电子科大随机信号分析2015随机期末试题答案A

学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 1 页 共 页 电子科技大学电子科技大学 2014 2015 学年第学年第 2 学期期学期期 末末 考试考试 A 卷卷 一 设有正弦随机信号一 设有正弦随机信号 其 其 cosX tVt 中中 为常数 为常数 是是均匀分布的均匀分布的 0t V 0 1 随机变量 随机变量 共共 10 分 分 1 画出该过程两条样本函数 画出该过程两条样本函数 2 分分 2 确定 确定 时随机信号时随机信号的一的一 0 2 t 1 3 4 t X t 维概率密度函数 并画出其图形 维概率密度函数 并画出其图形 5 分分 3 随机信号 随机信号是否广义平稳和严格平稳 是否广义平稳和严格平稳 X t 3 分分 解 解 1 随机信号随机信号的任意两条样本函数的任意两条样本函数 X t 如题解图如题解图 2 1 a 所示 所示 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 2 页 共 页 cosX tVt t 1 2 当当时 时 0 2 t 0 2 X 01 2 P X 此时概率密度函数为 此时概率密度函数为 2 X fxx 当当时 时 随机过程的一维 随机过程的一维 3 4 t 32 42 XV 概率密度函数为 概率密度函数为 2 32 0 2 4 0 X x fx others 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 3 页 共 页 3 均值不平稳 所均值不平稳 所 1 coscos 2 E X tE Vtt 以以非广义平稳 非严格平稳 非广义平稳 非严格平稳 X t 二 二 设随设随机信号机信号与与 sin 2X nn 其中 其中为为上均匀上均匀 cos 2Y nn 0 分布随机变量 分布随机变量 共共 10 分 分 1 求两个随机信号的互相关函数 求两个随机信号的互相关函数 12 XY Rn n 2 分分 2 讨论两个随机信号的正交性 互不相关 讨论两个随机信号的正交性 互不相关 性与统计独立性 性与统计独立性 4 分分 3 两个随机信号联合平稳吗 两个随机信号联合平稳吗 4 分分 解 解 1 1 两个随机信号的互相关函数两个随机信号的互相关函数 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 4 页 共 页 1212 12 1212 12 sin 2cos 2 1 sin 222sin 22 2 1 sin 220 2 XY Rn nE X n Y n Enn Ennnn nn 其中其中 12 sin 2220Enn 2 2 对任意的对任意的n n1 1 n n2 2 都有都有 故 故12 0 XY Rn n 两个随机信号正交 两个随机信号正交 又又 12 sin 2cos 2 0 1 cos 2sin 20 0 E X nEnn E Y nEnn 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 5 页 共 页 12 1212 12 1 sin 220 2 XY XYXY Cn n Rn nmn mn nn 故两个随机信号互不相关 故两个随机信号互不相关 又因为又因为 2222 00 sincos1XnYnnn 故两个随机信号不独立 故两个随机信号不独立 3 3 1212 12 1212 sin 2sin 2 1 cos 22cos 222 2 1 2 X Rn nE X nX n Enn Ennnn 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 6 页 共 页 1212 12 1212 cos 2cos 2 1 cos 22cos 222 2 1 2 Y R n nE Y n Y n Enn Ennnn 两个随机信号的均值都平稳 相关函数都两个随机信号的均值都平稳 相关函数都 与时刻组的起点无关 故两个信号分别平与时刻组的起点无关 故两个信号分别平 稳 又其互相关函数也与时刻组的起点无稳 又其互相关函数也与时刻组的起点无 关 因而二者联合平稳关 因而二者联合平稳 三 三 为独立二进制传输信号为独立二进制传输信号 时隙长 时隙长 W t 度度 T 在时隙内的任一点 在时隙内的任一点和和 30 3P W t 试求 试求 共共 10 分 分 30 7P W t 1 的一维概率密度函数 的一维概率密度函数 3 分分 W t 2 的二维概率密度函数 的二维概率密度函数 4 分分 W t 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 7 页 共 页 3 是否严格平稳 是否严格平稳 3 分分 W t 解 下面的讨论中 解 下面的讨论中 t 不在时隙分界点上 不在时隙分界点上 1 在时隙内的任一点上 在时隙内的任一点上 为二进制离散为二进制离散 W t 随机变量 随机变量 因此 随机信号的一维概率因此 随机信号的一维概率 密度函数为 密度函数为 0 330 73f w tww 2 当当 在同一时隙时 在同一时隙时 随机变量随机变量 1 t 2 t 1 tW 取值相同 此时二维概率密度函数为 取值相同 此时二维概率密度函数为 2 tW 12121212 0 33 30 73 3f w w t twwww 当当 不在同一时隙时 不在同一时隙时 随机变量随机变量 1 t 2 t 1 tW 取值独立 此时二维概率密度函数为 取值独立 此时二维概率密度函数为 2 tW 12121212 1212 0 093 30 213 3 0 213 30 493 3 f w w t twwww wwww 3 3 不严格平稳 不严格平稳 W t 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 8 页 共 页 四 设正弦随机信号四 设正弦随机信号 X t Acos t 是常数 是常数 A U 1 1 U 0 且且 A 和和 统计独立 令统计独立 令 Y t X2 t 共共 10 分 分 讨论 讨论 1 Y t 的均值 的均值 3 分分 2 Y t 的相关函数 的相关函数 4 分分 3 Y t 是否是广义平稳 是否是广义平稳 3 分分 解 解 1 Y t 的均值 的均值 222 2 2 cos 1 1 cos 22 2 1111 2236 E Y tE XtE At E AEt E A 2 Y t 的相关函数 的相关函数 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 9 页 共 页 22 422 4 cos cos 1 1 cos 2221 cos 22 4 11 1 cos 222cos 22 45 11 cos 2 cos 424 2040 11 cos 2 2040 Y R tt E Y tY tE XtXt E Att E AEtt Ett Et 3 因为因为 Y t 的均值和相关函数都与的均值和相关函数都与 t 无关 无关 因此因此 Y t 是广义平稳随机信号 是广义平稳随机信号 五 高斯随机信号五 高斯随机信号 X t 的自相关函数如图的自相关函数如图 所示 所示 共共 10 分 分 1 求 求 X t 的一维概率密度函数 的一维概率密度函数 3 分分 2 求 求 X t 上间隔为上间隔为 0 001 的任意两个采样的任意两个采样 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 10 页 共 页 时刻的二维密度函数 时刻的二维密度函数 4 分分 3 对一段时长为 对一段时长为 1 秒的信号 最多能够获秒的信号 最多能够获 取多少了独立的采样点 取多少了独立的采样点 3 分分 解 解 1 求求 X t 的一维概率密度函数 的一维概率密度函数 3 分 分 因为 因为 RX m2 故 故 m 0 2 RX 0 m2 4 2 1 x t exp 824 X x f 2 求求 X t 上间隔为上间隔为 0 001s 的任意两个的任意两个 采样时刻的二维密度函数 采样时刻的二维密度函数 4 分 分 秒 RX 4 0 0001 0 0001 0 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 11 页 共 页 因为 因为 CX RX m2 故 故 CX 0 001 0 高斯随机变量不相关 则其统计独立 因高斯随机变量不相关 则其统计独立 因 此任意两个间隔为此任意两个间隔为 0 001s 的两个随机变量的两个随机变量 的二维密度函数为 的二维密度函数为 22 12 1212 1 x x t t exp 88 X xx f 3 对一段时长为对一段时长为 1 秒的信号 最多能够秒的信号 最多能够 获取多少了独立的采样点 获取多少了独立的采样点 3 分 分 因为不相关的最小间隔为因为不相关的最小间隔为 0 0001 秒 则在秒 则在 1 秒间隔内 最多可采集的独立采样点为 秒间隔内 最多可采集的独立采样点为 1 0 0001 1 10001 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 12 页 共 页 六 功率谱密度为六 功率谱密度为的零均值平稳高斯白的零均值平稳高斯白 2 0 N 噪声通过一个理想带通滤波器 此滤波器噪声通过一个理想带通滤波器 此滤波器 的增益为的增益为 1 中心频率为 中心频率为 带宽为 带宽为 0 f B2 共共 10 分 分 1 的同相分量的同相分量及正交分量及正交分量的自的自 tni ti tq 相关函数和相关系数 相关函数和相关系数 4 分分 2 的二维概率密度函数 的二维概率密度函数 ti 2 1 21 B ttiifi 3 分分 3 及及的二维联合概率密度函数 的二维联合概率密度函数 3 ti tq 分分 解 依题解 依题 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 13 页 共 页 1 其它 0 0 00 XX qi SS SS 0 0 22sin 2 sin 2 2 222 sin 2 2 0 0 2 iq ii iqa ii NBBB RRN B BB CRB SB CRB 2 BSa iq 2 是的零点 2 1 2 2 k Bkk B i R 1212 22 12 00 00 22 12 00 11 22 11 exp exp 442 22 2 1 exp 44 iii f i i t tf i t f i t BB ii N BN BN BN B ii N BN B 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 14 页 共 页 3 因为因为的功率谱关于的功率谱关于偶对称 故偶对称 故 tni 0 f 与与处处正交 无关 独立处处正交 无关 独立 ti tq 1212 22 00 1 exp 44 iqiiq fi q t tf i tfq t iq N BN B 七 已知平稳过程七 已知平稳过程的均值函的均值函 ttX 数为数为 相关函数为 相关函数为 讨论 讨论 1 tm 2 cos2 R 其均值各态历经性 其均值各态历经性 共共 10 分 分 解 解 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 15 页 共 页 cos cos cos limlim limlim lim TT TT TT TT TT TT T T T CdRd TT dd TT T 11 1 22 11 222 24 1 20 4 所以所以具有均值各态历经性 具有均值各态历经性 ttX 八 设有随机过程八 设有随机过程 其中 其中是相是相 ttAtX cos A 互独立的随机变量 互独立的随机变量 是正常数 是正常数 试讨论 试讨论的的 2 0 3 3 UUA ttX 广义平稳性和广义各态历经性 广义平稳性和广义各态历经性 共共 10 分 分 解 解 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 16 页 共 页 cos 2 3 cos 2 1 12 6 cos cos cos cos 0 cos cos 2 2 R ttEAE tAtAEttR tEAEtAEtmX 广义平稳 广义平稳 ttX cos 2 cos cos 2 1 0cossin cos 2 1 2 lim lim lim X T T T X T T T T R A dttAtA T tXtXA mT T A dttA T tXA 均值各态历经 相关函数均值各态历经 相关函数 ttX 不具有各态历经性 不具有各态历经性 九 假设某积分电路的输入九 假设某积分电路的输入 X t 与输出与输出 Y t 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 17 页 共 页 之间满足关系 之间满足关系 积分时 积分时 dXtY t t 4 间为间为 4 秒 秒 共共 10 分 分 1 求该积分电路的冲激响应 求该积分电路的冲激响应 h t 5 分分 2 若输入 若输入 其中 其中 cos 0 tAtX A 2 为常数 为常数 为服从为服从 均匀分均匀分 0 2 0 布的随机变量 求输出布的随机变量 求输出 Y t 的功率谱 的功率谱 5 分分 解 解 1 4 t t Y tXd X ttY th t 时 故故 4 tututh 2 0 cos 0 tAEtXE 学院 姓名 学号 任课老师 考场教室 选课号 座位号 密 封 线 以 内 答 题 无 效 第 18 页 共 页 00 0 cos cos 2cos X RttE X tX t E AtAt 故故 X t 为平稳随机信号 其功率谱为为平稳随机信号 其功率谱为 2 00 X S 因为积分电路为因为积分电路为 LTI