第3讲 空间几何体的表面积和体积培优班学案

第 1 页 共 5 页 第 3 讲 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 一 一 要点精讲要点精讲 1 多面体的面积和体积公式 名称侧面积 S侧 全面积 S全 体 积 V 棱柱直截面周长 l S底 h S直截 面 h 棱 柱 直棱柱 ch S侧 2S底 S底 h 棱锥各侧面积之和 棱 锥正棱锥ch 2 1S 侧 S底 S底 h 3 1 棱台各侧面面积之和 棱 台正棱台 c c h 2 1 S侧 S上底 S 下底 h S上底 S下底 3 1 下底下底 SS 表中 S 表示面积 c c 分别表示上 下底面周长 h 表斜高 h 表示斜高 l 表示侧棱长 2 旋转体的面积和体积公式 名称圆柱圆锥圆台球 S侧2 rl rl r1 r2 l S全2 r l r r l r r1 r2 l r21 r22 4 R2 V r2h 即 r2l r2h 3 1 h r21 r1r2 r22 3 1 R3 3 4 表中 l h 分别表示母线 高 r 表示圆柱 圆锥与球冠的底半径 r1 r2分别表示圆台 上 下底面半径 R 表示半径 二 二 热身训练热身训练 1 若正方体的棱长为2 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 2 已知是球表面上的点 S A B COSAABC 平面ABBC 则球的表面积等于 1SAAB 2BC O 3 在长方体中 则四棱锥的体 1111 ABCDABC D 3cmABAD 1 2cmAA DDBBA 11 积为 cm3 4 已知OA为球O的半径 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得 第 2 页 共 5 页 到圆M 若圆M的面积为3 则球O的表面积等于 体积为 5 圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水 若放入三个相同的珠 球的半么与圆柱的底面半径 相同 后 水恰好淹没最上面的球 如图所示 则球的半径是 cm 6 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上 是边长为 的正三角形 SABC OABC 1 为球的直径 且 则此棱锥的体积为 SCO2SC 三 三 典例解析典例解析 例例 1 如图 1 所示 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 已知 AB 5 AD 4 AA1 3 AB AD A1AB A1AD 3 1 求证 顶点 A1在底面 ABCD 上的射影 O 在 BAD 的平分线上 2 求这个平行六面体的体积 图 1 图 2 例例2 如图 已知斜三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为4 cm的正三角形 侧棱长为3 cm 侧棱AA1与底面相邻的两边都成60 角 1 求证 四边形CC1B1B是矩形 2 求这个棱柱的侧面积 例例 3 三棱柱 ABC A1B1C1中 若 E F 分别为 AB AC 的中点 平面 EB1C1 将三棱柱分成体积为 V1 V2的两部分 那么 V1 V2 变式训练 变式训练 如上图 三棱柱 ABC A1B1C1中 若 E F 分别为 AB AC 上的点 且 EF BC 问 当点 E 在什么位置时 平面 EB1C1F 将三棱柱分为体积相等的两部分 第 3 页 共 5 页 例例 4 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半 且 A B C 求球的表面积2ABBCCA 变式训练 变式训练 1 直三棱柱 111 ABCABC 的各顶点都在同一球面上 1 2ABACAA 120BAC 则此球的表面积等于 2 圆锥的底面半径为 2 轴截面的顶角是 1200 过两条母线的截面中 面积的最大值是 例例 5 在如图所示的几何体中 四边形是正方形 平面 分别为 ABCD PDMAEGFMBPB 的中点 且 PC2ADPDMA I 求证 平面平面 EFG PDC II 求三棱锥与四棱锥的体积PMAB PABCD 之比 第 4 页 共 5 页 四 四 反馈提高反馈提高 1 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 这个长方体对角线的长是6 3 2 2 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E F 分别为线段 AA1 B1C 上的点 则三棱锥 D1 EDF 的体积为 3 一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3cm 和 4cm 将这个直角三角形以斜边为轴旋转 一周 所得旋转体的体积是 4 圆锥的底面半径为 5cm 高为 12cm 当它的内接圆柱的底面半径为何值时 圆锥的内接 圆柱的全面积有最大值 最大值是多少 5 A B C 是球面上三点 已知弦 AB 18cm BC 24cm AC 30cm 平面 ABC 与球心 O 的距离 恰好为球半径的一半 求球的面积 6 如图 在四棱锥中 底面是菱形 平面 点PABCD ABCD60ABC PA ABCD 分别为 的中点 且 MNBCPA2PAAB I 证明 平面 BC AMN II 求三棱锥的体积 NAMC III 在线段上是否存在一点 使得平面PDENM 若存在 求出的长 若不存在 说明理由 ACEPE N M A C B P 第 5 页 共 5 页 7 如图所示 在棱长为 2 的正方体中 分别为 的中 1111 ABCDABC D EF 1 DDDB 点 1 求证 平面 EF 11 ABC D 2 求证 1 EFBC 3 求三棱锥的体积 1 BEFC