福建省2016届高三4月质量检查 数学理

1 机密机密 启用前启用前 2016 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学理科数学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 3 页 第 卷 4 至 6 页 满分 150 分 考生注意 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第 卷用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作 答 若在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束 监考员将试题卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 要求的 1 已知 是虚数单位 若与互为共轭复数 则 a b Riia 2 i b 2 i ab A B 34i 34i C D 54i 54i 2 执行如图所示的程序框图 若要使输出的的值等于 3 y 则输入的的值可以是 x A B C 8 D 12 9 3 已知 则的值等于 3 cos 25 22 sin2 A B C D 12 25 12 25 24 25 24 25 4 已知 则 是 的0 0ab 1ab 2ab A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5 若满足约束条件则的取值范围为 x y 20 20 20 xy y xy 1 1 y x A B 1 1 3 5 1 1 3 C D 11 35 1 1 3 6 已知等比数列的各项均为正数且公比大于 1 前项积为 且 n an n T 则使得的的最小值为 243 a aa 1 n T n A 4 B 5 C 6 D 7 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的三视图 则该几何体的各个面的面积中 最小的值为 2 A B 8 C D 2 54 58 2 8 在中 则ABC 3 A 2AB 3AC 2CMMB AM BC A B C D 11 3 4 3 4 3 11 3 9 若椭圆上存在三点 使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点 则该椭圆的离心 率为 A B C D 51 2 3 3 2 2 6 3 10 在三棱锥中 则三棱PABC 2 3PA 2PC 7AB 3BC 2 ABC 锥外接球的表面积为PABC A B C D 4 16 3 32 3 16 11 已知分别为双曲线的左 右焦点 若点是以为直 12 F F 22 22 10 0 xy Cab ab P 12 FF 径的圆与右支的一个交点 交于另一点 且 则的渐近线方程为C 1 PFCQ 1 2PQQF C A B C D 2yx 1 2 yx 2yx 2 2 yx 12 已知是定义在上的减函数 其导函数满足 则下列结论正确的 xfR fx 1 f x x fx 是 A 对于任意 0 R x xfR x xf C 当且仅当 0 1 x xf 1x xf 第第 卷卷 注意事项 注意事项 第 卷共 3 页 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 若在试题卷上作答 答案无效 本卷包括必考题和选考题两部分 第本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题题 第第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题题 第第 24 题为选考题 考生根据要求做答 题为选考题 考生根据要求做答 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 若随机变量 且 则 2 XN 510 2P XP X 25PX 14 若展开式中的常数项为 则 5 1 12axx x 40 a 15 若数列的各项均为正数 前项和为 且 则 n an n S 11 1 1 1 nn n aSS a 25 a 16 已知点 且平行四边形的四个顶点都在函数的图 5 3 1 2 3 AB ABCD 2 1 log 1 x f x x 象上 则四边形的面积为 ABCD 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 3 在 ABC中 点D在边AB上 且 3 B 1BD DADC 若 BCD的面积为 求 3CD 若 求 3AC DCA 18 本小题满分 12 分 如图 三棱柱中 底面为等腰直角三角形 111 ABCABC ABC1ABAC 1 2BB 1 60ABB 证明 1 ABBC 若 求与平面所成角的正弦值 1 2BC 1 AC 1 BCB 19 本小题满分 12 分 甲 乙两家外卖公司 其送餐员的日工资方案如下 甲公司底薪 70 元 每单抽成 2 元 乙公 司无底薪 40 单以内 含 40 单 的部分每单抽成 4 元 超出 40 单的部分每单抽成 6 元 假设同一公 司送餐员一天的送餐单数相同 现从两家公司各随机抽取一名送餐员 并分别记录其 100 天的送餐 单数 得到如下频数表 现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天 求这两天送餐单数都大于 40 的概率 若将频率视为概率 回答以下问题 记乙公司送餐员日工资为 单位 元 求的分布列和数学期望 XX 小明拟到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员 如果仅从日工资的角度考虑 请利 用所学的统计学知识为他作出选择 并说明理由 4 20 本小题满分 12 分 已知抛物线的焦点为 过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点 2 20E ypx p FFxE S T 以为圆心的圆过点 且 P 3 0 S T90SPT 求抛物线和圆的方程 EP 设是圆上的点 过点且垂直于的直线 交于两点 证明 MPMFMlE A BFAFB 21 本小题满分 12 分 已知函数 曲线与在原点处的切线相 ln1f xaxx e1 x g xx yf x yg x 同 求的单调区间 f x 若时 求的取值范围 0 x g xkf x k 请考生在第请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请写题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请写 清题号 清题号 22 本小题满分 10 分 选修 几何证明选讲4 1 如图 的两条中线和相交于点 且四点共ABCADBEG D C E G 圆 求证 BADACG 若 求 1GC AB 23 本小题满分 10 分 选修 坐标系与参数方程44 在平面直角坐标系中 曲线的参数方程为xOyC 为参数 在以原点为极点 轴正半轴为极轴的极坐 3cos sin x y x 标系中 直线 的极坐标方程为 lsin2 4 求的普通方程和 的倾斜角 Cl 设点 和交于两点 求 0 2PlC A BPAPB 24 本小题满分 10 分 选修 不等式选讲45 已知函数 1f xx 求不等式的解集 211f xx M 5 设 证明 a bM f abf afb 6 2016 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 60 分 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 C 7 B 8 C 9 D 10 D 11 A 12 B 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 20 分 13 14 15 16 0 33 52 6 26 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查正弦定理 余弦定理 三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识 考 查运算求解能力 考查化归与转化思想 函数与方程思想等 满分 12 分 解法一 因为 即 2 分 3 BCD S 1 sin3 2 BC BDB 又因为 所以 3 分 3 B 1BD 4BC 在 中 由余弦定理得 5 分BDC 222 2cosCDBCBDBC BDB 即 解得 6 分 2 1 16 1 2 4 113 2 CD 13CD 在 中 可设 则 ACDDADC ADCA ADC 又 由正弦定理 有 7 分3AC sin2sin ACCD 所以 8 分 3 2cos CD 在 中 BDC 2 2 2 3 BDCBCD 由正弦定理得 即 10 分 sinsin CDBD BBCD 3 1 2cos 2 sinsin 2 33 化简得 2 cossin 2 3 于是 11 分 2 sin sin 2 23 因为 所以 0 2 22 0 2 22333 7 所以或 2 2 23 2 2 23 解得 故 12 分 618 或 618 DCADCA 或 解法二 同解法一 因为 DADC 所以 ADCA 取中点 连结 ACEDE 所以 7 分DEAC 设 因为 所以DCAA 3AC 3 2 EAEC 在 中 8 分RtCDE 3 cos2cos CE CD DCA 以下同解法一 18 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想等 满分 12 分 解法一 连结 在中 1 AB 1 ABB 11 1 2 60ABBBABB 由余弦定理得 222 1111 2cos3ABABBBAB BBABB 1 分 1 3AB 222 11 BBABAB 2 分 1 ABAB 又 为等腰直角三角形 且 ABC ABAC ACAB 又 1 ACABA 平面 4 分AB 1 ABC 又 平面 1 BC 1 ABC 5 分AB 1 BC 11 3 1 2ABABACBC 6 分 222 11 BCABAC 1 ABAC 如图 以为原点 以的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直角坐A 1 AB AC AB 标系 7 分 则 1 0 0 0 03 10 0010ABBC 0 8 分 1 1 0 3 1 1 0BBBC 设平面的法向量 1 BCB x y z n C1 B1 A1 A B C D E A C B 8 由得令 得 1 0 0 BB BC n n 30 0 xz xy 1z 3xy 平面的一个法向量为 9 分 1 BCB 3 3 1 n 111 0 1 01 0 31 1 3ACACCCACBB 10 分 11 分 1 1 1 3105 cos 35 57 AC AC AC n n n 与平面所成角的正弦值为 12 分 1 AC 1 BCB 105 35 解法二 同解法一 过点作平面 垂足为 连结 AAH 1 BCBH 1 HC 则为与平面所成的角 6 分 1 AC H 1 AC 1 BCB 由 知 1 ABAB 1 3AB 1ABAC 1 2BC 222 11 ABACBC 1 ABAC 又 平面 7 分ABACA 1 AB ABC 8 分 1 11 1113 3326 BABCABC VSABABACAB 取中点 连结 BCP 1 PB 11 2BBBC 1 PBBC 又在中 RtABC 1ABAC 2BC 2 2 BP 22 11 114 4 22 PBB BBP 9 分 1 1 17 22 B BC SBCB P 11 A BCBBABC VV 即 10 分 1 13 36 BCB SAH 173 326 AH 21 7 AH 平面 平面 1 AB ABCBC ABC 1 ABBC 三棱柱中 111 ABCABC 11 BCBC 11 2BCBC 11 分 111 ABBC 22 1111 5ACABBC 在中 1 RtAHC 1 1 21 105 7 sin 355 AH AC H AC 所以与平面所成的角的正弦值为 12 分 1 AC 1 BCB 105 35 19 本小题主要考查古典概型 随机变量的分布列及数学期望等基础知识 考查运算求解能力 x z y A1 B1 C1 A B C A1 B1 C1 P A B C H 9 数据处理能力 应用意识 考查分类与整合思想 必然与或然思想 化归与转化思想 满分 12 分 解 记 抽取的两天送餐单数都大于 40 为事件 M 则 4 分 2 20 2 100 19 495 C P M C 设乙公司送餐员送餐单数为 则 a 当时 38a 38 4152X 当时 39a 39 4156X 当时 40a 40 4160X 当时 41a 40 4 1 6166X 当时 42a 40 42 6172X 所以的所有可能取值为 152 156 160 166 172 6 分X 故的分布列为 X X152156160166172 P 1 10 1 5 1 5 2 5 1 10 8 分 9 分 11121 152156160166172162 1055510 E X 所以 依题意 甲公司送餐员日平均送餐单数为 10 分38 0 239 0 440 0 241 0 142 0 139 5 所以甲公司送餐员日平均工资为元 11 分702 39 5149 由 得乙公司送餐员日平均工资为元 162 因为 故推荐小明去乙公司应聘 12 分149162 20 本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识 考 查推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 函数与方程思想 分类与整合思想等 满分 12 分 解法一 将代入 得 所以 1 分 2 p x 2 2ypx yp 2STp 又因为 所以 是等腰直角三角形 90SPT SPT 所以 即 SFPF 3 2 p p 解得 2p 所以抛物线 3 分 2 4E yx 此时圆的半径为 P22 2p 所以圆的方程为 4 分P 2 2 38xy 设 001122 M xyA x yB xy 依题意 即 5 分 2 2 00 38xy 22 000 61yxx 当直线 斜率不存在时 l 32 2 0M 当时 由 得 32 2x 2 4yx 2 22y T S y xOFP 10 不妨设 32 2 2 22 32 2 2 22AB 则即 1 1 1 AFBFAFBF kkkk AFBF 当时 同理可得 6 分32 2x AFBF 当直线 斜率存在时 因为直线 与抛物线交于两点 llE A B 所以直线 斜率不为零 且 l 0 1x 0 0y 因为 所以 lMF 1 lMF k k 所以 7 分 0 0 1 l x k y 直线 0 00 0 1 x l yxxy y 由得 8 分 2 0 00 0 4 1 yx x yxxy y 22 2 0000 00 4444 0 11 yxyx yy xx 即 所以 9 分 2 00 00 4204 0 11 yx yy xx 00 1212 00 4204 11 yx yyy y xx 所以 10 分 1212 11FA FBxxy y 22 12 12 11 44 yy y y 222 22 121212 12 1212 3 11 1641642 y yy yyyyy y yy y 2 2 0 00 22 0 00 514306 1 1 11 xyx x xx 22 2 00000 2 0 51416 51 1 1 xyxxx x 22 000 2 0 24444 1 xxy x 22 000 2 0 461 0 1 xyx x 所以 12 分AFBF 解法二 同解法一 设 依题意 即 5 分 00 M xy 2 2 00 38xy 22 000 61yxx 设 则 22 12 1212 44 yy AyByyy 22 21 0021 1 4 yy FMxyAByy 6 分 22 12 010020 44 yy MAxyyMBxyy 由于 FMAB MAMB 所以 7 分 22 21 0021 22 12 020010 10 4 0 44 yy xyyy yy xyyxyy y x B A M OFP 11 注意到 8 分 12 yy 1200 120120 140 1 40 2 yyxy y yyyyx 由 1 知 若 则 此时不满足 故 0 1x 0 0y 0 10 x 从而 1 2 可化为 9 分 00 1212 00 4204 11 yx yyy y xx 以下同解法一 21 本小题主要考查导数的几何意义 导数及其应用 不等式等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 创新意识等 考查函数与方程思想 化归与转化思想 分类与整合思想 数形结合 思想等 满分 12 分 解法一 因为 2 分 1 1 1 fxax x e1 x gx 依题意 解得 3 分 00fg 1a 所以 当时 当时 1 1 1 fx x 1 x x 10 x 0fx 0 x 0fx 故的单调递减区间为 单调递增区间为 5 分 f x 1 0 0 由 知 当时 取得最小值 0 0 x f x 所以 即 从而 0f x ln1xx e1 x x 设 eln111 x F xg xkf xkxkx 则 6 分 e111 11 x kk Fxkxk xx 当时 因为 所以 当且仅当时等号成立 1k 0 x 1 12 0 1 Fxx x 0 x 此时在上单调递增 从而 即 7 分 F x 0 00F xF g xkf x 当时 由于 所以 8 分1k 0f x f xkf x 由 知 所以 故 即 0g xf x g xf xkf x 0F x g xkf x 9 分 当时 令 则 1k e1 1 x k h xk x 2 e 1 x k h x x 显然在上单调递增 又 h x 0 1 010 1e10 k hkhk 所以在上存在唯一零点 10 分 h x 0 1k 0 x 当时 所以在上单调递减 0 0 xx 0 h x h x 0 0 x 从而 即所以在上单调递减 00h xh 0 Fx F x 0 0 x 从而当时 即 不合题意 11 分 0 0 xx 00F xF g xkf x 综上 实数的取值范围为 12 分k 1 解法二 同解法一 由 知 当时 取得最小值 0 0 x f x 所以 即 从而 0f x ln1xx e1 x x 设 eln111 x F xg xkf xkxkx 12 则 6 分 e111 11 x kk Fxkxk xx 1 1 x xk x 当时 在恒成立 所以在单调递增 1k 0Fx 0 F x 0 所以 即 9 分 00F xF g xkf x 当时 由 知 当时 当且仅当时等号成立 1k 1x e1 x x 0 x 所以当时 01x e1 x x 1 e 1 x x 所以 1 e1 1 e1 11 xx kx F xk xx 10 分 1 1 11 kx xx 11 xkx xx 2 1 1 1 1 k kx x k x 于是当时 所以在上单调递减 1 0 1 k x k 0 F x F x 1 0 1 k k 故当时 即 不合题意 11 分 1 0 1 k x k 0 0F xF g xkf x 综上 实数的取值范围为 12 分k 1 解法三 同解法一 当时 由 知 当时 取得最小值 0 0k 0 x f x 所以 即 从而 即 0f x ln1xx e1 x x 0g x 所以 6 分 0kf x 0g x g xkf x 当时 0k 设则 eln111 x F xg xkf xkxkx e1 1 x k Fxk x 令 则 h xFx 2 e 1 x k h x x 显然在上单调递增 7 分 h x 0 当时 所以在上单调递增 01k 010h xhk h x 0 00h xh 故 所以在上单调递增 即 0Fx F x 0 00F xF g xkf x 9 分 当时 由于 1k 1 010 1e10 k hkhk 所以在上存在唯一零点 10 分 h x 0 1k 0 x 当时 单调递减 0 0 xx 0 h x h x 从而 即在上单调递减 00h xh 0 Fx F x 0 0 x 从而当时 即 不合题意 11 分 0 0 xx 00F xF g xkf x 综上 实数的取值范围为 12 分k 1 请考生在第 请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作 答时请写清题号答时请写清题号 22 选修 几何证明选讲4 1 13 本小题主要考查圆周角定理 相似三角形的判定与性质 切割线定理等基础知识 考查推理 论证能力 运算求解能力等 考查化归与转化思想等 满分 10 分 解法一 连结 因为四点共圆 则 2 分DE D C E GADEACG 又因为为 的两条中线 AD BEABC 所以点分别是的中点 故 3 分 D E BC ACDEAB 所以 4 分BADADE 从而 5 分BADACG 因为为与的交点 GADBE 故为 的重心 延长交于 GABCCGABF 则为的中点 且 6 分FAB2CGGF 在 与 中 因为 AFCGFAFAGFCA AFGCFA 所以 7 分AFGCFA 所以 即 9 分 FAFG FCFA 2 FAFG FC 因为 1 2 FAAB 1 2 FGGC 3 2 FCGC 所以 即 22 13 44 ABGC 3ABGC 又 所以 10 分1GC 3AB 解法二 同解法一 5 分 由 知 BADACG 因为四点共圆 所以 6 分 D C E GADBCEG 所以 所以 7 分ABD CGE ABAD CGCE 由割线定理 9 分AG ADAE AC 又因为是的中线 所以是的重心 AD BEABC GABC 所以 又 2 3 AGAD 2 2ACAEEC 所以 所以 22 2 2 3 ADEC3 AD CE 所以 因为 所以 10 分3 AB CG 1CG 3AB 23 选修 坐标系与参数方程44 本小题考查直线的极坐标方程和参数方程 椭圆的参数方程等基础知识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想等 满分 10 分 解法一 由消去参数 得 3cos sin x y 2 2 1 9 x y 即的普通方程为 2 分C 2 2 1