用前提使用前提 已知直线过两点 不适用于平行 x 2211 yxByxA 2121 yyxx 轴 平行于 y 轴的直线方程的求解 截距式方程 0 0 1 ba b y a x 使用前提使用前提 已知直线在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距 且截距均不为 0 的情况 ab 不适用于过原点 平行于 x 轴 平行于 y 轴的直线方程的求解 一般式方程 适用于一切直线 0 0 22 BACByAx 5 圆的方程 标准方程 其中圆心为 半径为 0 222 rrbyax bar 一般方程 其中圆心为 半 04 0 2222 FEDFEyDxyx 2 2 ED 径为 FED4 2 1 22 6 弦长公式 设直线与圆相交于两点 0 kbkxyl 0 222 rrbyax 11 yxA 圆心到直线 的距离为 22 yxB bald 则弦长 AB 22 21 2 21 2 21 2 21 2 24 1 1 4 1 dryyyy k xxxxk 7 两直线的位置关系 1 已知 斜截式方程 111 bxkyl 222 bxkyl 或直线与 x 轴交点不同且斜率均不存在 212121 bbkkll 且 21 l l 与重合或直线与 x 轴交点相同且斜率均不存在 1 l 2 l 2121 bbkk 且 21 l l 或直线一个斜率不存在 一个斜率为 0 的 1 2121 kkll 21 l l 2 已知 0 0 2 1 2 11111 BACyBxAl 0 0 2 2 2 22222 BACyBxAl 或 2 1 2 1 2 1 21 C C B B A A ll 00 21212121 ACCAABBA且 与重合或 1 l 2 l 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 00 21212121 ACCAABBA且 01 2121 21 21 21 BBAA BB AA ll或 8 点与圆的位置关系 已知一点与圆 00 yxP 0 222 rrbyax 在圆外点Prbyax 22 0 2 0 在圆上点Prbyax 22 0 2 0 在圆内点Prbyax 22 0 2 0 9 直线与圆的位置关系 已知直线 不同时为 0 圆 0 CByAxlBA 0 222 rrbyax 位置关系相交相切相离 公共点个数 2 个 1 个 0 个 几何法 设圆心到直 ba 线 的距离为 l d 22 BA CBbAa dr 判 定 方 法 代数法 由 222 0 rbyax CByAx 消元得到一元二次方程 其 判别式为 0 0 0 对应图像 10 圆与圆的位置关系 已知圆 和圆 0 1 2 1 22 1 rrbyaxC 0 2 2 2 22 2 rrdycxC 几何法 两圆圆心距为 22 21 dccaCC 代数法 联立两圆的方程 消元 得到一个关于另一元的一元二次方程 方程判别式为 位置关系几何法代数法图示 外离 2121 rrCC 0 外切 2121 rrCC 0 相交 212121 rrCCrr 0 内切 2121 rrCC 0 内含 2121 rrCC 0 11 两直线的交点 已知 0 0 2 1 2 11111 BACyBxAl 0 0 2 2 2 22222 BACyBxAl 求法 联立两直线的方程 求出 则交点坐标为 byax ba 12 距离 点点距 点 则两点间的距离为 2211 yxByxABA 2 12 2 12 yyxxAB 点 则 222111 zyxBzyxA 2 12 2 12 2 12 zzyyxxAB 点线距 已知点与直线 00 yxP 0 0 22 BACByAxl 则点到直线 的距离为 Pl 22 00 BA CByAx d 平行线距 已知 0 11 CByAxl 0 0 22 22 BACByAxl 则两平行线与之间的距离为 1 l 2 l 22 21 BA CC d 13 切线方程 已知一点与圆 圆心为 00 yxP 0 222 rrbyax baO 点 P 在圆外 则过点 P 有圆的 2 条切线 计算办法 设直线斜率存在为 k 再用圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解 ba 点 P 在圆上 则过点 P 有圆的 1 条切线 计算办法 法一 同 法二 用列式求出直线斜率 1 lOP kk 法三 用公式 点在圆上的圆的切线方程 2 00 rbybyaxax 特别的 当圆的方程为 时 过圆上一点的圆的切线方程 222 ryx 00 yxP 为 2 00 ryyxx 14 对称问题 点关于点对称的点的坐标为 baA yxO 2 2 byax 点关于线对称的点的坐标满足 baA0 CByAxl nmBnm 0 22 1 C nb B ma A B A am bn 线关于点对称 得线 转化为点关于点对称的问题所求直线与已知直线