选修32杨辉三角与二项式系数的性质ppt课件.ppt

1 3 2杨辉三角和二项式系数性质 1 复习回顾 二项式定理及展开式 2 计算 a b n展开式的二项式系数并填入下表 通过计算填表 你发现了什么 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 每一行的系数具有对称性 除此以外还有什么规律呢 3 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 上表写成如下形式 172135352171 1Cn 11Cn 12 Cn 1k 1Cn 1k Cn 1n 21 4 能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 上表写成如下形式 5 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 上表写成如下形式 在同一行中 每行两端都是1 与这两个1等距离的项的系数相等 在相邻的两行中 除1以外的每一个数都等于它 肩上 两个数的和 6 杨辉三角 这样的二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 在这本书里 记载着类似下面的表 7 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当n 6时 其图象是7个孤立点 8 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 二项式系数的性质 9 2 增减性与最大值 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 由 可知 当时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 10 O n f r n为奇数 n为偶数 当n是偶数时 中间的一项取得最大值 当n是奇数时 中间的两项和相等 且同时取得最大值 11 3 各二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 二项式系数的性质 12 一般地 展开式的二项式系数有如下性质 1 2 3 当时 4 当时 13 例1 证明 在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 2n 1 在展开式 证明 得 即 所以 赋值法 即在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 14 课堂练习 1 已知 那么 2 若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大 则n 15 3 在 a b 20展开式中 与第五项的系数相同的项是 A第15项B第16项C第17项D第18项 C 4 在 a b 10展开式中 系数最大的项是 A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项 A 5 在 a b 10展开式中 系数最大的项是 A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项 D 6 在 a b 11展开式中 系数最大的项是 A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项 C 7 在 a b 11展开式中 系数最大的项是 A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项 B 16 例2 若展开式中前三项系数成等差数列 求 1 展开式中含x的一次幂的项 2 展开式中所有x的有理项 3 展开式中系数最大的项 17 9 若的展开式中 所有奇数项的系数之和为1024 求它的中间项 解 展开式中各项的二项式系数与该项的的系数相等 由已知可得 2n 1 1024 解得n 11 有两个中间项分别为 T6 462x 4 T7 462x 8 求二项式 2 3x 10展开式所有项系数的和 18 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有三条性质 要理解和掌握好 同时要注意 系数 与 二项式系数 的区别 不能混淆 只有二项式系数最大的才是中间项 而系数最大的不一定是