考研数三真题 00-12

20122012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 选择题 选择题 1 81 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 3232 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 1 曲线 曲线渐近线的条数为 渐近线的条数为 2 2 1 xx y x A A 0 0 B B 1 1 C C 2 2 D D 3 3 2 2 设函数 设函数 其中 其中 n n 为正整数 则为正整数 则 2 1 2 xxnx f xeeen 与 与 0 f A A B B 1 1 1 n n 1 1 n n C C D D 1 1 n n 1 n n 3 3 设函数 设函数连续 则二次积分连续 则二次积分 f t 2 2 2 02cos df r rdr A A 2 2 24 2222 02 x x x dxxy f xy dy B B 2 2 24 22 02 x x x dxf xy dy C C 2 2 2222 0 2 1 4 2 x dxxy f xydy xx D D 2 2 22 0 2 1 4 2 x dxf xydy xx 4 4 已知级数 已知级数绝对收敛 绝对收敛 条件收敛 则条件收敛 则范围范围 1 1 1 sin n i n n 2 1 1 n i n 为 为 A A 0 0 B B 1 1 1 2 1 2 C C 1 1 D D 2 2 3 2 3 2 5 5 设 设其中其中 1234 1234 0011 0 1 1 1 cccc 为任意常数 则下列向量组线性相关的是 为任意常数 则下列向量组线性相关的是 1234 cccc与与与 A A B B 123 与与 124 与与 C C D D 134 与与 234 与与 6 6 设 设 A A 为为 3 3 阶矩阵 阶矩阵 P P 为为 3 3 阶可逆矩阵 且阶可逆矩阵 且 P 1AP P 1AP 1 1 2 与 则则 123 P 与与与与与 1223 Q 与 与与与 1 Q AQ 与与 A A B B 1 2 1 1 1 2 C C D D 2 1 2 2 2 1 7 7 设随机变量 设随机变量 X X 与与 Y Y 相互独立 且都服从区间 相互独立 且都服从区间 0 0 1 1 上的均匀分布 则 上的均匀分布 则 22 与1与 A A B B C C D D 1 4 1 28 4 8 8 设 设为来自总体为来自总体的简单随机样的简单随机样 1234 XXXX与与与 N 2 与1与与与0与 本 则统计量本 则统计量的分布 的分布 12 34 2 XX XX A A B B C C D D N 与0与1与 1 t 2 1 1 1 F 二 填空题 二 填空题 9 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2424 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 9 1 cossin 4 lim tan xx x x 1010 设函数 设函数 0 ln 1 21 1 x dyx x f xyf f x dx xx 与 1111 函数 函数满足满足则则 zf x y 220 1 22 lim0 1 x y f x yxy xy 0 1 dz 1212 由曲线 由曲线和直线和直线及及在第一象限中所围图形的面积为在第一象限中所围图形的面积为 4 y x yx 4yx 1313 设 设 A A 为为 3 3 阶矩阵 阶矩阵 A 3 A 3 A A 为为 A A 的伴随矩阵 若交换的伴随矩阵 若交换 A A 的第一行与第二行得到的第一行与第二行得到 矩阵矩阵 B B 则 则 BA BA 1414 设 设 A B CA B C 是随机事件 是随机事件 A CA C 互不相容 互不相容 则则 11 23 P ABP C CPA 与与 解答题 解答题 15 2315 23 小题 共小题 共 9494 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 1515 本题满分 本题满分 1010 分 分 计算计算 2 2 2cos 4 0 lim xx x ee x 1616 本题满分 本题满分 1010 分 分 计算二重积分计算二重积分 其中 其中 D D 为由曲线为由曲线所围区域所围区域 x D e xydxdy 1 yxy x 与 1717 本题满分 本题满分 1010 分 某企业为生产甲 乙两种型号的产品 投入的固定成本为分 某企业为生产甲 乙两种型号的产品 投入的固定成本为 1000010000 万元 设该企业生产甲 乙两种产品的产量分别为 万元 设该企业生产甲 乙两种产品的产量分别为 x x 件件 和和 y y 件件 且固定两种 且固定两种 产品的边际成本分别为产品的边际成本分别为 20 20 万元 万元 件 与件 与 6 y6 y 万元 万元 件 件 2 x 1 1 求生产甲乙两种产品的总成本函数 求生产甲乙两种产品的总成本函数 万元 万元 C x y 2 2 当总产量为 当总产量为 5050 件时 甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小 求最小的成件时 甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小 求最小的成 本本 3 3 求总产量为 求总产量为 5050 件时且总成本最小时甲产品的边际成本 并解释其经济意义件时且总成本最小时甲产品的边际成本 并解释其经济意义 1818 本题满分 本题满分 1010 分 分 证明 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 1919 本题满分 本题满分 1010 分 已知函数分 已知函数满足方程满足方程 f x 及及 2 0fxfxf x 2 x fxf xe 1 1 求表达式 求表达式 f x 2 2 求曲线的拐点 求曲线的拐点 22 0 x yf xft dt 2020 本题满分 本题满分 1010 分 分 设设 1001 0101 0010 0010 a a Ab a a 与 I I 求 求 A A IIII 已知线性方程组 已知线性方程组有无穷多解 求有无穷多解 求 并求 并求的通解的通解 Axb aAxb 21 21 本题满分 本题满分 1010 分 分 已知已知二次型二次型的秩为的秩为 2 2 101 011 10 01 A a a 与 123 f x x xxx A A 求实数求实数 a a 的值 的值 求正交变换求正交变换 x Qyx Qy 将将 f f 化为标准型化为标准型 2222 本题满分 本题满分 1010 分 分 已知随机变量已知随机变量 X YX Y 以及以及 XYXY 的分布律如下表所示 的分布律如下表所示 X X0 01 12 2 P P 1 2 1 3 1 6 Y Y0 01 12 2 P P 1 3 1 3 1 3 XYXY0 01 12 24 4 P P 7 12 1 3 0 0 1 12 求 求 1 1 P X 2Y P X 2Y 2 2 cov XY XY Y 与 2323 本题满分 本题满分 1010 分 分 设随机变量设随机变量 X X 和和 Y Y 相互独立 且均服从参数为相互独立 且均服从参数为 1 1 的指数分布 的指数分布 min max VX Y UX Y 求 求 1 1 随机变量 随机变量 V V 的概率密度 的概率密度 2 2 E UV 20112011 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 一 选择题 一 选择题 1 1 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 3232 分 下列每题给出的四个选项中 只有分 下列每题给出的四个选项中 只有 一个选项是符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 一个选项是符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 1 已知当时 函数与是等价无穷小 则0 x 3sinsin3f xxx k cx A B 1 4kc 1 4kc C D 3 4kc 3 4kc 2 2 已知在处可导 且 则 f x0 x 0 0f 23 3 0 2 lim x x f xf x x A B C D 2 0 f 0 f 0 f0 3 3 设是数列 则下列命题正确的是 n u A 若收敛 则收敛 1 n n u 212 1 nn n uu B 若收敛 则收敛 212 1 nn n uu 1 n n u C 若收敛 则收敛 1 n n u 212 1 nn n uu D 若收敛 则收敛 212 1 nn n uu 1 n n u 4 4 设 则 的大 4 0 ln sin Ix dx 4 0 ln cot Jx dx 4 0 ln cos Kx dx IJK 小关系是 A B C D IJK IKJ JIK KJI 5 5 设为 3 阶矩阵 将的第 2 列加到第 1 列得矩阵 再交换的第 2 行与第 3AABB 行得单位矩阵记为 则 1 100 110 001 P 2 100 001 010 P A A B C D 12 PP 1 12 P P 21 P P 1 21 P P 6 6 设为矩阵 是非齐次线性方程组的 3 个线性无关的A4 3 1 2 3 Ax 解 为任意常数 则的通解为 1 k 2 kAx A 23 121 2 k B 23 221 2 k C 23 131221 2 kk D 23 221331 2 kk 7 7 设 为两个分布函数 其相应的概率密度 是连续函数 1 F x 2 F x 1 f x 1 f x 则必为概率密度的是 A B 12 f x fx 21 2 fx F x C D 12 f x F x 1221 f x F xfx F x 8 8 设总体服从参数的泊松分布 为来自总体的简X 0 11 2 n XXXn 单随即样本 则对应的统计量 1 1 1 n i i TX n 1 2 1 11 1 n in i TXX nn A B 1212 ETET DTDT 1212 ETET DTDT C D 1212 ETET DTDT 1212 ETET DTDT 二 填空题 二 填空题 9 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2424 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 9 设 则 0 lim 1 3 x t t f xxt fx 10 10 设函数 则 1 x y x z y 1 1 dz 11 11 曲线在点处的切线方程为 tan 4 y xye 0 0 12 12 曲线 直线及轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体 2 1yx 2x x 的体积 13 13 设二次型的秩为 1 中行元素之和为 3 则在正交 123 T f XXXx Ax Af 变换下的标准型为 xQy 14 14 设二维随机变量服从 则 X Y 22 0 N 2 E XY 三 解答题 三 解答题 1515 2323 小题 共小题 共 9494 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出解答应写出 文字说明 证明过程或演算步骤文字说明 证明过程或演算步骤 15 15 本题满分本题满分 1010 分分 求极限 0 12sin1 lim ln 1 x xx xx 16 16 本题满分本题满分 1010 分分 已知函数具有连续的二阶偏导数 是的极值 f u v 1 1 2f f u v 求 zfxyf x y 2 1 1 z x y 17 17 本题满分本题满分 1010 分分 求 arcsinlnxx dx x 18 18 本题满分本题满分 1010 分分 证明恰有 2 实根 4 4arctan30 3 xx 19 19 本题满分本题满分 1010 分分 在有连续的导数 且 f x 0 1 0 1f tt DD fxy dxdyf t dxdy 求的表达式 0 0 0 01 t Dx yxtytxytt f x 20 20 本题满分本题满分 1111 分分 设 3 维向量组 不能由 1 1 0 1 T 2 0 1 1 T 3 1 3 5 T 1 1 1 T a 线性标出 2 1 2 3 T 3 1 3 5 T 求 求 a 将 由 线性表出 1 2 3 1 2 3 21 21 本题满分本题满分 1111 分分 已知为三阶实矩阵 且 A 2R A 1111 0000 1 111 A 求 求的特征值与特征向量 A 求A 22 22 本题满分本题满分 1111 分分 已知 的概率分布如下 XY X01Y 101 P1 32 3P1 31 31 3 且 22 P 1XY 求 的分布 XY 的分布 ZXY XY 23 23 本题满分本题满分 1111 分分 设在上服从均匀分布 由 与围成 X YGG0 xy 2xy 0y 求 边缘密度 X fx X Y fx y 20102010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 一 选择题 一 选择题 1 1 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 3232 分 下列每小题给出的四个选项中 只分 下列每小题给出的四个选项中 只 有一个选项是符合题目要求的 请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上有一个选项是符合题目要求的 请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 1 若 则等于 0 11 lim 1 x x a e xx a A 0 B 1 C 2 D 3 2 2 设 是一阶线性非齐次微分方程的两个特解 若常数 1 y 2 y yp x yq x x 使是该方程的解 是该方程对应的齐次方程的解 则 u 12 yuy 12 yuy A B 11 22 11 22 C D 21 33 22 33 3 3 设函数 具有二阶导数 且 若是的极值 f x g x 0g x 0 g xa g x 则在取极大值的一个充分条件是 f g x 0 x A B 0fa 0fa C D 0fa 0fa 4 4 设 则当充分大时有 10 lnf xx g xx 10 x h xe x A B g xh xf x h xg xf x C D f xg xh x g xf xh x 5 5 设向量组 可由向量组 线性表示 下列命题正 12r 12s 确的是 A 若向量组 线性无关 则 B 若向量组 线性相关 则rs rs C 若向量组 线性无关 则 D 若向量组 线性相关 则rs rs 6 6 设为 4 阶实对称矩阵 且 若的秩为 3 则相似于A 2 0AA AA A B 1 1 1 0 1 1 1 0 C D 1 1 1 0 1 1 1 0 7 7 设随机变量的分布函数 则 00 1 01 2 11 x x F xx ex 1P X A 0 B C D 1 2 1 1 2 e 1 1 e 8 8 设为标准正态分布的概率密度 为上的均匀分布的概率密度 1 f x 2 fx 1 3 若为概率密度 则应满足 1 2 0 0 0 0 af xx f xab bfxx a b A B 234ab 324ab C D 1ab 2ab 二 填空题 二 填空题 9 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2424 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 9 设可导函数由方程确定 则 yy x 2 2 00 sin x yx t edtxt dt 0 x dy dx 10 10 设位于曲线下方 轴上方的无界区域为 则 2 1 1 ln yex xx xG 绕轴旋转一周所得空间区域的体积是 Gx 11 11 设某商品的收益函数为 收益弹性为 其中为价格 且 R p 3 1p p 1 1R 则 R p 12 12 若曲线有拐点 则 32 1yxaxbx 1 0 b 13 13 设 为 3 阶矩阵 且 则AB3A 2B 1 2AB 1 AB 14 14 设 为来自整体的简单随机样本 记统计量 1 x 2 x n x 2 0 N 则 2 1 1 n i i TX n ET 三 解答题 三 解答题 1515 2323 小题 共小题 共 9494 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出解答应写出 文字说明 证明过程或演算步骤文字说明 证明过程或演算步骤 15 15 本题满分本题满分 1010 分分 求极限 11 ln lim 1 xx x x 16 16 本题满分本题满分 1010 分分 计算二重积分 其中由曲线与直线及 3 D xy dxdy D 2 1xy 20 xy 围成 20 xy 17 17 本题满分本题满分 1010 分分 求函数在约束条件下的最大值和最小值2uxyyz 222 10 xyz 18 18 本题满分本题满分 1010 分分 比较与的大小 说明理由 1 0 lnln 1 n ttdt 1 0 ln n tt dt 1 2 n 设 求极限 1 0 lnln 1 n n uttdt 1 2 n lim n n u 19 19 本题满分本题满分 1010 分分 设函数在上连续 在内存在二阶导数 且 f x 0 3 0 3 2 0 2 0 2 3 ff x dxff 证明 存在 使 0 2 0 ff 证明 存在 使 0 3 0f 20 20 本题满分本题满分 1111 分分 设 11 010 11 A 1 1 a b 已知线性方程组存在 2 个不同的解Axb 求 a 求方程组的通解Axb 21 21 本题满分本题满分 1111 分分 设 正交矩阵使得为对角矩阵 若的第 1 列为 014 13 40 Aa a Q T Q AQQ 求 1 1 2 1 6 T aQ 22 22 本题满分本题满分 1111 分分 设二维随机变量的概率密度为 XY 22 22 xxy y f xyAe x 求常数及条件概率密度y A Y X fy x 23 23 本题满分本题满分 1111 分分 箱内有 6 个球 其中红 白 黑球的个数分别为 1 2 3 现在从箱中随机的取出 2 个球 设为取出的红球个数 为取出的白球个数 XY 求随机变量的概率分布 XY 求 Cov XY 20092009 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 一 选择题 一 选择题 1 1 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 3232 分 下列每小题给出的四个选项中 只分 下列每小题给出的四个选项中 只 有一个选项是符合题目要求的 请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上有一个选项是符合题目要求的 请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 1 函数的可去间断点的个数为 3 sin xx f x x A 1 B 2 C 3 D 无穷多个 2 2 当时 与是等价无穷小 则0 x sinf xxax 2 ln 1 g xxbx A B 1a 1 6 b 1a 1 6 b C D 1a 1 6 b 1a 1 6 b 3 3 使不等式成立的的范围是 1 sin ln x t dtx t x A B C D 0 1 1 2 2 4 4 设函数在区间上的图形为 yf x 1 3 则函数的图形为 0 x F xf t dt A B f x O 23x1 2 1 1 f x O 2 3 x 1 2 1 1 C D f x O 23x1 1 1 f x O 23x1 2 1 1 5 5 设均为 2 阶矩阵 分别为的伴随矩阵 若 则分 A B A B A B 2 3AB 块矩阵的伴随矩阵为 OA BO 1 f x 2 O 23x 1 1 A B 3 2 OB AO 2 3 OB AO C D 3 2 OA BO 2 3 OA BO 6 6 设均为 3 阶矩阵 为的转置矩阵 且 A P T PP 100 010 002 T P AP 若 则为 1231223 PQ T Q AQ A B 210 110 002 110 120 002 C D 200 010 002 100 020 002 7 7 设事件与事件 B 互不相容 则A A B 0P AB P ABP A P B C D 1 P AP B 1P AB 8 8 设随机变量与相互独立 且服从标准正态分布 的概率分布为XYX 0 1 NY 记为随机变量的分布函数 则函数的间 1 0 1 2 P YP Y z F ZZXY Z Fz 断点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 二 填空题 9 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2424 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 9 cos 320 lim 11 x x ee x 1010 设 则 yx zxe 1 0 z x 1111 幂级数的收敛半径为 2 1 1 nn n n e x n 1212 设某产品的需求函数为 其对应价格的弹性 则当需求量 QQ P P0 2 p 为 10000 件时 价格增加 1 元会使产品收益增加 元 1313 设 若矩阵相似于 则 1 1 1 T 1 0 Tk T 300 000 000 k 14 14 设 为来自二项分布总体的简单随机样本 和分 1 X 2 X m X B n pX 2 S 别为样本均值和样本方差 记统计量 则 2 TXS ET 三 解答题 三 解答题 1515 2323 小题 共小题 共 9494 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出解答应写出 文字说明 证明过程或演算步骤文字说明 证明过程或演算步骤 1515 本题满分 本题满分 9 9 分 分 求二元函数的极值 22 2lnf x yxyyy 1616 本题满分 本题满分 1010 分 分 计算不定积分 1 ln 1 x dx x 0 x 1717 本题满分 本题满分 1010 分 分 计算二重积分 其中 D xy dxdy 22 1 1 2 Dx yxyyx 1818 本题满分 本题满分 1111 分 分 证明拉格朗日中值定理 若函数在上连续 在上可导 则 f x a b a b 得证 ab f bf afba 证明 若函数在处连续 在内可导 且 f x0 x 0 0 则存在 且 0 lim x fxA 0 f 0 fA 1919 本题满分 本题满分 1010 分 分 设曲线 其中是可导函数 且 已知曲线与直线 yf x f x 0f x yf x 及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0 1yx 1 xt t x 形面积值的倍 求该曲线的方程 t 2020 本题满分 本题满分 1111 分 分 设 111 A 111 042 1 1 1 2 求满足 的所有向量 21 A 2 31 A 2 3 对 中的任意向量 证明 线性无关 2 3 1 2 3 2121 本题满分 本题满分 1111 分 分 设二次型 222 1231231323 1 22f x xxaxaxaxx xx x 求二次型的矩阵的所有特征值 f 若二次型的规范形为 求的值 f 22 12 yy a 2222 本题满分 本题满分 1111 分 分 设二维随机变量的概率密度为 X Y 0 0 x eyx f x y 其他 求条件概率密度 Y X fy x 求条件概率 11P XY 2323 本题满分 本题满分 1111 分 分 袋中有一个红球 两个黑球 三个白球 现在放回的从袋中取两次 每次取一个 求 以 分别表示两次取球所取得的红 黑与白球的个数 XYZ 求 10P XZ 求二维随机变量的概率分布 X Y 20082008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 一 选择题 一 选择题 1 1 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 3232 分 下列每小题给出的四个选项中 只分 下列每小题给出的四个选项中 只 有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 1 设函数在区间上连续 则是函数的 f x 1 1 0 x 0 x f t dt g x x A 跳跃间断点 B 可去间断点 C 无穷间断点 D 振荡间断点 2 2 如图 曲线段方程为 函数在区间上有连续的导数 则定积分 yf x f x 0 a 等于 0 a t xfx dx A 曲边梯形面积 B 梯形面积 ABODABOD C 曲边三角形面积 D 三角形面积 ACDACD 3 3 已知 则 24 xy f x ye A 都存在 0 0 x f 0 0 y f B 不存在 存在 0 0 x f 0 0 y f C 存在 不存在 0 0 x f 0 0 y f D 都不存在 0 0 x f 0 0 y f 4 4 设函数连续 若 其中为图中阴影部分 则f 22 22 uv D f xy F u vdxdy xy uv D F u A B C D 2 vf u 2 v f u u vf u v f u u 5 5 设为阶非 0 矩阵 为阶单位矩阵 若 则 AEn 3 0A A 不可逆 不可逆 EA EA B 不可逆 可逆 EA EA C 可逆 可逆 EA EA D 可逆 不可逆 EA EA 6 6 设则在实数域上域与合同的矩阵为 12 21 A A A B 21 12 21 12 C D 21 12 12 21 7 7 随机变量独立同分布 且分布函数为 则分布 X YX F x max ZX Y 函数为 A B 2 Fx F x F y C D 2 11F x 11F xF y 8 8 随机变量 且相关系数 则 0 1X N 1 4Y N1 XY A B 211P YX 211P YX C D 211P YX 211P YX 二 填空题 二 填空题 9 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2424 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 9 设函数在内连续 则 2 1 2 xxc f x xc x c 1010 设 则 3 4 1 1 xx f x xx 2 2 2 f x dx 1111 设