第三讲函数与方程及函数的实际应用

惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd 第 1 页 共 9 页 个个 性性 化化 教教 学学 设设 计计 教教 案案 授课时间 授课时间 20112011 年年 7 7 月月 2020 日 日 8 00 108 00 10 1515 备课时间 备课时间 20112011 年年 7 7 月月 1818 日日 年级 年级 高二高二 学科 学科 数学数学 课时 课时 3 3学生姓名 学生姓名 课题名称课题名称第三讲第三讲 函数与方程及函数的实际应用函数与方程及函数的实际应用授课教师 曾先兵授课教师 曾先兵 教学目标教学目标 1 函数与方程 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在 性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 2 函数模型及其应用 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增 长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型 的广泛应用 教学过程教学过程 一 函数的零点一 函数的零点 1 三个等价关系 方程 f x 0 有实根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有 零点 2 函数零点存在性定理 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且 f a f b 0 那么函数 y f x 在区间 a b 内有零点 即存在 c a b 使得 f c 0 这个 c 也就是方程 f x 0 的根 尤其注意 f a f b 0 是 函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 那么 函数 y f x 在区间 a b 内有零点 的充分不必要条件 二 二分法二 二分法 1 二分法的条件 函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且 f a f b 0 2 二分法的思想 通过二等分 无限逼近 3 二分法的步骤 其中给定精确度 的含义是区间 a b 长度 a b 不能认为是函数零 点近似值的精度 三 函数模型及其应用三 函数模型及其应用 解决函数模型的实际应用题 首先考虑题目考查的函数模型 并要注意定义域 其解题步 骤是 1 阅读理解 审清题意 分析出已知什么 求什么 从中提炼出相应的数学问题 2 数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系 建立函数关系式 3 解函数模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果 4 实际问题作答 将数学问题的结果转译成实际问题作出解答 四 二次函数 二次方程 二次不等式的关系四 二次函数 二次方程 二次不等式的关系 二次函数 二次方程 二次不等式是最基本的知识点 三个二次型 是一个有机的整体 其中二次函数的图象是联系三者的桥梁和纽带 惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd 第 2 页 共 9 页 一 函数零点问题一 函数零点问题 1 函数零点 方程的根 的确定问题 常见的类型有 1 零点或零点存在区间的确定 2 零点个数的确定 3 两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定 解决这类问题的 常用方法有 解方 程法 利用零点存在的判定或数形结合法 尤其是那些方程两端对应的函数 类型不同的方程多以数形结合法求解 2 函数零点 方程的根 的应用问题 即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围 问题 解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想 构建关于参数的方程或不等式 求解 函数零点附近函数值的符号相反 这类选择题通常采用代入排除的方法求解 如果要判断 函数在给定区间上不存在零点 则只需说明函数图象在此区间上与 x 轴无交点 或者说明函数 在此区间上的最大 小 值恒小 大 于零就可以了 如果想准确判定零点的位置 那么就要用二分 法 例例 1 1 函数 2 23 0 2ln 0 xxx f x x x 的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 例例 2 2 函数 f x 2x 3x 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 例例 3 3 若函数 f x 的零点与 g x 4x 2x 2 的零点之差的绝对值不超过 0 25 则 f x 可以是 A f x 4x 1 B f x x 1 2 C f x ex 1 D f x lnx 1 2 二 用二分法求函数零点近似值二 用二分法求函数零点近似值 用二分法求函数零点近似值的步骤 1 确定区间 a b 验证 f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点 1 x 3 计算 f 1 x 当 f 0 则就是函数的零点 1 x 1 x 若 f a f 0 则令 b 此时零点 1 x 1 x 01 xa x 若 f f b 0 1 写出水箱的容积 V 与水箱高度 x 的函数关系 式 并求其定义域 2 当水箱高度 x 为何值时 水箱的容积 V 最大 并求出最大值 惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd 第 4 页 共 9 页 图 1 3 1 例例 8 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层 某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年的能 源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 010 35 k C xx x 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x为隔热层 建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 求k的值及 f x的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x达到最小 并求最小值 课堂练习课堂练习 1 若 0 x是方程式 lg2xx 的解 则 0 x属于区间 A 0 1 B 1 1 25 C 1 25 1 75 D 1 75 2 2 函数 f x 23 x x 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 3 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于 港口O北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 小时的航行速度沿正东方 向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以 海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相 遇 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 是否存在 使得小艇以 海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行方向与轮船 相遇 若存在 试确定 的取值范围 若不存在 请说明理由 惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd 第 5 页 共 9 页 课后作业课后作业 1 定义域和值域均为 4 4 的函数 y f x 和 y g x 的图象如图所示 下列命题正确的是 A 方程 f g x 0 有且仅有三个根 B 方程 g f x 0 有且仅有三个根 C 方程 f f x 0 有且仅有两个根 D 方程 g g x 0 有且仅有两个根 2 已知 a 是使表达式 2x 1 42 x成立的最小整数 则方程 1 2x 1 ax 1 实数根的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 3 若方程 2ax2 x 1 0 在 0 1 内恰有一解 则 a 6 设为实数 已知函数a 322 1 1 3 f xxaxax 1 当 1 时 求函数的极值 a f x 2 若方程 0 有三个不等实数根 求的取值范围 f xa 惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd 第 6 页 共 9 页 学员学习情况 课后小评 课后记课后记 教师建议 提交时间提交时间教研组长审批教研组长审批教研主任审批教研主任审批 1 若函数 f x x3 x2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 参考数据如下 那么方程 x3 x2 2x 2 0 的一个近似根 精确度 0 1 为 A 1 25 B 1 375 C 1 437 5 D 1 5 2 对于函数 f x x2 mx n 若 f a 0 f b 0 则函数 f x 在区间 a b 内 A 一定有零点 B 一定没有零点 C 可能有两个零点 D 至多有一个零点 3 如图 A B C D 是某煤矿的四个采煤点 l为公路 图中所示线段为道路 ABQP BCRQ CDSR 近似于正方形 已知 A B C D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 3 2 1 5 运煤的费用与运煤的路程 所运煤的重量都成正比 现 要从 P Q R S 中选出一处设立一个运煤中转站 使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少 则地点应选在 A P B Q C R D S 4 已知函数 210 1 0 x x f x f xx 若方程 f x x a 有且只有两个不相等的实数根 则实数 a 的取值范围是 A 0 B 1 C 0 1 D 0 6 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的速度曲线分别为 v甲和 v乙 如图所示 那么对于图中给定的 t0和 t1 下列判断中一定正确的是 A 在 t1时刻 甲车在乙车前面 B t1时刻后 甲车在乙车后面 C 在 t0时刻 两车的位置相同 D t0时刻后 乙车在甲车前面 7 为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面 某运输公司提出五种运输方案 据预 测 这五种方案均能在规定时间 T 完成预期的运输任务 Q0 各种方案的运煤总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示 在这五种方案中 运煤效率 单位时间的运煤 量 逐步提高的是 填写所有正确的图象的编号 惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd 第 7 页 共 9 页 8 在用二分法求方程 x3 2x 1 0 的一个近似解时 已经将一根锁定在区间 1 2 内 则下一步可断定该根所在的区间 为 9 关于 x 的方程 cos2x sinx a 0 在 0 上有解 则 a 的取值范围为 三 解答题三 解答题 10 10 1111 题每题题每题 1515 分 分 1212 题题 1616 分 共分 共 4646 分分 10 已知函数 f x 4x m 2x 1 有且只有一个零点 求实数 m 的取值范围 并求出零点 11 某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是 4 500 元 台 当笔记本电脑销售价为 6 000 元 台时 月销 售量为 a 台 根据市场分析的结果表明 如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为 x 0 x 1 那么月销售量减少的 百分率为 x2 记销售价提高的百分率为 x 时 电脑企业的月利润是 y 元 1 写出月利润 y 元 与 x 的函数关系式 2 试确定笔记本电脑的销售价 使得电脑企业的月利润最大 12 已知 f x 是二次函数 不等式 f x 0 的解集是 0 5 且 f x 在区间 1 4 上的最大值是 12 1 求 f x 的解析式 2 是否存在自然数 m 使得方程 f x 0 在区间 m m 1 内有且 只有两个不等的实数根 若存在 求出m 的取值范围 若不存在 说明理由 惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd 第 8 页 共 9 页 参考答案 1 解析 选 C 根据题意知函数的零点在 1 406 25 至 1 437 5 之间 因为此时 1 437 5 1 406 25 0 031 250 f b 0 且抛物线开口向上 所以可能有两个零点 3 解析 选 C 设正方形边长为 a 采煤量比例系数为 x 费用比例系数为 k 对于 A 中转站选在 P 点时 费用 y1 3kxa 4kxa 3kxa 20kxa 30kxa 对于 B 中转站选在 Q 点时 费用 y2 6kxa 2kxa 2kxa 15kxa 25kxa 对于 C 中 转站选在 R 点时 费用 y3 9kxa 4kxa kxa 10kxa 24kxa 对于 D 中转站选在 S 点时 费用 y4 12kxa 6kxa 2kxa 5kxa 25kxa 而 24kxa 25kxa 30kxa 故选 C 4 解析 选 B 在同一坐标系内画出函数 y f x 和 y x a 的图象 由图可知 a0 方程 t2 m t 1 0 只有一个正根 由图象可知 0 2 2 0 m m 当 m 2 时 t 1 x 0 函数的零点为 x 0 11 解析 1 依题意 销售价提高后为 6 000 1 x 元 台 月销售量为 a 1 x2 台 则 y a 1 x2 6 000