第三章全等三角形

第三章第三章 全等三角形全等三角形 3 1 旋转 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 认识图形的旋转变换 掌握它的基本性质 认识旋转对称图形 并能够按要求作出简单的平面图形旋转后的图形 3 培养学生创造图案的设计 能力 过程与方法目标 通过具体实例认识图形的旋转变换 探索它的基本性质 引导学生 探索发现原图形经过旋转后的 对应点 对应线段之间的位置关系与数量关系 体验感受图形旋转的主要因素是旋转中心和旋转的角度 从而体会到图形在旋转过程中 图形中的 每一点都绕着旋转中转动了相同的角度 认识旋转对称图形 理解旋转对称图形的概念 重视对学 生自行设计旋转对称图形的能力的培养 并能够按要求作出简单的平面图形旋转后的图形 情感 态度与价值观 通过对旋转现象 图形旋转的观赏 发展审美能力和抽象概况能力 重点 旋转变换的基本性质 并能根据性质作出简单的平面图形旋转后的图形 难点 旋转变换的基本性质的探索 作出简单的平面图形旋转后的图形 关键 认识理解旋转变换的基本性质 理解旋转对称图形 培养学生动手操作能力 教学过程 一 创设问题情境 你能自己举出日常生活中的一些事例吗 二 探究新知 探究新知 1 1 观察书 63 页的图 找出这些图形的共同特征 2 小结 概念 旋转 旋转中心 课件演示 旋转而动产生的奇妙画面 探究新知 2 用一张半透明的薄纸 覆盖在画有任意 AOB 的纸上 在薄纸上画出与 AOB 重合的一个三角形 然 后用一枚图钉在点 O 处固定 将薄纸绕着图钉 即点 O 转动一个角度 45 薄纸上的三角形就旋转到了新的位置 标上 A O B 我们可以认为 AOB 旋转 45 后到了上 A O B 在这样的旋转过程中 你发现了什么 做 一做后 讨论回答 图中 可以看到点 A 旋转到点 A OA 旋转到 OA AOB 旋转到 A OB 这些都是互相对应的点 线段与角 那么 点 B 的对应点是 线段 OB 的对应线段是线段 线段 AB 的对应线段是线段 A 的对应角是 B 的对应角是 旋转中心是点 旋转的角度是 探究新知 3 如图 如果旋转中心在 ABC 的外面点 O 处 转动 60 将整个 ABC 旋转到 A B C 的位置 那么这两个三 角形的顶点 边与角是如何对应的呢 探究新知 4 ABD 经过旋转后到 ACE 的位置 旋转中心是哪一点 旋转 了多少度 如果 M 是 AB 的中点 那么经过上述旋转后 点 M 转到了什么位置 2 如图 点 M 是线段 AB 上一点 将线段 AB 绕着点 M 顺时针方向旋转 90 旋转后的线段与原线段的位置有何 关系 如果逆时针方向旋转 90 三 小结提高 说说描述 旋转 的过程要注意哪几方面 3 23 2 图案设计图案设计 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 了解图案最常见的构图方式 轴对称 平移 旋转 理解简单图案设计的意图 认识和欣赏平移 旋转在现实生活中的应用 能够灵活运用轴对称 平移 旋转的组合 设计出简单的图案 过程与方法 经历收集 欣赏 分析 操作和设计的过程 培养学生收集和整理信息的能力 分析和解决问题的能 力 合作和交流的能力以及创新能力 情感 态度与价值观 经历对典型图案设计 意图的分析 进一步发展学生的空间观念 增强审美意识 培养学生积极进取的 生活态度 教学重点 灵活运用轴对称 平移 旋转 等方法及它们的组合进行的图案设计 教学难点 分析典型图案的设计意图 教学关键 在设计的图案中清晰地表现自己的设计意图 教学准备 提前一周布置学生以小组为单位 通过各种渠道收集到的图案 图标的剪贴 临摹以及 多种常见的 图案及其形成过程的动画演示 1 如图 ABC 是等边三角形 D 是 BC 上一点 说说 旋转 的概念 旋转的等量关系 教学过程 一 情境导入 1 逐个展示生活中常见的典型图案 并让学生试着说一说每种图案标志的对象 明确在欣赏了图案后 简单地 复习平移 旋转的概念 为下面图案的设计作好理论准备 对教材给出的六个图案通过观察 分析进行议论 交流 让学生初步了解图案的设计中常常运用图形变换的思想方法 为学生自己设计图案指明方向 其中图 1 2 3 4 5 6 都可以通过旋转适合角度形成 可以让学生自己说说每个旋转的角度和旋 转的次数及旋转中心的位置 另外图 2 3 5 也可以通过轴对称变换形成 可以让学生指出对轴对 称及对称轴的条数 而图 2 可以通过平移形成 2 课本例 1 欣赏课本的图案 并分析这个图案形成过程 评注 图案是密铺图案的代表 旨在通过对典型图案的分析欣赏 使学生逐步能够进行图案设计 同时了解轴对 称 平移 旋转变换是图案制作的基本手段 例题解答的关键是确定 基本图案 然后再运用平移 旋转 关系加以说明 注意旋转中心可以为图形上某一特征的点 评注 可以取其中的任何一个为基本图案 然后通过变换得到 而且变化方式也可以是 左下角的图案通过轴对称 变换得到左上图和右下图 3 课内练习 1 以小组为单位 由每组指定一个同学展示该组搜集得到的图案 并在全班交流 2 利用下面提供的基本图形 用平移 旋转 轴对称 中心对称等方法进行图案设计 并简要说明自己的设计 意图 议一议 生活中还有那些图案用到了平移或旋转 分析其中的一个 并与同伴进行交流 4 课时小结 本课时的重点是了解平移 旋转和轴对称变换是图案设计的基本方法 并能运用这些变换设计出一 些简单的图案 通过今天的学习 你对图案的设计又增加了哪些新的认识 可以利用平移 旋转 轴对称等多种方法来设 计 而且设计的图案要能表达自己的创作意图 再就是图案的设计一定要新颖 独特 这样才能使人过目不忘 达到 标志的效果 延伸拓展 进一步搜集身边的各种标志性图案 尝试着重新设计它 并结合实际背景分析它的设计意图 3 33 3 全等三角形及其性质全等三角形及其性质 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 知道什么是全等形 全等三角形及全等三角形的对应元素 知道全等三角形的性质 能用符号正确地表示两个三角形全等 能熟练找出两个全等三角形的对应角 对应边 过程与方法 从生活 学习环境的具体事例与图形中抽象出全等形 全等三角形的概念 联系图形 的三种变换理解概念和全等三角形的对应顶点 对应边 对应角和全等三角形的记法 情感 态度与价值观 通过概念的抽象 方法的归纳和规律的总结 感受数学与实际生活的联系 观察 猜 想 归纳等活动中可获得数学发现 在数学活动中培养与人合作的精神与能力 教学重点 全等三角形的性质 教学难点 找全等三角形的对应边 对应角 教学准备 直尺 三角板 铅笔 教学过程 一 创设问题情境 引入全等三角形 1 全等形及全等三角形概念的引入 1 提问 你能举出生活中能够完全重合的两个图形 吗 2 显示 问题 你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗 一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的 3 学生自己动手 画一个三角形 边长为 4cm 5cm 7cm 画一个正方形 边长为 5cm 然后剪下来 同桌的两位同学配合 把两个三角形放在一起重合 2 归纳 获取概念 让学生用自己的语言叙述 全等形 全等三角形 对应顶点 对应角 二 想一想 探索全等三角形的性质 问题 对应边 对应角有何关系 由学生观察发现 两个三角形的三组对应边相等 三组对应 角相等 1 找对应边 对应角以及全等三角形性质的应用 2 例 如图 将 A B C 绕 O 点旋转 180 得到 A B C ABC 与 A B C 全等吗 为什么 全等用符号 表示 读作 全等于 如 ABC ABC 对应顶点 对应角 对应边 注意注意 记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 如 ABC A B C 不能记作 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 例如 在上题中 ABC A B C 则有 三 范例分析 ABC DBC AB DB 则其余的对应边分别为 对应角分别为 2 如图 ABC ACE OBC OC B 则有 ABC ADB AB AD BD 3 如图 AOC BOD A B 则其余的对应角分别是 对应边分别是 4 师生共同总结 找对应边 对应角通常的几种方法 找对应边 对应角通常的几种方法 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 有公共边的 公共边一定是对应边 有公共角的 角一定是对应角 有对顶角的 对顶角一定是对应角 两个全等三角形中一对最长边 或最大角 是对应边 或对应角 一对最短边 或最小的 角 是对应边 或对应角 四 课堂独立练习 此练习 主要加强学生的识图能力 同时 找准全等三角形的对应边 对应角 是以后学好几何的关 键 1 70 的说一说 2 71 的练习的第 1 题 五 小结 如何找全等三角形的对应边 对应角 基本方法 全等三角形的性质 性质的应用 让学生自由表述 其它学生补充 自己将知识系统化 以自己的方 式进行建构 六 布置作业 1 71 习题 A 组第 2 题 2 如图 ABE 与 CED 是全等三角形 可表示 ABE 其中 A B AB DE 3 已知 ABC DEF 若 ABC 的周长为 32 则 CA DE EF 3 33 3 全等三角形及其性质全等三角形及其性质 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 知道什么是全等形 全等三角形及全等三角形的对应元素 知道全等三角形的性质 能用符号正确地表示两个三角形全等 能熟练找出两个全等三角形的对应角 对应边 过程与方法 从生活 学习环境的具体事例与图形中抽象出全等形 全等三角形的概念 联系图形的三种变换理解 概念和全等三角形的对应顶点 对应边 对应角和全等三角形的记法 情感 态度与价值观 通过概念的抽象 方法的归纳和规律的总结 感受数学与实际生活的联系 观察 猜想 归纳等活动 中可获得数学发现 在数学活动中培养与人合作的精神与能力 教学重点 全等三角形的性质 教学难点 找全等三角形的对应边 对应角 教学准备 直尺 教学过程 1 全等形及全等三角形概念的引入 1 显示 问题 你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗 一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的 2 学生自己动手 画一个三角形 边长为 4cm 5cm 7cm 然后剪下来 同桌的两位同学配合 把两个三角形放在一起重合 2 获取概念 让学生用自己的语言叙述 全等三角形 对应顶点 对应角以及有关数学符号 3 全等三角形性质的发现 问题 对应边 对应角有何关系 由学生观察发现 两个三角形的三组对应边相等 三组对应角相等 1 找对应边 对应角以及全等三角形性质的应用 2 题目 D AD BC 且 AD BC 分析 由于两个三角形完全重合 故面积 周长相等 至于 D 因为 AD 和 BC 是对应边 因此 AD BC C 符合题意 说明 本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中 对应顶点定在对应的位置上 易错点是容易找错对应角 分析 对应边和对应角只能从两个三角形中找 所以需将 从复杂的图形中分离出来 说明 根据位置元素来找 有相等元素 其即为对应元素 然后依据已知的对应元素找 1 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 说明 利用 运动法 来找 翻折法 找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形 易发现其对应元素 旋转法 两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时 易于找到对应元素 平移法 将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素 求证 AE CF 分析 证明直线平行通常用角关系 同位角 内错角等 为此想到三角形全等的性质对应角相等 AE CF 说明 解此题的关键是找准对应角 可以用平移法 分析 AB 不是全等三角形的对应边 但它通过对应边转化为 AB CD 而使 AB CD AD BC 可利用已知的 AD 与 BC 求得 说明 解决本题的关键是利用三角形全等的性质 得到对应边相等 4 题目的解决 这些题目给出以后 先要求学生独立思考后回答 其它学生补充完善 并可以提出自己的看法 教师重点指导 师生 共同总结 找对应边 对应角通常的几种方法 a 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 b 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 3 有公共边的 公共边一定是对应边 4 有公共角的 角一定是对应角 5 有对顶角的 对顶角一定是对应 角 两个全等三角形中一对最长边 或最大角 是对应边 或对应角 一对最短边 或最小的角 是对应边 或对应角 课堂独立练习 巩固提高 此练习 主要加强学生的识图能力 同时 找准全等三角形的对应边 对应角 是以后学好几何的关键 小结 如何找全等三角形的对应边 对应角 基本方法 全等三角形的性质 性质的应用 让学生自由表述 其它学生补充 自己将知识系统化 以自己的方式进行建构 布置作业 探究活动 2 证明 AF DE 3 33 3 全等三角形全等三角形 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与与技能 1 说出怎样的两个图形是全等形 并会用符号表示两个三角形全等 2 知道全等三角形的有关概念 会在两个全等三角形中正确找出对应顶点 对应边 对应角 3 会说出全等三角形的对应边 对应角相等的性质 过程与方法 从生活 学习环境的具体事例与图形中抽象出全等三角形的概念 联系图形的三种变换理解概念和全 等三角形的对应顶点 对应边 对应角和全等三角形的记法 情感 态度与价值观 通过概念的抽象 方法的归纳和规律的总结 感受数学与实际生活的联系 观察 猜想 归纳等活动 中可获得数学发现 在数学活动中培养与人合作的精神与能力 教学重点 全等三角形的性质 教学难点 找全等三角形的对应边 对应角 教学准备 引导性材料 让学生在举出 拿出 剪出图形 实际例子 感悟和感知全等图形 教学过程 1 全等形 下面描述 全等形 的三种不同说法 哪种是恰当的 形状相同的两个图形叫全等形 大小相同的两个图形叫全等形 能够完全重合的两个图形叫全等形 2 全等三角形的概念 表示方法 全等三角形 对应顶点 对应边 对应角 记两个全等三角形时 通常把表示对应顶点的字母写 例如 ABC 和 DEF 全等 记作 3 三角形的全等变换 指导学生用自己制作的两个全等三角形作全等变换 4 全等三角形的性质 全等三角形的 相等 相等 如果 ABC DEF 那么 AB BC AC A B C 知识运用与测试 1 能够 的两个三角形叫全等三角形 互相重合的顶点叫 叫对应边 叫对应角 2 全等三角形的 相等 相等 3 若 AOC BOD 对应边 对应角 若 ABC CDA 对应边 对应角 4 若 ABC DAE 对应边 对应角 5 如图 已知 OCA OBD C 和 A 和 是对应顶点 写出两个三角形中相等的边和角 1 如图 已知 ABC DAE C E BC AE 则两个全等三角形的其他对应边为 和 和 其他对应角为 和 和 2 如图 已知 DAB CBA 对应边 对应角 8 如图 已知 AEC ADB BEC CDB 写出它们的对应边和对应角 3 43 4 全等三角形的判定 一 全等三角形的判定 一 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 1 熟记边角边公理的内容 2 能应用边角边公理证明两个三角形全等 3 通过 边角边 公理的运用 提高学生的逻辑思维能力 4 通过观察几何图形 培养学生的识图能力 5 通过几何证明的教学 使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯 过程与方法 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受 培养学生勇于创新 多方位审视问题的创造技 巧 情感 态度与价值观 通过几何证明的教学 使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯 教学重点 学会运用公理证明两个三角形全等 教学难点 在较复杂的图形中 找出证明两个三角形全等的条件 教学准备 直尺 教学过程 一 公理的发现 1 画图 教师点拨 学生边学边画图 2 实验让学生把所画的 剪下 放在原三角形上 发现什么情况 两个三角形重合 这里一定要让学 生动手操作 3 公理 启发学生发现 总结边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 边角边 或 SAS 作用 是证明两个三角形全等的依据之一 应用格式 强调 1 格式要求 先指出在哪两个三角形中证全等 再按公理顺序列出三个条件 并用括号把它们括在一起 写出结论 2 在应用时 怎样寻找已知条件 已知条件包含两部分 一是已知中给出的 二时图形中隐含的 如 边 公共角 对顶角 邻补角 外角 平角等 所以找条件归结成两句话 已知中找 图形中看 3 平面几何中常要证明角相等和线段相等 其证明常用方法 证角相等 对顶角相等 同角 或 等角 的余角 或补角 相等 两直线平行 同位角相等 内错角相等 角平分线定义 等式 性质 全等三角形的对应角相等地 证线段相等的方法 中点定义 全等三角形的对应边相等 等式性质 4 公理的应用 1 讲解例 1 学生分析完成 教师注重完成后的总结 分析 设问程序 SAS 的三个条件是什么 已知条件给出了几个 由 图形可以得到几个条件 解 略 2 讲解例 2 如图 2 AE CF AD BC AD CB 求证 学生思考 分析 适当点拨 找学生代表口述证明思路 让学生在练习本上定出证明 一名 学生板书 教师强调证明格式 用大括号写出公理的三个条件 最后写出结论 3 43 4 全等三角形的判定 二 全等三角形的判定 二 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 1 熟记角边角公理 角角边推论的内容 2 能应用角边角公理及其推论证明两个三角形全等 3 通过 角边角 公理及其推论的运用 提高学生的逻辑思维能力 4 通过观察几何图形 培养学生的识图能力 5 通过几何证明的教学 使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯 过程与方法 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受 培养学生勇于创新 多方位审视问题的创造技巧 情感 态度与价值观 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受 培养学生勇于创新 多方位审视问题的创造技巧 教学重点 学会运用角边角公理及其推论证明两个三角形全等 教学难点 SAS 公理 ASA 公理和 AAS 推论的综合运用 教学准备 直尺 教学过程 1 新课引入 显示 这样几个问题让学生议论后 他们的答案或许只是一种感觉 行或不行 于是教师要引导学生 抓住问题的本质 分别带去了三角形的几个元素 学生通过观察比较就会容易地得出答案 2 公理的获得 问 恢复后的三角形和原三角形全等 那全等的条件是不是就是带去的元素呢 让学生粗略地概括出角边角的公理 然后和学生一起做实验 根据三角形全等定义对公理进行验证 公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 强调 1 格式要求 先指出在哪两个三角形中证全等 再按公理顺序列出三个条件 并用括号把它们括在一起 写出结 论 2 在应用时 怎样寻找已知条件 已知条件包含两部分 一是已知中给出的 二时图形中隐含的 如公共边 公 共角 对顶角 邻补角 外角 平角等 所以找条件归结成两句话 已知中找 图形中看 3 公理与前面公理 1 的区别与联系 以上几点可运用类比公理 1 的模式进行学习 3 推论的获得 改变公理 2 的条件 有两角和其中一角的对边对应相等这样两个三角形是否全等呢 学生分析讨论 教师巡视 适当参与讨论 4 公理的应用 a 讲解例 1 学生分析完成 教师注重完成后的总结 注意区别 对应边和对边 解 略 b 讲解例 2 学生思考 分析 适当点拨 找学生代表口述证明思路 让学生在练习本上定出证明 一名学 生板书 教师强调证明格式 用大括号写出公理的三个条件 最后写出结论 3 43 4 角边角定理推论角边角定理推论 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 会说出三角形全等判定的角边角及其推论 会应用角边角和角角边证明两个三角形全等 进而证明线段相等或角相等 过程与方法 在帮助学生熟悉角边角的应用中 进一步渗透综合法和分析法的思想方法 从而提高学生演绎推理的条 理性和逻辑性 情感 态度与价值观 感受数学知识体现出现实事物间的联系 体验数学中的化归 转化思想的意义 引导性材料 每个学生用硬纸板任意剪一个三角形 如图把三角形纸板撕成两部分 尝试利用其中的一部分能否再剪 一个与原三角形全等的三角形 教学过程 问题 1 从上面的实践中容易发现利用第 部分可以剪出与原来三角形全等的三 角形 观察 比较第 两部分有什么不同 问题 2 观察第二次剪出来的三角形与原三角形的第 部分 有哪些边和角是重合的 问题 3 从利用第 部分可以剪出与原三角形全等的三角形的事实中 你得到什 么启发 从上面的动手实践中 可以发现两个三角形有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 我们把这个事实作为判 定两个三角形全等的另一个条件 角边角角边角 角边角可以简写成 ASA 问题 4 从利用第 部分不能剪出与原三角形全等的三角形的事实中 你又可以得出什么结论 问题 5 把一个三角分成如图中的两部分 尝试用其中的一部分能否剪出与原三 角形全等的三角形 问题 6 利用中的两部分 都不能剪出与原三角形全等的三角形 你又可以得出 什 么结论 从问题 4 问题 6 的探究中 不难发现 两个三角形中 只有一个元素相等不能 判定两个三角形全等 只有两个元素对应相等也不能判定两个三角形全等 说明 问题 4 5 6 似乎与 角边角 的教学无关 但设计这几个问题有助于让 学生主动发现判定两个三角形全等需要三个元素对应相等 同时也有助于培养学生思维的 批判性 练一练 1 由课本第 36 页练习第 2 题改编 填空完成下列分析和证明 已知 如图中 1 2 C D 求证 AC AD 分析 要证 AC AD 只要证 由已知条件不能直接推证这两个三角形全等 还需 由已知 1 2 C D 可知 180 180 即 于 是可以根据 判定这两个三角形全等 由学生完成证明 由于两个三角形中 如果有两个角对应相等 由三角形内角和定理 可以推出第三对角也相等 由此可得 角边角 的推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS 2 由课本练习第 1 题改编 已知 如图中 1 2 3 4 求证 AC AD 证明 1 3 4 已知 180 180 即 在 ABC 和 ABD 中 ABC ABD ASA 2 3 1 4 2 又 1 2 在 ABC 和 ABD 中 ABC ABD AAS 例题解析 例 即课本例 1 小结 1 两个三角形全等的判定依据有 全等三角形定义 SAS ASA AAS 2 判定两个三角形全等 要有三个元素对应相等 3 用角边角 角角边判定两个三角形全等时 要十分注意边和角 对应相等 而不是 分别相等 也就是两个三角形中相等的边和角 必须有相同的顺序 比如图 3 6 4 中 AD BC DE BC 于是 1 B 在 ABC 和 ADE 中 虽有 A A AD BC 1 B 但 是 ABC 与 ADE 不全等 三角形全等的判定 三 三角形全等的判定 三 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 掌握已知三边画三角形的方法 掌握边边边公理 能用边边边公理证明两个三角形全等 会添加较明显的辅助线 通过公理的初步应用 初步培养学生的逻辑推理能力 过程与方法 在公理的形成过程中渗透 实验观察归纳 情感态度与价值观 通过变式训练培养学生 举一反三 的学习习惯 教学重点 SSS 公理 灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等 教学难点 如何根据题目条件和求证的结论 灵活地选择四种判定方法中最适当的方法判定两个三角形全等 教学过程 一 新课引入 问题 有一块三角形玻璃窗户破碎了 要去配一块新的 你最少要对窗框测量哪几个数据 如果你手头没有测量角度 的仪器 只有尺子 你能保证新配的玻璃恰好不大不小吗 这个问题让学生议论后回答 他们的答案或许只是一种感觉 于是教师要引导学生 抓住问题的本质 三角形的三个 元素 三条边 二 公理的获得 问 通过上面问题的分析 满足什么条件的两个三角形全等 让学生粗略地概括出边边边的公理 然后和学生一起画图做实验 根据三角形全等定义对公理进行验证 这里用尺 规画图法 公理 有三边对应相等的两个三角形全等 公理 有三边对应相等的两个三角形全等 强调说明 1 格式要求 先指出在哪两个三角形中证全等 再按公理顺序列出三个条件 并用括号把它们括在一起 写出结 论 2 在应用时 怎样寻找已知条件 已知条件包含两部分 一是已知中给出的 二时图形中隐含的 如公共边 3 此公理与前面学过的公理区别与联系 4 三角形的稳定性 演示三角形的稳定性与四边形的不稳定性 在演示中 其实可以去掉组成三角形的一根小木 条 以显示三角形条件不可减少 这也为下面总结 三角形全等需要有 3 全独立的条件 做好了准备 进行了沟通 1 说明 AAA 与 SSA 不能判定三角形全等 三 公理的应用 1 讲解例 1 学生分析完成 教师注重完成后的点评 例 1 如图 ABC 是一个钢架 AB ACAD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架 求证 AD BC 分析 设问程序 a 要证 AD BC 只要证什么 b 要证 1 只要证什么 c 要证 1 2 只要证什么 d ABD 和 ACD 全等的条件具备吗 依据是什么 证明 略 全等三角形判定定理精讲精练全等三角形判定定理精讲精练 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 全面复习全等三角形及有关性质 掌握三角形全等的判定的四个方法 能综合运用各种判定方法来证 明线段和角相等 掌握常规的作辅助线的方法 教学重点 综合运用各种判定方法来证明线段和角相等 教学难点 常规的作辅助线的方法 教学过程 一 引入新课复习前面所学内容 1 三角形三边关系定理 2 三角形的内角和及推论 3 三角形的外角和 4 全等三角形的性质 5 全等三角形对应元素的寻找方法 6 全等三角形的判定 四种方法 7 注意有边边角和角角角是不能用的 二 讲解新课 全等三角形的判定了用定义 实质上只需要三个条件 注意至少有一个条件是边 就能判定两个三角形全等 判 定两个三角形全等在几何证时中常常不是结论 而通常是通过证明两个三角形全等 证明两条线段相等或两个角相等 这恰是判定两个三角形全等的目的所在 三 课前练习 1 下列命题中 不正确的是 A 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B 面积相等的两个直角三角形全等 C 有一边相等的两个等边三角形全等 D 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 2 如图 在 ABC 中 AB AC D E F 依次是各边的中点 AD BE CF 相交于 G 那么图中的全等三角形共有 A 5 对 B 6 对 C 7 对 D 8 对 3 已知 如图 ABC 中 C 90 AC BC AD 平分 CAB 交 BC 于 D DE AB 于 E 且 AB 6CM 则 DEB 的周长为 A 4 B 6 C 10 D 以上全不对 二 例题解析 例 1 已知 如图 在 ABC 中 AD BC 于 D BE AC 于 E AD 与 BE 相交于 H 且 BH AC 求 HCD 的 度数 A B C D E H A B D C E 1 2 例 2 已知 如图 四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于 E 且 B D 180 求证 AE AD BD 例 3 如图 在 ABC 中 ACB 90 BAC 30 AD CE 分别为 ABC 的角平分线 AD CE 交于点 F 求证 EF DF 直角三角形的性质 一 直角三角形的性质 一 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 掌握 直角三角形的两个锐角互余 定理 巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法 过程与方法 情感态度与价值观 教学重点 直角三角形斜边上的中线性质定理 教学难点 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法 教学过程 一 引入 复习提问 1 什么叫直角三角形 2 直角三角形是一类特殊的三角形 除了具备三角形的性质外 还具备哪些性质 二 新授 一 直角三角形性质定理 1 请学生看图形 提问 A 与 B 有何关系 为什么 归纳小结 定理 1 直角三角形的两个锐角互余 巩固练习 练习 1 1 在直角三角形中 有一个锐角为 520 那么另一个锐角度数 2 在 Rt ABC 中 C 900 A B 300 那么 A B 练习 2 如图 在 ABC 中 ACB 900 CD 是斜边 AB 上的高 那么 1 与 B 互余的角有 2 与 A 相等的角有 3 与 B 相等的角有 二 直角三角形性质定理 2 实验操作 要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 l 量一量斜边 AB 的长度 2 找到斜边的中点 用字母 D 表示 3 画出斜边上的中线 4 量一量斜边上的中线的长度 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系 三 巩固训练 练习 3 在 ABC 中 ACB 90 CE 是 AB 边上的中线 那么与 CE 相等的线段有 与 A 相等的角有 若 A 35 那么 ECB 练习 4 已知 ABC ADC 90 E 是 AC 中点 求证 1 ED EB 2 EBD EDB 1 图中有哪些等腰三角形 练习 6 已知 在 ABC 中 BD CE 分别是边 AC AB 上的高 M 是 BC 的中点 如 果连接 DE 取 DE 的中点 O 那么 MO 与 DE 有什么样的关系存在 四 小结 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理 直角三角形的两个锐角互余 五 布置作业 直角三角形的性质直角三角形的性质 二 二 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 掌握 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 定理以及应用 巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法 过程与方法 通过图形的变换 引导学生发现并提出新问题 进行类比联想 促进学生的思维向多层次多方位发散 培养学生的创新精神和创造能力 情感态度与价值观 从生活的实际问题出发 引发学生学习数学的兴趣 从而培养学生发现问题和解决问题能力 教学重点 与难点 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法 教学过程 一 引入 如果你是设计师 提出问题 2008 年将建造一个地铁站 设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点 45 路 13 路 23 路的距离相等的位置 而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形 如果你是设计师你会把 地铁站的出口建造在哪里 通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系 引发学生的学习兴趣 动一动 想一想 猜一猜 实验操作 请同学们分小组在模型上找出那个点 并说出它的位置 请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求 通过以上实验请猜想一下 直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系 通过动手操作找到那个点 通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系 二 新授 1 提出命题 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题 教师引导 学生讨论 共同完成证明过程 2 应用定理 已知 如图 在 ABC 中 B C AD 是 BAC 的平分线 E F 分别 AB AC 的中点 求证 DE DF 分析 可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线 再证两斜边相等即可证得 上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合 现在我们将图形变化使斜边重合 我们可以得到哪些结论 3 练习变式 已知 在 ABC 中 BD CE 分别是边 AC AB 上的高 F 是 BC 的中点 求证 FD FE 4 练习引申 1 若连接 DE 能得出什么结论 2 若 O 是 DE 的中点 则 MO 与 DE 存在什么结论吗 上题两个直角三角形共用一条斜边 两个直角三角形位于斜边的同侧 如果共用一条斜边 两个直角三角形位于斜边 的两侧我们又会有哪些结论 F F E E D D C C B B A A E E D D C C B B A A 5 已知 ABC ADC 90 E 是 AC 中点 你能得到什么结论 三 小结 通过今天的学习有哪些收获 四 作业 直角三角形全等直角三角形全等 判定定理判定定理 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 1 使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定 2 使学生掌握 斜边 直角边 公理 并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角 三角形全等 过程与方法 指导学生自己动手 发现问题 探索解决问题 发现探索法 情感价值态度观 由于直角三角形是特殊的三角形 因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质 因为这是第一次涉及特殊三角 形的特殊性 所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想 从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法 教学重点和难点 1 重点 斜边 直角边 公理的掌握 2 难点 斜边 直角边 公理的灵活运用 教学手段 剪好的三角形硬纸片若干个 教学过程 一 复习提问 三角形全等的判定方法有哪几种 三角形按角的分类 二 引入新课 前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法 SAS ASA AAS SSS 我们也知道 有两边和其中一边的 对角对应相等的两个三角形不一定全等 这些结论适用于一般三角形 我们在三角形分类时 还学过了一些特殊三 角形 如直角三角形 特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢 我们知道 斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形 可以根据 ASA 或 AAS 判定它们全等 两对直角 边对应相等的两个直角三角形 可以根据 SAS 判定它们全等 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等 边边角 这两个三角形是否能全等呢 可作为预习内容 如图 3 43 在 ABC 与 A B C 中 若 AB A B AC A C C C Rt 这 时 Rt ABC 与 Rt A B C 是否全等 研究这个问题 我们先做一个实验 O O F F E E D D C C B B A A 把 Rt ABC 与 Rt A B C 拼合在一起 教具演示 如图 3 44 因为 ACB A C B Rt 所以 B C C B 三点在一条直线上 因此 ABB 是一个等腰三角形 于是利用 SSS 可证三角形全 等 从而得到 B B 根据 AAS 公理可知 Rt ABC Rt A B C 两位同学比较一下 看看两人剪下的 Rt 是否可以完全重合 从而引出直角三角形全等判定公理 HL 公 理 三 讲解新课 1 斜边 直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可以简写成 斜边 直角边 或 HL 要向学生说明 斜边 直角边 公理的条件 就是两边及其中一边的对角对应相等 但所对的角是直角 这是 Rt 的 特有物质所决定的 对于一般三角形并不成立 这就是说 Rt 是特殊的三角形 因而它还具备一般三角形所没有的 特殊性质 以后我们还会遇到它的其它特殊性质 这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理 其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理 2 练习 1 具有下列条件的 Rt ABC 与 Rt A B C 其中 C C Rt 是否全等 如果全等在 里填写理由 如果不全等在 里打 1 AC A C A A 2 AC A C BC B C 3 A A B B 4 AB A B B B 5 AC A C AB A B 如图 3 46 已知 ACB BDA Rt 若要使 ACB BDA 还需要什么条件 把它们分别写出来 有几种不同的 方法就写几种 理由 设计本练习要求学生执果索因 缺什么 找什么 这即可帮助学生熟悉基本定理 又是一种逆向思维的训练 例 1 已知 如图 3 47 在 ABC 和 A B C 中 CD C D 分别是高 并且 AC A C CD C D ACB A C B 求证 ABC A B C 分析 要证明 ABC A B C 还缺条件 或证出 A A 或 B B 或再证明边 BC B C 观察图形 再看已知中还有哪些条件可以利用 容易发现高 CD 和 C D 可以利用 利用它可以证明 ACD A C D 或 BCD B C D 从而得到 A A 或 B B BC B C 找出 书写顺序 证明 略 小结 由于直角三角形是特殊三角形 因而不仅可以应 用判定一般三角形全等的四种方法 还可以应用 斜边 直角边 公理判定两个直角三角形全等 HL 公理只 能用于判定直角三角形全等 不能用于判定一般三角形 全等 所以判定两个直角三角形的方法有五种 SAS ASA AAS SSS LH 四 练习 练习 1 2 3 五 作业 六 板书设计 直角三角形判定直角三角形判定 二二 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 探索两个直角三角形全等的条件 掌握两个直角三角形全等的条件 HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 了解角平分线的性质 角的内部 到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上 在这个角 的平分线上 及其简单应用 过程与方法 经历在上节课的基础上 从一般到特殊的思维 再经历逆向思维 完成对知识的理解过程 通过应用 达到掌握 情感态度与价值观 体会从 一般到特殊 的思维方法和 逆向思维 的方法 可获得发现 培养思维能力 教学重点 直角三角形的判定方法 HL 教学难点 直角三角形的判定方法 HL 的说理过程 教学过程 一 引课 1 如图 AD 是 ABC 的高 AD 把 ABC 分成两个直角三角形 这两个直角三角全等吗 问题 1 图中的两个直角三角形有可能全等吗 什么情况下这两个直角三角形全等 由于学生对等腰三角形有初步的了解 因此教学中 学生根据图形的直观 认为这两个直角三角形全等的 可能情况有四种 BD CD BAD CAD B C AB AC 问题 2 你能说出上述四种可能情况的判定依据吗 说明 1 从问题 2 的讨论中 可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时 直角相等是一个很重要 的隐含条件 同时由于有一个直角相等的条件 所以判定两个直角三角形全等只要两个条件 2 当 AB AC 时 从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等 这时两个直角三角形对应相等的 元素是 边边角 从而有利于学生形成新的认知的冲突 在上学期中我们知道 已知两边及其一边的 对角 画出了两个形状 大小都不同的三角形 因此得到 有两边及其一边的对角对应相等 这两个三角 形不一定全等 的结论 那么当其中一边的对角是特殊的直角时 这个结论能成立吗 二 新授 把两个直角三角形按如图摆放 已知 在 ABC 与 AB C 中 CB AB CB AB B C B C 请说明 BAC B AC 请学生自行思考解决证明过程 延长 AB 和 AB 归纳出结论 角的内部 到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上 板书 四巩固练习 课内练习 1 作业题 T4 到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 角平分线上的点到两边的距离相等 等腰 三角形的判定的综合应用 五 变式训练 变式一请学生根据图形出一道证明题 然后不改变条件 让学生探究还可以证明什么 四 巩固练习 课内练习 2 3 五小结 l 直角三角形是特殊的三角形 所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法 还有直角三角形特殊 的 判定方法 HL 公理 2 两个直角三角形中 由于有直角相等的条件 所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件 两个 条件占至少有一个条件是一对边相等 3 角的内部 到两边距离相等的点在这个角的平分线上 六 布置作业 勾股定理勾股定理 编写时间 执行时间 总 序 第 个教案 教学目标 知识与技能 1 掌握勾股定理 2 学会利用勾股定理进行计算 证明与作图 3 了解有关勾股定理的历史 4 在定理的证明中培养学生的拼图能力 5 通过问题的解决 提高学生的运算能力 5 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受 6 通过有关勾股定理的历史讲解 对学生进行德育教育 2 过程与方法 1 通过问题的解决 提高学生的运算能力 2 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受 3 情感态度与价值观 通过有关勾股定理的历史讲解 对学生进行德育教育 教学重点 勾股定理及其应用 教学难点 通过有关勾股定理的历史讲解 对学生进行德育教育 教学过程 1 新课背景知识复习 1 三角形的三边关系 2 问题 直角三角形的三边关系 除了满足一般关系外 还有另外的特殊关系吗 定理的获得 让学生用文字语言将上述问题表述出来 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 强调说明 1 勾 最短的边 股 较长的直角边 弦 斜边 2 学生根据上述学习 提出自己的问题 待定 3 定理的证明方法 方法一 将四个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的正方形 方法二 将四个全等的直角三角形拼成如图 2 所示的正方形 方法三 总统 法 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形 以上证明方法都由学生先分组讨论获得 教师只做指导 最后总结说明 定理的应用 例 1 已知 如图 在 ABC 中 ACB AB 5cm BC 3cm CD AB 于 D 求 CD 的长 解 ABC 是直角三角形 AB 5 BC 3 由勾股定理有 又 2 C CD 的长是 2 4cm 例 2如图 ABC 中 AB AC BAC D 是 BC 上任一点 求证 证法一 过点 A 作 AE BC 于 E 则在 Rt ADE 中 又 AB AC BAC AE BE CE 即 证法二 过点 D 作 DE AB 于 E DF AC 于 F 则 DE AC DF AB 又 AB AC BAC EB ED FD FC AE 在 Rt EBD 和 Rt FDC 中 在 Rt AED 中 5 课堂小结 1 勾股定理的内容 2 勾股定理的作用 已知直角三角形的两边求第三边 已知直角三角形的一边 求另两边的关系 勾股定理的逆定理 编写时间 执行时间 总 序 教学目标 知识与技能 1 理解并会证明勾股定理的逆定理 2 会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形 3 知道什么叫勾股数 记住一些常见的勾股数 过程与方法 1 通过勾股定理与其逆定理的比较 提高学生的辨析能力 2 通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用 提高综合运用知识的能力 情感 态度与价值观 1 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受 2 通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征 教学重点 勾股定理的逆定理及其应用 教学难点 勾股定理的逆定理及其应用 教学过程 一 新课背景知识复习 勾股定理的内容 文字叙述 符号表述 图形 二 逆定理的获得 1 让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来 2 学生自己证明 逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有下面关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 强调说明 1 勾股定理及其逆定理的区别 2 勾股定理是直角三角形的性质定理 逆定理是直角三角形的判定定理 3 小结 判定直角三角形的方法 角为 垂直 勾股定理的逆定理 4 定理的应用 例 1 如果