概率论习题解答(第5章)

第第 5 章习题答案章习题答案 三 解答题 1 设随机变量 X1 X2 Xn独立同分布 且 X P 试利用契比 n i i X n X 1 1 谢夫不等式估计的下界 2 XP 解 因为 X P n i i n i i n n XE n X n EXE 11 1 1 1 n n n XD n X n DXD n i i n i i 11 1 1 2 1 2 1 由契比谢夫不等式可得 n n XP 4 1 1 4 1 2 2 设 E X 1 E Y 1 D X 1 D Y 9 XY 0 5 试根据契比谢夫不等式 估计 P X Y 3 的上界 解 由题知 0 YXYX 11 Cov 1 5 YX YDXD xy 915 0 75 1291 2 YXCovYDXDYXD 所以 9 7 303 YXYXP 3 据以往经验 某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布 现随机地取 16 只 设它们的寿命是相互独立的 求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率 解 设 i 个元件寿命为 Xi小时 i 1 2 16 则 X1 X2 X16独立同分布 且 E Xi 100 D Xi 10000 i 1 2 16 4 16 1 16 1 106 1 1600 i i i i DE 由独立同分布的中心极限定理可知 近似服从 N 1600 1 610000 所以 16 1i i 1920 16 1i i 19201 16 1i i 160000 16001920 100006 1 1600 1 16 1i i 1 0 7881 0 2119 8 01 4 某商店负责供应某地区 1000 人商品 某种商品在一段时间内每人需要用一件的概 率为 0 6 假定在这一时间段各人购买与否彼此无关 问商店应预备多少件这种商品 才能 以 99 7 的概率保证不会脱销 假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件 解 设商店应预备 n 件这种商品 这一时间段内同时间购买此商品的人数为 X 则 X B 1000 0 6 则 E X 600 D X 240 根据题意应确定最小的 n 使 P X n 99 7 成立 则 P X n 75 2 997 0 240 600 240 600 240 600 nnX 所以 取 n 643 6 64260024075 2 n 即商店应预备 643 件这种商品 才能以 99 7 的概率保证不会脱销 5 某种难度很大的手术成功率为 0 9 先对 100 个病人进行这种手术 用 X 记手术成 功的人数 求 P 84 X 95 解 依题意 X B 100 0 9 则 E X 90 D X 9 3 9095 3 90 3 9084 9584 X PXP 92979 0 97725 0195254 0 2 1 3 5 2 3 5 6 在一零售商店中 其结帐柜台替顾客服务的时间 以分钟计 是相互独立的随机变 量 均值为 1 5 方差为 1 求对 100 位顾客的总服务时间不多于 2 小时的概率 解 设柜台替第 i 位顾客服务的时间为 X i i 1 2 3 100 则 X i i 1 2 3 100 独立同分布 且 E X i 1 5 D X i 1 所以 100 150120 1100 5 1100 120 100 1 100 1 i i i i x PxP 0013 0 9987 0 1313 即对 100 位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为 0 0013 7 已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为 80 某大型电脑厂商月生产笔记本电脑 10000 台 为了以 99 7 的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件 问 此生产厂商每 月至少应购买该种配件多少件 解 设此生产厂商每月至少应购买 n 件该种配件 其中合格品数为 X 则 X B n 0 8 0 997 P X 10000 4 0 8 010000 1 4 0 8 010000 16 0 8 0 n n n n n nX P 解得 n 12655 即此生产厂商每月至少应购买 12655 件改种配件才能满足以 99 7的把握保证出厂的电脑 均能装上合格的配件 8 已知一本 300 页的书中 每页的印刷错误的个数服从参数为 0 2 的泊松分布 试求 整书中的印刷错误总数不多于 70 个的概率 解 记每页印刷错误个数为 i 1 2 3 300 i X 则它们独立同服从参数为 0 2 的泊松分布 所以 E X i 0 2 D X i 0 2 所以 90147 0 29 1 60 10 60 60 70 0300 2 0300 2 70 300 1i 300 1i i i X PXP 9 设车间有 100 台机床 假定每台机床是否开工是独立的 每台机器平均开工率为 0 64 开工时需消耗电能 a 千瓦 问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率 0 99 保证车间正常生产 解 设发电机只需供给该车间 m 千瓦的电能就能以概率 0 99 保证车间正常生产 记 X 为 100 台机床中需开工的机床数 则 X B 100 0 64 E aX 64a D aX 100 0 64 0 36a2 33 2 99 0 8 4 64 0 360 64100 64 a am a aaX PmaXP 所以33 2 8 4 64 a am aaam18 758 433 2 64 10 某保险公司的老年人寿保险有 1 万人参加 每人每年交 200 元 若老人在该年内死 亡 公司付给家属 1 万元 设老年人死亡率为 0 017 试求保险公司在一年内的这项保险中 亏本的概率 解 设当年内投保老人的死亡数为 X 则 X B 10000 0 017 保险公司在一年内的保险亏本的概率为 20012002001000010000 XPXPXP 017 0 1 170 017 0 10000200 1 01 0 321 2 1 所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是 0 01 四 应用题 1 某餐厅每天接待 400 名顾客 设每位顾客的消费额 单位 元 服从区间 20 100 上的均匀分布 且顾客的消费额是相互独立的 求该餐厅的日营业额在其平均营业额760 元内的概率 解 设每位顾客的消费额为 Xi i 1 2 400 且 X i U 20 100 则 3 1600 12 8080 12 20100 60 2 20100 2 ii XDXE 由独立同分布的中心极限定理 3 1600 60 400400 400 1 NX i i 似似 所以 9505 0 16454 1 2 137602 3760 3 1600 400 24000 3760 3 1600 400 760 3 1600 400 24000 3 1600 400 760 76024000760 76060400 400 1 400 1 400 1 400 1 i i i i i i i i X P X P XP XP 2 设某型号电子元件的寿命 单位 小时 服从指数分布 其平均寿命为 20 小时 具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件 已知每个元件进价为 110 元 试问在年 计划中应为此元件作多少元的预算 才可以有 95 的把握保证一年的供应 假定一年工作 时间为 2000 小时 解 设应为这种元件作 m 元的预算 即需进 m 110 个元件 记第 件的寿命为 Xi小时 i 1 2 3 m 110 且 X i E 20 i 所以 E X i 20 D X i 400 110 1 2000 m i i XP 0 95 110 11000 1 110 20 110 202000 110 400 110 20 1 m m m m m mX P n i i 所以所以 m 12980 645 1 95 0 110 11000 m m 645 1 110 11000 m m 即在年计划中应为此元件作 12980 元的预算 才可以有 95 的把握保证一年的供应 3 据调查某村庄中一对夫妻无孩子 有 1 个孩子 有 2 个孩子的概率分别为 0 05 0 8 0 15 若该村共有 400 对夫妻 试求 1 400 对夫妻的孩子总数超过 450 的概 率 2 只有 1 个孩子的夫妻数不多于 340 的概率 解 1 设第 k 对夫妻 孩子数为 X k 则 X k的分布律为 X k012 p0 050 80 15 则 1 115 0 280 0 105 0 0 k XE19 0 22 kkk XEXEXD 76 440 19 0 400 1 1400 400 1 400 1 k k k k XX 故 即 1357 0 147 1 1 76 440450 1 76 440450 76 440 450 400 1 400 1 k k k k X PXP 400 对夫妻的孩子总数超过 450 的概率为 0 1357 2 设Y为只有一个孩子的夫妻对数 则 Y B 400 0 8 2 08 0400 8 0400340 2 08 0400 8 0400 340 Y PYP 9938 0 5 2 2 08 0400 8 0400340 即只有 1 个孩子的夫妻数不多于 340 的概率为 0 9938 B 1 设随机变量的概率密度为 m 为正整数 证明 X 其它 0 0 xe m x xf x m 提示 利用 Chebyshev 不等式 1 1 20 m m mXP 证明 E X f x d 0 xx1 12 0 1 m m m m m dxe m x x m 12 31 00 13 0 2 22 mm m m dxex m dxe m x dxxfxXE xmx m 1112 2 2 2 mmmmXEXEXD 由切比雪夫不等式 120 mXP 2 1 1 111 m m mmXP 1 m m 2 设为独立同分布的随机变量序列 其共同的分布如下表所示 证明 1 nXn 服从 Chebyshev 大数定律 n X Xn2 02 pk1 41 21 4 证明 0 4 1 2 2 1 0 4 1 2 i 2 2 iii XXXD 10 4 1 2 2 1 0 4 1 2 22 2 又因为独立且同分布 所以服从切比雪夫