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文档简介

1 第三讲 矩阵对角化的步骤 第五章相似矩阵与二次型 2 定理n阶矩阵A相似于对角矩阵 的充 要条件是A有n个线性无关的特征向量 推论若n阶矩阵A有n个不同的特征值 则A必能相似于对角矩阵 矩阵可对角化的条件 3 我们先假设存在可逆矩阵 使 将用其列向量表示为 由得 即 4 于是 这说明是的特征值 是的对应于特征值的特征向量 这就是的具体构造方法 因为可逆 所以 线性无关 5 n1 n2 ns n 矩阵对角化的步骤 设n阶方阵A可对角化 则把A对角化的 步骤如下 Step1 求出矩阵A的所有特征值 设A 有s个不同的特征值 1 2 s 它们的重 数分别为n1 n2 ns 有 6 Step2 对A的每个特征值 i 求 A iE x 0 的基础解系 设为 i 1 2 s 以这些向量为列构造矩阵 7 上的元素 A的特征值 之间的对应关系 则P 1AP 要注意矩阵P的列与对角矩阵 主对角线 8 例2判断下列实矩阵能否化为对角阵 若可 则将其对角化 并写出相似变换矩阵P及对角矩阵 解 9 得 当时 齐次线性方程组为 得基础解系 当时 齐次线性方程组为 得基础解系 10 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量 所以A可以对角化 相似变换矩阵 相似对角阵 11 当时 解 12 实对称矩阵的相似对角化 定理1实对称矩阵的特征值为实数 定理2设A为n阶实对称矩阵 是A的特征方程的r重根 则矩阵A E的秩R A E n r 从而对应于特征值 恰有r个线性无关的特征向量 定理3设A为n阶实对称矩阵 则必有可逆阵P 使得P 1AP 其中 是以A的n个特征值为对角元素的对角阵 13 例3将下面实对称矩阵A相似对角化 解 特征多项式 14 15 小结 3 若A有n个线性无关的特征向量 一 矩阵对角化的步骤 其中 是以A的n个特征值为对角元素的对角阵 二 实对称矩阵必可对角化
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