第七讲_一元二次方程根的分布打印

1 第七讲第七讲 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 一 知识要点一 知识要点 二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的0 2 cbxaxcbxaxy 2 x 横坐标 所以研究方程的实根的情况 可从的图象上进行研0 2 cbxaxcbxaxy 2 究 若在内研究方程的实根情况 只需考察函数与 0 2 cbxaxcbxaxy 2 轴交点个数及交点横坐标的符号 根据判别式以及韦达定理 由的系数可判xcbxaxy 2 断出的符号 从而判断出实根的情况 2121 xxxx 若在区间内研究二次方程 则需由二次函数图象与区间关系来确 nm0 2 cbxax 定 1 二次方程有且只有一个实根属于 二次方程有且只有一个实根属于的充要条件的充要条件 nm 若其中一个是方程的根 则由韦达定理可求出另一根 nm 若不是二次方程的根 二次函数的图象有以下几种nm 0 2 cbxaxcbxaxxf 2 可能 1 2 21 0 xnxma nxmxa 21 0 3 4 21 0 xnxma nxmxa 21 0 由图象可以看出 在处的值与在处的值符号总是相反 即 xfmx mfnx nf 反之 若 的图象的相对位置只能是图中四种情况之0 nfmf0 nfmf xf 一 所以得出结论 若都不是方程的根 记 则有且nm 0 0 2 acbxaxcbxaxxf 2 0 xf 只有一个实根属于的充要条件是 nm0 nfmf x y O m n 1 x 2 x x y O m n 1 x 2 x x y O m n 1 x 2 x x y O m n 1 x 2 x 2 2 二次方程两个根都属于 二次方程两个根都属于的充要条件的充要条件 nm 方程的两个实根都属于 则二次函数的 0 0 2 acbcax nmcbxaxxf 2 图象与轴有两个交点或相切于点 且两个交点或切点的横坐标都大于小于 它的图象有xmn 以下几种情形 1 2 nxxma 21 0nxxma 21 0 3 4 nxxma 21 0nxxma 21 0 由此可得出结论 方程的两个实根都属于区间的充要条件是 0 0 2 acbxax nm n a b m naf maf acb 2 0 0 04 2 这里 cbxaxxf 2 同理可得出 3 二次方程 二次方程的两个实根分别在区间的两个实根分别在区间的两侧 一根小于的两侧 一根小于 另一根大 另一根大0 2 cbxax nmm 于于 的充要条件是 的充要条件是 n 0 0 naf maf 这里这里 cbxaxxf 2 4 二次方程 二次方程的两个实根都在的两个实根都在的右侧的充要条件是 的右侧的充要条件是 0 2 cbxax nm x y O mn 1 x 2 xx y O mn 21 xx x y O mn 1 x 2 x x y Omn 21 xx 3 n a b naf acb 2 0 04 2 二次方程二次方程的两个实根都在的两个实根都在的左侧 两根都小于的左侧 两根都小于 的充要条件是 的充要条件是 0 2 cbxax nmm m a b maf acb 2 0 04 2 这里这里 cbxaxxf 2 二 例题选讲二 例题选讲 例 设关于的方程R x bb xx 024 1 1 若方程有实数解 求实数 b 的取值范围 2 当方程有实数解时 讨论方程实根的个数 并求出方程的解 例 已知二次函数 f x ax2 bx c a 0 若方程 f x x 无实根 求证 方程 f f x x 也无实根 例 设 若 求实数的取值范围 2 4 A 2 40 Bx xax BA a 4 变式 已知方程 x2 3m 1 x 3m 2 0 的两个根都属于 3 3 且其中至少有一个根小于 1 求 m 的取值范围 例 已知方程有两个负根 求的取值范围 0 32 1 24 2 Rmmxmx m 例 求实数的范围 使关于的方程 mx062 1 2 2 mxmx 有两个实根 且一个比 大 一个比 小 有两个实根 且满足 410 至少有一个正根 5 例 已知关于 x 的二次方程 x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求 m 的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求 m 的范围 变式 已知方程 2x2 2 2a 1 x a 2 0 的两个根在 3 与 3 之间 求 a 的取值范围 例 已知二次方程的两个根都小于 1 求的取值范围 02 12 2 mxmmxm 6 变式 如果二次函数 y mx2 m 3 x 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧 试求 m 的取值范围 例 已知是实数 函数 如果函数在区间上有零a 2 223f xaxxa yf x 11 点 求的取值范围 a 二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况 在其它的一些场合下 也可以适当运用 下面再举两个例子 例 求函数 y 1 x0 求证 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 m r m q m p 12 1 pf 0 1 m m 2 方程 f x 0 在 0 1 内恒有解 9 参考答案参考答案 例 分析 可用换元法 设 原方程化为二次方程 但要注意 t x 202 2 btt0 t 故原方程有解并不等价于方程有解 而等价于方程在内02 2 btt02 2 btt 0 有解 另外 方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题 它的原理是 若关于 的方程有解 则的值域 x xfa xfa 解 1 原方程为 1 24 xx b 11 12 22 2 24 221 xxxxx 时方程有实数解 1 b当 2 当时 方程有唯一解 1 b12 x 0 x 当时 1 bbb xx 1121 12 2 的解为 bb xx 112 011 02 11 log2bx 令 0111011 bbb 的解为 bb x 112 01时当 11 log2bx 综合 得 1 当时原方程有两解 01 b 11 log2bx 2 当时 原方程有唯一解 10 bb或 11 log2bx 3 当时 原方程无解 1 b 例 证明 方程 f x x 即 f x x ax2 b 1 x c 0 无实根 f x x 仍是二次函数 f x x 0 仍是 二次方程 它无实根即 b 1 2 4ac 0 若 a 0 则函数 y f x x 的图象在 x 轴上方 y 0 即 f x x 0 恒成立 即 f x x 对任意实数 x 恒成立 对 f x 有 f f x f x x 恒成立 f f x x 无实根 若 a 0 函数 y f x x 的图象在 x 轴下方 y 0 即 f x x 0 恒成立 对任意实数 x f x 0 恒成立 对实数 f x 有 f f x f x x 恒成立 10 f f x x 无实根 综上可知 当 f x x 无实根时 方程 f f x x 也无实根 例 分析 观察到方程有两个实根 故此题不妨用求根公式来解决 2 40 xax 解 因有两个实根 2 40 xax 2 1 4 24 aa x 2 2 4 24 aa x 故等价于且 即BA 1 2x 2 4x 且 2 42 24 aa 2 44 24 aa 解之得 03a 变式 解 原方程即为 x 1 x 3m 2 0 所以方程两根分别为 1 2 3m 而 1 在 3 1 上 则 由题意 另一根满足 3 2 3m 3 m 1 3 5 3 例 解 依题意有 032 0 1 0 32 44 1 4 2 m m mm 11 m 例 解 设 62 1 2 2 mxmxxfy 依题意有 即 得 0 2 f062 1 44 mm1 m 依题意有 解得 01410 4 054 1 062 0 mf mf mf 4 5 5 7 m 方程至少有一个正根 则有三种可能 有两个正根 此时可得 即 0 2 1 2 0 0 0 m f 1 3 51 m m mm或 13 m 有一个正根 一个负根 此时可得 得 0 0 f3 m 有一个正根 另一根为 此时可得 0 1 2 026 m m 3 m 综上所述 得 1 m 例 解 1 条件说明抛物线 f x x2 2mx 2m 1 与 x 轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 则 11 6 5 2 1 2 1 056 2 024 1 02 1 012 0 m m Rm m mf mf f mf 2 1 6 5 m 实数 m 的范围是 2 1 6 5 2 据抛物线与 x 轴交点落在区间 0 1 内 列不等式组 10 0 0 1 0 0 m f f m 1 01 2121 2 1 2 1 m mm m m 或 1 22 实数 m 的范围是 21 2 1 变式 解 设 f x 2x2 2 2a 1 x a 2 则原方程两根都属于 3 3 的充要条件为 m 或 m0 1 当 m 0 时 二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧 符合题意 2 当 m 0 时 则解得 0 m 1 0 3 0 m m 综上所述 m 的取值范围是 m m 1 且 m 0 例 解析 1 函数在区间 1 1 上有零点 即方程 0 在 1 1 yf x 2 223f xaxxa 上有解 a 0 时 不符合题意 所以 a 0 方程 f x 0 在 1 1 上有解或 1 1 0ff 13 或或或 a 1 1 0 1 0 48 3 0 1 1 1 af af aa a 15a 37 2 a 5a 37 2 a 所以实数 a 的取值范围是或 a 1 37 2 a 解析 2 a 0 时 不符合题意 所以 a 0 又 0 在 1 1 上有解 在 1 1 上有解 2 223f xaxxa 2 21 32xax 在 1 1 上有解 问题转化为求函数 1 1 上的值域 设 t 3 2x x 2 121 32 x ax 2 21 32 x y x 1 1 则 t 1 5 23xt 2 1 3 217 6 22 t yt tt 设 时 此函数 g t 单调递减 时 2 2 77 t g ttg t tt 1 7 t 0g t 7 5 t 0 此函数 g t 单调递增 y 的取值范围是 0 在 1 1 g t 73 1 2 223f xaxxa 上有解 或 1 a 73 1 1a 37 2 a 例 解 原函数即为 y x2 3x 2 x 1 yx2 3y 1 x 2y 1 0 由题意 关于的方程 在 1 2 上有实根 x 易知 y 0 令 f x yx2 3y 1 x 2y 1 则 f 1 2 0 f 2 3 0 所以方程 在 1 2 上有实根 当且仅当 解得 y 5 2 6 原函数的值域为 5 2 6 例 10 解 以 0 0 1 1 为端点的线段所在直线为 y x 代入抛物线方程得 x 2x2 mx m 即 2x2 m 1 x m 0 由题意 方程 在区间 0 1 上有实根 令 f x 2x2 m 1 x m 则当且仅当 f 0 f 1 0 或 m 0 或 m 3 2且 m 0 m2 6m 1 0 1 m 0 2 故 m 的取值范围为 0 0 3 2 2 巩固练习巩固练习 1 解 易知 x1 1 是方程的一个根 则另一根为 x2 所以原方程有且仅有一个实 m 4 3m 1 根属于 1 1 当且仅当 1 1 即 m m 的取值范围为 m 4 3m 1 3 2 5 4 3 2 5 4 2 解 令 当时 x t2 1 x 2 0 t 由于是一一映射的函数 所以在上有两个值 则 在上有两个对应的 x t2 x 1 t 2 0 值 因而方程在 0 2 上有两个不等实根 其充要条件为0 12 2 mtmmt 14 4 2 2 12 0 3 0 29 2 0 1 04 12 2 22 m m mm m mm 由 1 得 4 1 m 由 2 得 0 m 由 3 得 或 0 m 9 2 m 由 4 得 2 1 6 1 m 即的取值范围为 4 1 9 2 mm 4 1 9 2 3 解 设 f x 由于 f x 是二次函数 所以 2m 1 0 即 m 1 2 12 2 mmxxm 1 2 f x 0 在 1 2 上有且仅有一个实根当且仅当 f 1 f 2 0 5m 3 m 2 0 m 2 3 5 综上得 m 的取值范围是 2 3 5 1 2 1 2 4 令二次函数 f x m 1 x2 3m 4 x m 1 则 m 1 0 即 m 1 f x 0 的两个实根均在 1 1 上 当且仅当 0 1 1 0 1 1 1 22 43 1 0 1 1 4 43 2 fm fm m m mmm 5 4 5 11212 5 11212 4 mm或 m 的取值范围为 5 4 5 11212 5 11212 4 mmmm 5 解 令 f x x2 a 1 x 1 则满足题意当且仅当 解得 a0 所以 pf 0 1 m m 2 由题意 得 f 0 r f 1 p q r 当 p 0 时 由 1 知 f 0 1 m m 若 r 0 则 f 0 0 又 f 0