二次函数学案

1 第第 1 课时课时 二次函数的概念二次函数的概念 学习目标学习目标 1 经历探索 分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程 进一步体验如何用数学的方法描述 变量之间的数量关系 2 探索并归纳二次函数的定义 3 能够表示简单变量之间的二次函数关系 学习重点学习重点 掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型 课时类型课时类型 概念课 学习过程学习过程 一 学习准备一 学习准备 1 函数的定义 在某个变化过程中 有两个变量 x 和 y 如果给定一个 x 值 相应地就确定了一个 y 值 那么我 们称 是 的函数 其中 是自变量 是因变量 2 一次函数的关系式为 y 其中 k b 是常数 且 k 0 正比例函数的关系式为 y 其中 k 是 的常数 反比例函数的关系式为 y k 是 的常数 二 解读教材二 解读教材 数学知识源于生活数学知识源于生活 3 某果园有 100 棵橙子树 每一棵树平均结 600 个橙子 现准备多种一些橙子树以提高产量 但是如果多种树 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少 根据经验估计 每多种一棵树 平均每棵树就会少结 5 个 橙子 假设果园增种 x 棵橙子树 那么果园共有 棵橙子树 这时平均每棵树结 个橙 子 如果果园橙子的总产量为 y 个 那么 y 4 如果你到银行存款 100 元 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x 一年到期后 银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存 那么你能写出两年后的本息和 y 元 的表达式 不考虑利息税 吗 5 能否根据刚才推导出的式子 y 5x2 100 x 60000 和 y 100 x2 200 x 100 猜想出二次函数的定义及一般形式吗 一般地 形如一般地 形如 y ax2 bx c a b c 是常数 是常数 a 0 的函数叫做的函数叫做 x 的二次函数 的二次函数 它就是二次函数的一般形式 理 解并熟记几遍 例 1 下列函数中 哪些是二次函数 1 2 3 2 1 xy 2 1 1 2 x y 3 xy222 4 2 51tts 5 6 22 3 xxy 2 10 rs 注意 注意 1 1 关于关于 x x 的代数式一定是整的代数式一定是整 式 其中式 其中 a a b b c c 为常数且为常数且 a 0a 0 2 2 等式的右边最高次数为等式的右边最高次数为 2 2 可以 可以 没有一次项和常数项 但不能没有没有一次项和常数项 但不能没有 二次项哟 二次项哟 2 即时练习即时练习 下列函数中 哪些是二次函数 1 2 xy 2 25 2 1 32 xxy 3 1 xxy 4 113 2 xy 5 caxy 2 6 1 2 xs 三 挖掘教材三 挖掘教材 6 对二次函数定义的深刻理解及运用 对二次函数定义的深刻理解及运用 例 2 若函数 是二次函数 求 k 的值 1 23 2 kxxy kk 分析 分析 x 的最高次数等于 2 即 k2 3k 2 2 求出 k 的值即可 解 即时练习即时练习 若函数是二次函数 则 k 的值为 1 3 23 2 kxxky kk 四 反思小结四 反思小结 1 我们通过观察 思考 合作 交流 归纳出二次函数的概念 并从中体会函数的建模思想 2 定义 一般地 形如一般地 形如 y ax bx c a b c 是常数 是常数 a 0 的函数叫做的函数叫做 x 的二次函数 的二次函数 3 二次函数 y ax bx c a b c 是常数 a 0 的几种不同表示形式 1 y ax a 0 2 y ax c a 0 且 c 0 3 y ax bx a 0 且 b 0 4 4 二次函数定义的核心是关键字二次函数定义的核心是关键字 二二 即必须满足自变量最高次项的指数为 即必须满足自变量最高次项的指数为 且 且 项系数不为项系数不为 的整式 的整式 达标测评达标测评 1 下列函数不属于二次函数的是 A y x 1 x 2 B y 2 1 x 1 2 C y 2 x 3 2 2x2 D y 1 3x2 2 在边长为 6 cm 的正方形中间剪去一个边长为 x cm x0 y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧 x0 x0 y ax2 a0 时 y 随 x 的增大而增大 求 m 的值 10 2 mm mxy 分析 函数的图象是抛物线 则它是二次函数 所以 m2 m 10 2 且 m 0 10 2 mm mxy 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 所以 m 0 解 由题意得 解得 0 210 2 m mm 0 43 m mm或 又 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 所以 m 0 m 3 10 已知抛物线 y ax2经过点 A 2 8 1 求此抛物线的函数解析式 2 判断点 B 1 4 是否在此抛物线上 3 求出此抛物线上纵坐标为 6 的点的坐标 四 反思小结四 反思小结 二次函数的 y ax2 a 0 的图象与性质 五个方面理解 达标测评达标测评 1 抛物线 y 2x2的顶点坐标是 对称轴是 在 侧 y 随着 x 的增大 而增大 在 侧 y 随着 x 的增大而减小 当 x 时 函数 y 的值最小 最小值是 抛物线 y 2x2的图象在 方 除顶点外 x y O 5 2 函数 y x2的顶点坐标为 若点 a 4 在其图象上 则 a 的值是 3 函数 y x2与 y x2的图象关于 对称 也可以认为 y x2 是函数 y x2的图象绕 旋转得到的 4 求出函数 y x 2 与函数 y x2的图象的交点坐标 5 若 a 1 点 a 1 y1 a y2 a 1 y3 都在函数 y x2的图象上 判断 y1 y2 y3的大小关系是 第第 3 课时课时 二次函数二次函数 y ax2 k 的图象与性质的图象与性质 学习目标学习目标 1 会用描点法作出函数 y ax2 k 的图象 能根据图象认识和理解二次函数 y ax2 k 的性质 2 理解二次函数 y ax2 k 中 a 和 k 对函数图象的影响 3 理解二次函数 y ax2与 y ax2 k 的关系 学习重点学习重点 理解二次函数 y ax2 k 的性质 学习难点学习难点 理解二次函数 y ax2与 y ax2 k 的关系 学习过程学习过程 一 学习准备一 学习准备 1 画出两条抛物线的草图并填空 二 解读教材二 解读教材 2 用描点法用描点法作出二 次函数 y 2x2 1 的图像 x 0 y 2x2 1 小结 小结 y 2x2 1 的图像是 且开口向 对称轴是 在对称轴左右的增减性分别是 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 顶点是 且从图像看它有最 点 则函数 y 有最 值 即当 x 时 y 有最 值是 3 在同一直角坐标系中 作出二次函数 y x2 y x2 2 y x2 2 的图像 抛物线抛物线y x2y x2 开口方向开口方向 对称轴对称轴 在对称轴左侧 y 随 x 的 增大而 增减性增减性 在对称轴右侧 y 随 x 的 增大而 顶点坐标顶点坐标 最值最值 当 x 0 时 ymax x y O x y O x y O 6 小结 小结 抛物线 y ax2 k 的开口方向由 决定 当 时 开口向上 当 时 开口向下 对称轴是 当 a 0 时 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 且函数 y 当 x 0 时 ymin 当 a0 5 4 时 y 随 x 的增大而 当 x 时 y 有最 值为 三 挖掘教材三 挖掘教材 抛物线 y ax2 k 可以由抛物线 y ax2经过向上 k 0 或向下 k0 y ax2 a0 y ax2 k 7 2 抛物线 y ax2 k 可以由抛物线 y ax2经过向 k 0 或向 k 0 平移 个单位得到 达标测评达标测评 1 抛物线 y x2 5 可以看作是抛物线 经过向 平移 个单位得到 2 抛物线 y x2 4 的开口向 对称轴是 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 顶点坐标是 当 x 时 y 有最 值为 3 抛物线 y 3x2上有两点 A x 27 B 2 y 则 x y 4 抛物线 y 3x2与直线 y kx 3 的交点为 2 b 则 k b 第第4课时课时 二次函数二次函数 y a x h 2和和 y a x h 2 k 的图的图象象与性质与性质 学习目标学习目标 1 能够作出函数 y a x h 2和 y a x h 2 k 的图象 并能理解它与 y ax2的图象的关系 理解 a h k 对二次函数图象的影响 2 能够正确说出二次函数的顶点式 y a x h 2 k 图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 学习重点学习重点 能够作出函数 y a x h 2和 y a x h 2 k 的图象 正确说出 y a x h 2 k 图象的开口方向 对称轴和顶 点坐标 学习过程学习过程 一 学习准备一 学习准备 1 说出下列函数图象的开口方向 对称轴 顶点 最值和增减变化情况 1 y 2x 2 y 2x 1 2 请说出二次函数 y ax c 与 y ax 的关系 3 我们已知 y ax y ax c 的图像及性质 现在同学们可能想探究 y ax bx 的图像 那我们就动手画图像 x y x x 列表 描点 连线 列表 描点 连线 二 解读教材二 解读教材 4 由学习准备可知 我们如果知道一条抛物线的顶点坐标 那么画图像就比较简单 所以我们可以先配成完全平 方式结构 现在我们画二次函数 y 3 x 1 2 2 的图象 在同一直角坐标系中作 y 3x y 3 x 1 2 y 3 x 1 2 2 的图像 并结合图像完成下表 函数开口方向对称轴顶点坐标最值 2 3xy 2 13 xy a0 则开口向上 而对称轴 则大致图象是 1 22 b x a 即时练习 在右边空白处画出函数即时练习 在右边空白处画出函数 y x2 n 的大致图象 变式训练 画出函数变式训练 画出函数 y x2 mx 3 的大致图象 三 巩固训练 三 巩固训练 作出下列函数的大致图象 2 32yxx 2 44yxx 2 21yx 1 12 2 yxx 第第 8 课时课时 根据抛物线得到二次函数系数信息根据抛物线得到二次函数系数信息 学习目标学习目标 根据图象得到及它们之间的关系 a b c 学习重点学习重点 读图 找出特殊点的坐标 学习过程学习过程 一 学习准备一 学习准备 二次函数中 它的顶点坐标式可写为 对称轴是 2 0yaxbxc a 顶点坐标是 还可以写为 其中对称轴是 顶点坐标是 二 典例示范二 典例示范 例 1 已知函数的图象如图所示 为该图象的对称轴 根据图象信息 你能得到关于系 2 yaxbxc 1 3 x 数的一些什么结论 abc 解 由图可得 0 a 0 1 c 即 由 可得 0 1 23 b a 23ab b 又 1 而 a 0 则得 2a b 0 2 b a b 2a 对称轴在 y 轴的左边 同号 对称轴在 y 轴的a b 右边 异号 左同右a b 异 16 ox y x 1 1 y o x A y 1 o x 3 ox y ox y 1 由 得 0 abc 考虑时 0 所以有 0 1x yabc 考虑时 0 所以有 0 1x yabc 考虑时 0 所以有 0 同理时 0 2x y42abc 2x 42abc 图象与 x 轴有两个交点 所以 0 2 4bac 例 2 如图是二次函数图像的一部分 图像过点 A 对称轴 给出四个结论 2 yaxbxc 3 0 1x 其中正确的结论是 2 b4ac20ab 0abc 5ab A B C D 分析 由图象可以知道 0 抛物线与 x 轴有两个交点 a 0 即 2 4bac 2 b4ac 又对称轴 即 0 1x 1 2 b a 2ab b 均为负数 当时 抛物线有最高点 20ab a b5ab1x 0 综上 正确的是 故选 B abc 例 3 如图所示的抛物线是二次函数的图象 那么的值是 22 3yaxxa a 分析 由图象可知 0 当时 a0 x 1y 即 但是 0 故 2 1a 1a a1a 三 巩固训练三 巩固训练 1 抛物线如图所示 则 2 yaxbxc A 0 0 0 B 0 0 0 C 0 0 0 abcabcabc D 0 0 0abc 2 已知二次函数的图像如图所示 下列结论中正确的个数是 2 yaxbxc 0 0 0 abc abc abc2ba A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 3 已知函数的部分图像如图所示 则 c 0 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 2 2yxxc 4 已知一次函数的图像过点 则关于抛物线的三条叙述 过定点yaxb 2 1 2 3yaxbx 对称轴可以是 当 0 时 其顶点的纵坐标的最小值为 3 其中正确叙述的个数是 2 11x a A 0 B 1 C 2 D 3 5 已知二次函数的图象如图所示 当 y 0 时 x 的取值范围是 2 0yaxbxc a 第 1 题 第 2 题第 3 题 17 A 1 x 3 B x 3 C x 1 D x 3 或 x 1 6 抛物线的图象与 x 轴的一个交点是 顶点是 下列说法中不正确的是 cbxaxy 2 2 0 1 3 A 抛物线的对称轴是 B 抛物线开口向下1x C 抛物线与 x 轴的另一个交点是 D 当时 y 有最大值是 3 2 01x 7 已知二次函数的图象如图所示 则这个二次函数的表达式为 A B C D 2 23yxx 2 23yxx 2 23yxx 2 23yxx 8 在直角坐标系中画一个二次函数 y ax2 bx c 的图象 且满足 b 0 c0 B a b cab ac D 4ac b2 0 12 若二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 则直线 y abx c 不经过 象限 第第 9 课时课时 求二次函数的解析式 一 求二次函数的解析式 一 学习目标学习目标 1 掌握已知三点 会用一般式求函数的表达式 2 掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值 用顶点式求函数的表达式 3 掌握已知两根及一点 用两根式求函数解析式 学习重点学习重点 用一般式 顶点式求函数的表达式 学习难点学习难点 用顶点式和两根式求函数的表达式 学习过程学习过程 一 学习准备一 学习准备 1 已知一次函数经过点 1 2 1 0 则一次函数的解析式为 2 二次函数的一般式为 二次函数的顶点式 二次函数的两根式 或交点式 为 二 方法探究 一 二 方法探究 一 已知三点 用一般式求函数的表达式 已知三点 用一般式求函数的表达式 x y O x y O 1 1x y O 1 x y O x y O 13 x y O1 2 1 1 2 3 3 y x O 13 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 10 题 第 11 题 第 12 题 第 9 题 18 3 例 1 二次函数的图象经过 0 2 1 1 3 5 三点 求二次函数的解析式 4 即时练习即时练习 已知抛物线经过 A 1 0 B 1 0 C 0 1 三点 求二次函数的解析式 三 方法探究 二 三 方法探究 二 已知顶点及一点或对称轴或函数的最值 用顶点式求出函数的解析式 已知顶点及一点或对称轴或函数的最值 用顶点式求出函数的解析式 5 例 2 已知抛物线的顶点坐标为 2 3 且经过点 1 7 求函数的解析式 解 设抛物线的解析式为 2 ya xhk 把顶点 2 3 即 h 2 k 3 代入表达式为 2 2 3ya x 再把 1 7 代入上式为 2 7 12 3a 解得4a 所以函数解析式为 2 4 2 3yx 即 2 41619yxx 6 即时练习即时练习 1 抛物线经过点 0 8 当时 函数有最小值为 9 求抛物线的解析式 1x 2 已知二次函数 当时 函数有最大值 2 其过点 0 2 求这个二次函数的解析 2 ya xhk 2x 式 四 方法探究 三 四 方法探究 三 已知两根及一点或对称轴或函数的最值 用两根式求出函数的解析式 已知两根及一点或对称轴或函数的最值 用两根式求出函数的解析式 7 例 3 已知抛物线经过 1 0 3 0 且过 2 6 三点 求二次函数的表达式 解 设抛物线的解析式为 12 ya xxxx 把抛物线经过的 1 0 3 0 两点代入上式为 1 3 ya xx 再把 2 6 带入上式为6 2 1 3 ax 解得2a 19 所以函数的解析式为2 1 3 yxx 即 2 246yxx 8 即时练习即时练习 已知抛物线经过 A 2 0 B 4 0 C 0 3 求二次函数的解析式 五 反思小结五 反思小结 求二次函数解析式的方法求二次函数解析式的方法 1 已知三点 求二次函数解析式的步骤是什么 2 用顶点式求二次函数的解题思路是 已知顶点及一点或对称轴或函数的最值 用顶点式求解析式比较简单 3 用两根式求二次函数的解题思路是 已知两根及一点或对称轴或函数的最值 用两根式求解析式比较简单 达标测评达标测评 求下列二次函数的解析式 1 图象过点 1 0 0 2 和 2 3 2 当 x 2 时 y 3 且过点 1 3 最大值 3 图象与 x 轴交点的横坐标分别为 2 和 4 且过点 1 10 第第 10 课时课时 求二次函数的解析式 二 求二次函数的解析式 二 学习目标学习目标 1 了解二次函数的三种表示方式 2 会灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式 学习重点学习重点 灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式 学习过程学习过程 一 学习准备学习准备 1 函数的表示方式有三种 法 法 法 2 二次函数的表达式有 二 典型例题二 典型例题 用适当的方法求出二次函数的表达式用适当的方法求出二次函数的表达式 3 例 1 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标是 1 3 顶点坐标是 1 2 求 2 0 yaxbxc a 函数的解析式 用三种方法 20 4 即时练习 即时练习 用适当的方法求出二次函数的解析式 一条抛物线的形状与相同 且对称轴是直线 与 y 轴交于点 0 1 求抛物线的解析式 2 yx 1 2 x 5 例 2 已知如图 抛物线baxaxy 2 2 与x轴的一个交点为 A 1 0 与 y 轴的正半轴交于点 C 直接写出抛物线的对称轴 及抛物线与x轴的另一个交点 B 的坐标 当点 CO 时 求抛物线的解析式 3 6 即时练习 即时练习 已知直线 y 2x 4 与抛物线 y ax2 bx c 的图象相交于 A 2 m B n 2 两点 且抛物线以直线 x 3 为对称轴 求抛物线的解析式 三 反思小结三 反思小结 求二次函数解析式的方法求二次函数解析式的方法 1 已知三点或三对 x y 的对应值 通常用 2 0 yaxbxc a 2 已知图象的顶点或对称轴 通常用 2 0 ya xhk a 3 已知图象与 x 轴的交点坐标 通常用 12 0 ya xxxxa 21 四 巩固训练四 巩固训练 1 已知二次函数图象的顶点坐标为 C 1 0 该二次函数的图象与 x 轴交于 A B 两点 其中 A 点的坐标为 4 0 1 求 B 点的坐标 2 求这个二次函数的关系式 2 2 如图 在平面直角坐标系中 直线与轴交于点 与轴交于点 抛物线33yx xAyC 经过三点 2 2 3 0 3 yaxxc a ABC 1 求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标 ABC F 2 在抛物线上是否存在点 使为直角三角形 若存在 直接写出点坐标 PABP P 若不存在 请说明理由 第第 11 课时课时 利用二次函数求最大利润利用二次函数求最大利润 学习目标学习目标 1 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系 体会数学 建模 思想 并感受数学的应 用价值 2 并能运用公式当 x 时 y最大 小 值 解决实际问题 a b 2a bac 4 4 2 学习重点学习重点 用 数形结合 的思想理解公式 并能运用公式解决实际问题 学习难点学习难点 分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系 学习过程学习过程 一 学习准备一 学习准备 1 二次函数 y ax2 bx c 的图像是一条 它的对称轴是直线 x 顶点是 a b 2 2 二次函数 y 2x2 3x 1 的图象开口 所以函数有最 值 即当 x 时 ymax A O x y B F C 22 二 解读教材二 解读教材 3 例 1 某商经营 T 恤衫 已知成批购买时的单价是 5 元 根据市场调查 销售量与销售单价满足如下关系 在一 段时间内 单价是 15 元时 销售量是 500 件 而单价每降低 1 元 就可以多售 200 件 问销售价是多少时 可以 获利最多 分析 分析 若设销售单价为 x x 15 元 所获利润为 y 元 则 1 销售量可以表示为 2 销售额可以表示为 3 销售成本可以表示为 4 所获利润可表示为 y 解 设 根据题意得关系式 y 即 y a 0 则当 x 时 y 若 a 0 则当 x 时 y a b 2 2 在二次函数 y 2x2 8x 9 中当 x 时 函数 y 有最 值等于 3 如图 在边 BC 长为 20cm 高 AM 为 16cm 的 ABC 内接矩形 EFGH 并且它的一边 FG 在 ABC 的边 BC 上 这是一个二级图形哟 这是一个二级图形哟 公式 公式 全高 上高 下底 上底 24 T M H G F E CB A E F 分别在 AB AC 上 若设 EF 为 xcm 请用 x