直线、平面平行的判定及其性质

2 2 直线 平面平行的判定与性质直线 平面平行的判定与性质 知识点一知识点一 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 判定定理判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 图形语言 符号语言 若a b 则 a ba 定理剖析 1 用该定理判断直线和平面平行时 必须具备三个条件 直线 a 在平面外 即 直线 b 在平面内 即 两直线 a b 平行 即 a b a b 2 这个定理告诉我们 如果要证明一条直线与一个平面平行 那么只需在这个平面内找出 一条直线与已知直线平行就可判定这条直线必和这个平面平行 即 线线平行则线面平行 典型例题典型例题 例题 1 判断下列命题是否正确 1 a b 则 a b 1 2 若 E F 分别为 ABC 中 AB BC 的中 点 则 EF 与经过 AC 边的所有的平面平行 2 3 若 a b 为异面直线 则 b a 4 若 a b 为异面直线 则 a b 解析 解析 1 错 如果 a 也在平面内 则 a 与不是平行而是在内 2 错 如果 过 AC 的平面是平面 ABC 则 EF平面 ABC 3 错 b 可能与平面相交 4 正 确 例题 2 如图 2 2 1 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为 D D1的中点 试判断 BD1 与平面 AEC 的位置关系 练习 1 判断下列命题是否正确 1 过平面外一点有且只有一条直线与已 知平面平行 2 过直线外一点有且只有一个平面与已 知直线平行 3 平行于同一条直线的两个平面平行 4 平行于同一平面的两个平面平行 练习 2 如图 2 2 2 在底面为平行四边 形的四棱锥 P ABCD 中 E 是 PC 的中点 求证 PA 平面 BDE 图 2 2 2 考点解读考点解读 1 理解并掌握直线与平面平行 平面与平面平行的判定方法 2 会用直线与平面平行 平面与平面平行的判定定理和性质定理解决相关问题 3 体会线线平行 线面平行 面面平行之间的相互转化 加深对转化思想的理解 a b E D C B B1 D1 C1 A1 A O E D C B B1 D1 C1 A1 A E A D C B P 图 2 2 1 思维启迪 在平面 AEC 内找一条直线与 BD1平行 如果题目中缺少一条对角线 经 常连接对角线产生中点并与题目中给定的 中点连接构成中位线产生平行 解 BD1 平面 AEC 连接 BD 与 AC 相交于点 O 则 O 为线段 BD 的中点 连接 OE E 为线段 DD1的中点 OE D1B OE平面 AEC D1B平面 AEC BD1 平面 AEC 例题 3 如图 2 2 3 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD AB 2CD E 为 PB 的中点 求证 CE 平面 PAD 图 2 2 3 思维启迪 题目中给定中点时 可以利 用中位线构造平行 再利用平行四边形对 边平行在平面 PAD 中找到与 CE 平行的直 线 证明 作 PA 中点 M 连接 ME MD E 是 PB 的中点 MEAB 2 1 AB CD AB 2CD MECD 四边形 MECD 为平行四边形 CE MD MD平面 PAD CE平面 PAD CE 平面 PAD 练习 3 如图 2 2 4 在三棱柱 ABC A1B1C1中 M N 分别是 BC 和 A1B1的中点 求证 MN 平面 AA1C1C 图 2 2 4 C ME AB D P C E AB D P N M A1 C1 B C A B1 方法总结方法总结 证明线线平行的方法证明线线平行的方法 1 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边长的一半 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 且等于两底边和的一半 2 ABC 中 若 则 ADE ABC ADE ABC AC AE AB AD 则 DE BC 若则即 EC AE DB AD 11 AE EC AD DB AE AC AD AB ADE ABC ADE ACD 则 DE BC 上述性质可简述为若三角形对 应边成比例 则可以得到相应的平行 3 平行四边形对边平行 4 平行于同一直线的两直线平行 E B C