特殊四边形的辅助线

1 特殊四边形的辅助线特殊四边形的辅助线 一 分割面积一 分割面积 1 2005 郴州 附加题 E 是四边形 ABCD 中 AB 上一点 E 不与 A B 重合 1 如图 当四边形 ABCD 是正方形时 ADE BCE 和 CDE 的面积之间有着怎样的关系 证明你的结 论 2 若四边形 ABCD 是矩形时 1 中的结论是否仍然成立 为什么 ABCD 是平行四边形呢 3 当四边形 ABCD 是梯形时 1 中的结论还成立吗 请说明理由 二 补全线段二 补全线段 补全线段 如三角形中的五线 角平分线 中线 中垂线 垂线 中位线 补全线段 如三角形中的五线 角平分线 中线 中垂线 垂线 中位线 四边形的对角线 四边形的对角线 2 2008 山西 如图 已知 ABC 是等边三角形 D E 分别在边 BC AC 上 且 CD CE 连接 DE 并延长至 点 F 使 EF AE 连接 AF BE 和 CF 1 请在图中找出一对全等三角形 用符号 表示 并加以证明 2 判断四边形 ABDF 是怎样的四边形 并说明理由 3 若 AB 6 BD 2DC 求四边形 ABEF 的面积 2 3 2007 常州 已知 如图 正方形 ABCD 的边长为 6 菱形 EFGH 的三个顶点 E G H 分别在正方形 ABCD 边 AB CD DA 上 AH 2 连接 CF 1 当 DG 2 时 求 FCG 的面积 2 设 DG x 用含 x 的代数式表示 FCG 的面积 3 判断 FCG 的面积能否等于 1 并说明理由 4 2007 莆田 在正方形 ABCD 中 点 E 是 AD 上一动点 MN AB 分别交 AB CD 于 M N 连接 BE 交 MN 于 点 O 过 O 作 OP BE 分别交 AB CD 于 P Q 探究 1 如图 当点 E 在边 AD 上时 请你动手测量三条线段 AE MP NQ 的长度 猜测 AE 与 MP NQ 之间的数量关系 并证明你所猜测的结论 探究 2 如图 若点 E 在 DA 的延长线上时 AE MP NQ 之间的数量关系又是怎样请直接写出结论 再探究 3 如图 连接并延长 BN 交 AD 的延长线 DG 于 H 若点 E 分别在线段 DH 和射线 HG 上时 请 在图 中完成符合题意的图形 并判断 AE MP NQ 之间的数量关系又分别怎样 请直接写出结论 中线中线 5 在 ABCD 中 BC 2AB CE AB 于 E F 为 AD 的中点 AEF 54 则 B 6 2011 鞍山 已知如图 D 是 ABC 中 AB 边上的中点 ACE 和 BCF 分别是以 AC BC 为斜边的等腰直 角三角形 连接 DE DF 求证 DE DF 3 中位线中位线 7 2013 沙坪坝区模拟 如图 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O ABD 2 DBC AE BD 于点 E 1 若 ADB 25 求 BAE 的度数 2 求证 AB 2OE 垂线垂线 8 2013 宁夏 在 ABCD 中 P 是 AB 边上的任意一点 过 P 点作 PE AB 交 AD 于 E 连结 CE CP 已 知 A 60 1 若 BC 8 AB 6 当 AP 的长为多少时 CPE 的面积最大 并求出面积的最大值 2 试探究当 CPE CPB 时 ABCD 的两边 AB 与 BC 应满足什么关系 角平分线角平分线 9 2007 哈尔滨 如图 1 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 E AF 平分 BAC 交 BD 于点 F 1 求证 EF AC AB 2 点 C1从点 C 出发 沿着线段 CB 向点 B 运动 不与点 B 重合 同时点 A1从点 A 出发 沿着 BA 的延长 线运动 点 C1与 A1的运动速度相同 当动点 C1停止运动时 另一动点 A1也随之停止运动 如图 2 A1F1平分 BA1C1 交 BD 于点 F1 过点 F1作 F1E1 A1C1 垂足为 E1 请猜想 E1F1 A1C1与 AB 三者之 间的数量关系 并证明你的猜想 3 在 2 的条件下 当 A1E1 3 C1E1 2 时 求 BD 的长 4 正方形对角线正方形对角线 10 2005 湖州 如图 四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形 则 结果不取近似值 11 2009 广州 如图 边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF GH 分割为四个小矩形 EF 与 GH 交于点 P 1 若 AG AE 证明 AF AH 2 若 FAH 45 证明 AG AE FH 3 若 Rt GBF 的周长为 1 求矩形 EPHD 的面积 12 2011 防城港 如图 点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点 以线段 AG 为边作一个正 方形 AEFG 线段 EB 和 GD 相交于点 H 1 求证 EB GD 2 判断 EB 与 GD 的位置关系 并说明理由 3 若 AB 2 AG 求 EB 的长 5 13 2014 安徽 如图 1 正六边形 ABCDEF 的边长为 a P 是 BC 边上一动点 过 P 作 PM AB 交 AF 于 M 作 PN CD 交 DE 于 N 1 MPN 求证 PM PN 3a 2 如图 2 点 O 是 AD 的中点 连接 OM ON 求证 OM ON 3 如图 3 点 O 是 AD 的中点 OG 平分 MON 判断四边形 OMGN 是否为特殊四边形 并说明理由 三 制造全等三角形三 制造全等三角形 14 2012 重庆 已知 如图 在菱形 ABCD 中 F 为边 BC 的中点 DF 与对角线 AC 交于点 M 过 M 作 ME CD 于点 E 1 2 1 若 CE 1 求 BC 的长 2 求证 AM DF ME 6 15 2014 南平 在图 1 图 2 图 3 图 4 中 点 P 在线段 BC 上移动 不与 B C 重合 M 在 BC 的延长 线上 1 如图 1 ABC 和 APE 均为正三角形 连接 CE 求证 ABP ACE ECM 的度数为 2 如图 2 若四边形 ABCD 和四边形 APEF 均为正方形 连接 CE 则 ECM 的度数为 如图 3 若五边形 ABCDF 和五边形 APEGH 均为正五边形 连接 CE 则 ECM 的度数为 3 如图 4 n 边形 ABC 和 n 边形 APE 均为正 n 边形 连接 CE 请你探索并猜想 ECM 的度数与正多 边形边数 n 的数量关系 用含 n 的式子表示 ECM 的度数 并利用图 4 放大后的局部图形 证明 你的结论 7 16 已知 四边形 ABCD 是正方形 点 E 在 CD 边上 点 F 在 AD 边上 且 AF DE 1 如图 1 判断 AE 与 BF 有怎样的位置关系 写出你的结果 并加以证明 2 如图 2 对角线 AC 与 BD 交于点 O BD AC 分别与 AE BF 交于点 G 点 H 求证 OG OH 连接 OP 若 AP 4 OP 求 AB 的长 17 已知 Rt ABC 和 Rt ADE ACB AED 90 BAC DAE 30 P 为线段 BD 的中点 连接 PC PE 1 如图 1 若 AC AE C A E 依次在同一条直线上 则 CPE PC 与 PE 存在的等量关系是 8 2 如图 2 若 AC AE C A E 依次在同一条直线上 猜想 CPE 的度数及 PC 与 PE 存在的等量关系 并写出你的结论 不需要证明 3 如图 3 在图 2 的基础上 若将 Rt ADE 绕点 A 逆时针任意旋转一个角度 使 C A E 不在一条直线 上 试探究 CPE 的度数及 PC 与 PE 存在的等量关系 写出你的结论并说明理由 18 2009 临沂 数学课上 张老师出示了问题 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中 点 AEF 90 且 EF 交正方形外角 DCG 的平分线 CF 于点 F 求证 AE EF 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取 AB 的中点 M 连接 ME 则 AM EC 易证 AME ECF 所以 AE EF 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 2 如果把 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 上 除 B C 外 的任意一点 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成立 你认为小颖的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 2 小华提出 如图 3 点 E 是 BC 的延长线上 除 C 点外 的任意一点 其他条件不变 结论 AE EF 仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 9 19 2012 深圳 如图 Rt ABC 中 C 90 以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE 且正方形对角线交 于点 O 连接 OC 已知 AC 5 OC 6 则另一直角边 BC 的长为 7 四 构造四边形 等腰三角形四 构造四边形 等腰三角形 构造平行四边形构造平行四边形 20 2008 旅顺口区 两个全等的三角形如下图所示放置 点 B A D 在同一直线上 操作 在图中 在 CB 边上截取 CM AB 连接 DM 交 AC 于 N 请探究 AND 的大小 并证明你的结论 21 则在 ABCD 中 BAD 的平分线交直线 BC 于点 E 交直线 DC 于点 F 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连接 DB DG BG BDG 的大小是 10 A 30 B 45 C 60 D 75 22 如图 已知 ABCD 中 DE BC 于点 E DH AB 于点 H AF 平分 BAD 分别交 DC DE DH 于点 F G M 且 DE AD 1 求证 ADG FDM 2 猜想 AB 与 DG CE 之间有何数量关系 并证明你的猜想 23 2010 本溪 我们给出如下定义 若一个四边形的两条对角线相等 则称这个四边形为等对角线四边 形 请解答下列问题 1 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 2 探究 当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 60 时 这对 60 角所对的两边之和与其中一 条对角线的大小关系 并证明你的结论 参考答案参考答案 一 分割面积一 分割面积 7 2005 郴州 附加题 E 是四边形 ABCD 中 AB 上一点 E 不与 A B 重合 1 如图 当四边形 ABCD 是正方形时 ADE BCE 和 CDE 的面积之间有着怎样的关系 证明你 的结论 11 2 若四边形 ABCD 是矩形时 1 中的结论是否仍然成立 为什么 ABCD 是平行四边形呢 3 当四边形 ABCD 是梯形时 1 中的结论还成立吗 请说明理由 考 点 正方形的性质 矩形的性质 梯形 菁优网版权所有 专 题 压轴题 探究型 分 析 正方形 矩形 平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形 它们的面积关系 就要看底边的 关系了 由于 AE EB CD 所以 S ADE S BCE S CDE在这三个图形中都成立 梯形不具备这一特征 就不一定成立 解 答 解 S ADE S BCE S CDE 方法 1 同底同高 S ADE S BCE 方法 2 因为过 E 作 EF BC 交 DC 于 F 则四边形 AEFD 和 EBCF 是矩形 所以 S AED S EFD S EBC S EFC 所以 S ADE S BCE S EFD S EFC S DEC 四边形 ABCD 是矩形时 1 中结论成立 方法同上 当四边形 ABCD 是平行四边形时 结论还是成立 当四边形 ABCD 是梯形时 中结论当 E 点为 AB 中点时成立 其它情况不成立不成立 理由如下 设 S ADE S1 S BCE S2 S DEC S3 梯形 ABCD 上底为 a 下底为 b 面积为 S 如图 则 12 如果 S ADE S BCE S DEC 则有 a h1 h2 b h1 h2 如果 h1 h2 则 E 为 AB 中点 如果 h1 h2 则 a b 四边形 ABCD 是平行四边形 点 评 解答本题要充分利用正方形 矩形 平行四边形的对边相等的性质 观察图形的底与高的关系 利用 等底 等高的两个三角形面积相等 确定三角形的面积关系 二 补全线段二 补全线段 补全线段 如三角形中的五线 角平分线 中线 中垂线 垂线 中位线 补全线段 如三角形中的五线 角平分线 中线 中垂线 垂线 中位线 四边形的对角线 四边形的对角线 5 2008 山西 如图 已知 ABC 是等边三角形 D E 分别在边 BC AC 上 且 CD CE 连接 DE 并延长至 点 F 使 EF AE 连接 AF BE 和 CF 1 请在图中找出一对全等三角形 用符号 表示 并加以证明 2 判断四边形 ABDF 是怎样的四边形 并说明理由 3 若 AB 6 BD 2DC 求四边形 ABEF 的面积 考点 平行四边形的判定 全等三角形的判定 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 分析 1 从图上及已知条件容易看出 BDE FEC BCE FDC ABE ACF 判定两个三角形全 等时 必须有边的参与 所以此题的关键是找出相等的边 2 由 1 的结论容易证明 AB DF BD AF 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 3 EF AB EF AB 四边形 ABEF 是梯形 只要求出此梯形的面积即可 解答 解 1 选证一 BDE FEC 证明 ABC 是等边三角形 BC AC ACB 60 度 CD CE EDC 是等边三角形 DE EC CDE DEC 60 BDE FEC 120 度 又 EF AE BD FE BDE FEC 选证二 BCE FDC 证明 ABC 是等边三角形 13 BC AC ACB 60 度 又 CD CE EDC 是等边三角形 BCE FDC 60 DE CE EF AE EF DE AE CE FD AC BC BCE FDC 选证三 ABE ACF 证明 ABC 是等边三角形 AB AC ACB BAC 60 度 CD CE EDC 是等边三角形 AEF CED 60 度 EF AE AEF 是等边三角形 AE AF EAF 60 度 ABE ACF 2 四边形 ABDF 是平行四边形 理由 由 1 知 ABC EDC AEF 都是等边三角形 CDE ABC EFA 60 度 AB DF BD AF 四边形 ABDF 是平行四边形 3 由 2 知 四边形 ABDF 是平行四边形 EF AB EF AB 四边形 ABEF 是梯形 过 E 作 EG AB 于 G 则 EG S四边形 ABEF EG AB EF 6 4 10 点评 此题考查了全等三角形的判定 平行四边形的判定 及梯形面积的求解 用到的知识点比较多 较 复杂 22 2007 常州 已知 如图 正方形 ABCD 的边长为 6 菱形 EFGH 的三个顶点 E G H 分别在正方形 ABCD 边 AB CD DA 上 AH 2 连接 CF 1 当 DG 2 时 求 FCG 的面积 2 设 DG x 用含 x 的代数式表示 FCG 的面积 3 判断 FCG 的面积能否等于 1 并说明理由 14 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 菱形的性质 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 探究型 分析 1 要求 FCG 的面积 可以转化到面积易求的三角形中 通过证明 DGH CFG 得出 2 欲求 FCG 的面积 由已知得 CG 的长易求 只需求出 GC 边的高 通过证明 AHE MFG 可得 3 若 S FCG 1 由 S FCG 6 x 得 x 5 此时 在 DGH 中 HG 相应地 在 AHE 中 AE 即点 E 已经不在边 AB 上 故不可能有 S FCG 1 解答 解 1 正方形 ABCD 中 AH 2 DH 4 DG 2 HG 2 即菱形 EFGH 的边长为 2 在 AHE 和 DGH 中 A D 90 AH DG 2 EH HG 2 AHE DGH HL AHE DGH DGH DHG 90 DHG AHE 90 GHE 90 即菱形 EFGH 是正方形 同理可以证明 DGH CFG FCG 90 即点 F 在 BC 边上 同时可得 CF 2 从而 S FCG 4 2 4 2 分 2 作 FM DC M 为垂足 连接 GE AB CD AEG MGE HE GF HEG FGE AEH MGF 在 AHE 和 MFG 中 AHE MFG AAS FM HA 2 即无论菱形 EFGH 如何变化 点 F 到直线 CD 的距离始终为定值 2 15 因此 S FCG 2 6 x 6 x 6 分 3 若 S FCG 1 由 2 知 S FCG 6 x 得 x 5 在 DGH 中 HG 在 AHE 中 AE 即点 E 已经不在边 AB 上 不可能有 S FCG 1 9 分 另法 点 G 在边 DC 上 菱形的边长至少为 DH 4 当菱形的边长为 4 时 点 E 在 AB 边上且满足 AE 2 此时 当点 E 逐渐向右运动至点 B 时 HE 的长 即菱形的边 长 将逐渐变大 最大值为 HE 2 此时 DG 2 故 0 x 2 函数 S FCG 6 x 的值随着 x 的增大而减小 当 x 2时 S FCG取得最小值为 6 2 又 6 2 1 FCG 的面积不可能等于 1 9 分 点评 解答本题要充分利用正方形的特殊性质 搞清楚菱形 正方形中的三角形的三边关系 同时考查了 全等三角形的判定和性质 24 2007 莆田 在正方形 ABCD 中 点 E 是 AD 上一动点 MN AB 分别交 AB CD 于 M N 连接 BE 交 MN 于点 O 过 O 作 OP BE 分别交 AB CD 于 P Q 探究 1 如图 当点 E 在边 AD 上时 请你动手测量三条线段 AE MP NQ 的长度 猜测 AE 与 MP NQ 之间的数量关系 并证明你所猜测的结论 探究 2 如图 若点 E 在 DA 的延长线上时 AE MP NQ 之间的数量关系又是怎样请直接写出结 论 16 再探究 3 如图 连接并延长 BN 交 AD 的延长线 DG 于 H 若点 E 分别在线段 DH 和射线 HG 上时 请在图 中完成符合题意的图形 并判断 AE MP NQ 之间的数量关系又分别怎样 请直接写出结论 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 动点型 探究型 分析 1 过 Q 作 QQ AB 于 Q 则 MQ Q 90 证明四边形 AMND 为矩形 然后又证明四边形 MNOQ 为矩形 最后可证明 BAE QQ P 后可证得 AE MP NQ 2 画出图形可得若点 E 在 DA 的延长线上时 结论为 AE QN MP 3 画出辅助线 可得若点 E1在线段 DH 上时 结论为 AE1 MP1 NQ1 当点 E2在射线 HG 上时 推出 AE2 MP2 NQ2 解答 解 1 如图 结论 AE MP NQ 2 分 证明 过 Q 作 QQ AB 于 Q 则 MQ Q 90 MN AB AMN 90 四边形 ABCD 为正方形 BAD ADC 90 四边形 AMND 为矩形 MN AD AB Q MN QNM 90 四边形 MNQQ 为矩形 QQ MN AB NQ Q M 3 分 在 BAE 和 QQ P 中 PQ BE Q QP Q PQ 90 ABE Q PQ 90 Q QP ABE 4 分 PQ Q BAE 90 QQ AB BAE QQ P 5 分 Q P AE Q P MP Q M MP NQ AE MP NQ 6 分 2 如图 若点 E 在 DA 的延长线上时 结论 AE QN MP 8 分 3 如图 若点 E1在线段 DH 上时 结论 AE1 MP1 NQ1 10 分 若点 E2在射线 HG 上时 结论 AE2 MP2 NQ2 12 分 17 点评 本题考查全等三角形的判定定理以及正方形的性质的综合运用 中线中线 9 重点题 在 ABCD 中 BC 2AB CE AB 于 E F 为 AD 的中点 AEF 54 则 B 72 考点 平行四边形的性质 等腰三角形的性质 直角三角形斜边上的中线 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 过 F 作 AB CD 的平行线 FG 由于 F 是 AD 的中点 那么 G 是 BC 的中点 即 Rt BCE 斜边上的中点 由此可得 BC 2EG 2FG 即 GEF BEG 都是等腰三角形 因此求 B 的度数 只需求得 BEG 的度数即可 易知四边形 ABGF 是平行四边形 得 EFG AEF 由此可求得 FEG 的度数 即 可得到 AEG 的度数 根据邻补角的定义可得 BEG 的值 由此得解 解答 解 过 F 作 FG AB CD 交 BC 于 G 则四边形 ABGF 是平行四边形 所以 AF BG 即 G 是 BC 的中点 BC 2AB 为 AD 的中点 BG AB FG AF 连接 EG 在 Rt BEC 中 EG 是斜边上的中线 则 BG GE FG BC AE FG EFG AEF FEG 54 AEG AEF FEG 108 B BEG 180 108 72 18 故答案为 72 点评 此题主要考查了平行四边形的性质 直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质 正确地构造 出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键 20 2011 鞍山 已知如图 D 是 ABC 中 AB 边上的中点 ACE 和 BCF 分别是以 AC BC 为斜边的等腰 直角三角形 连接 DE DF 求证 DE DF 考点 平行四边形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 分析 分别取 AC BC 中点 M N 连接 MD ND 再连接 EM FN 利用在直角三角形中 直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形 MDNC 为平行四边形 再利用平行四边形的性质和 已知条件证明 EMD DNF 即可 解答 证明 分别取 AC BC 中点 M N 连接 MD ND 再连接 EM FN D 为 AB 中点 AEC 90 BFC 90 EM AC FN BC D 是 ABC 中 AB 边上的中点 DN 是 ABC 的中位线 DN AC EM DN AC FN MD BC DN CM 且 DN CM 四边形 MDNC 为平行四边形 CMD CND EMC FNC 90 EMC CMD FNC CND 即 EMD FND EMD DNF SAS DE DF 19 点评 本题考查了平行四边形的判定和性质 全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质 直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半 题目难度中等综合性不小 中位线中位线 12 2013 沙坪坝区模拟 如图 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O ABD 2 DBC AE BD 于点 E 1 若 ADB 25 求 BAE 的度数 2 求证 AB 2OE 考点 平行四边形的性质 直角三角形斜边上的中线 三角形中位线定理 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 根据平行四边形的对边平行可得 AD BC 再根据两直线平行 内错角相等可得 DBC ADB 然后求出 ABD 再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出 BAE 2 取 AB 的中点 F 连接 EF OF 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF BF AB 根据等边对等角可得 ABD BEF 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第 三边的一半可得 OF BC 根据两直线平行 内错角相等可得 DBC EOF 然后根据三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 EFO EOF 再根据等角对等边可得 EF OE 从 而得证 解答 1 解 在 ABCD 中 AD BC DBC ADB ABD 2 DBC ADB 25 ABD 2 25 50 AE BD BAE 90 ABD 90 50 40 2 证明 如图 取 AB 的中点 F 连接 EF OF AE BD EF BF AB ABD BEF AO CO OF 是 ABC 的中位线 OF BC DBC EOF 20 根据三角形的外角性质 BEF EFO EOF 又 ABD 2 DBC EFO EOF EF OE OE AB AB 2OE 点评 本题考查了平行四边形的对边平行 对角线互相平分的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和的性质 作辅助线是解题的关键 垂线垂线 20 2013 宁夏 在 ABCD 中 P 是 AB 边上的任意一点 过 P 点作 PE AB 交 AD 于 E 连结 CE CP 已 知 A 60 1 若 BC 8 AB 6 当 AP 的长为多少时 CPE 的面积最大 并求出面积的最大值 2 试探究当 CPE CPB 时 ABCD 的两边 AB 与 BC 应满足什么关系 考点 四边形综合题 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 1 延长 PE 交 CD 的延长线于 F 设 AP x CPE 的面积为 y 由四边形 ABCD 为平行四边形 利用 平行四边形的对边相等得到 AB DC AD BC 在直角三角形 APE 中 根据 A 的度数求出 PEA 的度数为 30 度 利用直角三角形中 30 度所对的直角边等于斜边的一半表示出 AE 与 PE 由 AD AE 表示出 DE 再利用对顶角相等得到 DEF 为 30 度 利用 30 度所对的直角边等于斜边的 一半表示出 DF 由两直线平行内错角相等得到 F 为直角 表示出三角形 CPE 的面积 得出 y 与 x 的函数解析式 利用二次函数的性质即可得到三角形 CPE 面积的最大值 以及此时 AP 的长 2 由 CPE CPB 利用全等三角形的对应边相等 对应角相等得到 BC CE B PEC 120 进而得出 ECD CED 利用等角对等边得到 ED CD 即三角形 ECD 为等腰三角形 过 D 作 DM 垂直于 CE ECD 30 利用锐角三角形函数定义表示出 cos30 得出 CM 与 CD 的关系 进 而得出 CE 与 CD 的关系 即可确定出 AB 与 BC 满足的关系 解答 解 1 延长 PE 交 CD 的延长线于 F 设 AP x CPE 的面积为 y 四边形 ABCD 为平行四边形 21 AB DC 6 AD BC 8 Rt APE A 60 PEA 30 AE 2x PE x 在 Rt DEF 中 DEF PEA 30 DE AD AE 8 2x DF DE 4 x AB CD PF AB PF CD S CPE PE CF 即 y x 10 x x2 5x 配方得 y x 5 2 0 x 4 当 x 4 时 y 有最大值为 12 即 AP 的长为 5 时 CPE 的面积最大 最大面积是 12 2 当 CPE CPB 时 有 BC CE B PEC 120 CED 180 AEP PEC 30 ADC 120 ECD CED 180 120 30 30 DE CD 即 EDC 是等腰三角形 过 D 作 DM CE 于 M 则 CM CE 在 Rt CMD 中 ECD 30 cos30 CM CD CE CD BC CE AB CD BC AB 则当 CPE CPB 时 BC 与 AB 满足的关系为 BC AB 点评 此题考查了四边形的综合题 涉及的知识有 平行四边形的性质 含 30 度直角三角形的性质 平行 线的判定与性质 以及二次函数的性质 是一道多知识点综合的探究题 22 角平分线角平分线 25 2007 哈尔滨 如图 1 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 E AF 平分 BAC 交 BD 于点 F 1 求证 EF AC AB 2 点 C1从点 C 出发 沿着线段 CB 向点 B 运动 不与点 B 重合 同时点 A1从点 A 出发 沿着 BA 的 延长线运动 点 C1与 A1的运动速度相同 当动点 C1停止运动时 另一动点 A1也随之停止运动 如图 2 A1F1平分 BA1C1 交 BD 于点 F1 过点 F1作 F1E1 A1C1 垂足为 E1 请猜想 E1F1 A1C1与 AB 三 者之间的数量关系 并证明你的猜想 3 在 2 的条件下 当 A1E1 3 C1E1 2 时 求 BD 的长 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 动点型 探究型 分析 1 过 F 作 FM AB 于点 M 首先证明 AMF AEF 求出 MF MB 即可知道 EF AE AB 2 连接 F1C1 过点 F1作 F1P A1B 于点 P F1Q BC 于点 Q 证明 Rt A1E1F1 Rt A1PF1 Rt QF1C1 Rt E1F1C1后推出 A1B BC1 A1P PB QB C1Q A1P C1Q 2E1F1化简为 E1F1 A1C1 AB 3 设 PB x QB x PB 1 E1F1 1 又推出 E1F1 A1C1 AB 得出 BD 解答 1 证明 如图 1 过点 F 作 FM AB 于点 M 在正方形 ABCD 中 AC BD 于点 E AE AC ABD CBD 45 AF 平分 BAC EF MF 又 AF AF Rt AMF Rt AEF AE AM MFB ABF 45 MF MB MB EF EF AC MB AE MB AM AB 2 E1F1 A1C1与 AB 三者之间的数量关系 E1F1 A1C1 AB 23 证明 如图 2 连接 F1C1 过点 F1作 F1P A1B 于点 P F1Q BC 于点 Q A1F1平分 BA1C1 E1F1 PF1 同理 QF1 PF1 E1F1 PF1 QF1 又 A1F1 A1F1 Rt A1E1F1 Rt A1PF1 A1E1 A1P 同理 Rt QF1C1 Rt E1F1C1 C1Q C1E1 由题意 A1A C1C A1B BC1 AB A1A BC C1C AB BC 2AB PB PF1 QF1 QB A1B BC1 A1P PB QB C1Q A1P C1Q 2E1F1 即 2AB A1E1 C1E1 2E1F1 A1C1 2E1F1 E1F1 A1C1 AB 3 解 设 PB x 则 QB x A1E1 3 QC1 C1E1 2 Rt A1BC1中 A1B2 BC12 A1C12 即 3 x 2 2 x 2 52 x1 1 x2 6 舍去 PB 1 E1F1 1 又 A1C1 5 由 2 的结论 E1F1 A1C1 AB AB BD 点评 本题考查的是勾股定理的应用 全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识 正方形对角线正方形对角线 5 2005 湖州 如图 四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形 则 结果不取近似值 24 考点 正方形的性质 相似三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 易证 ABG DBF 可得 BD AB BF BG 从而得出结果 解答 解 连接 BD 交 GF 于 H 连接 BF 四边形 ABCD 与 BEFG 是正方形 BD AB BF BG ABD GBF 45 ABG DBF ABG DBF 点评 解答本题要充分利用正方形的特殊性质 考查了相似三角形的判定和性质 15 2009 广州 如图 边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF GH 分割为四个小矩形 EF 与 GH 交于点 P 1 若 AG AE 证明 AF AH 2 若 FAH 45 证明 AG AE FH 3 若 Rt GBF 的周长为 1 求矩形 EPHD 的面积 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 25 分析 1 因为 AG AE BF DH AB AD ABC ADH ABF ADH SAS 2 将 ADH 绕点 A 顺时针旋转 90 后 可得 AFH AFM 然后可求得结论 3 设 BF x GB y 根据线段之间的关系利用勾股定理求出 xy 的值 解答 1 证明 连接 AH AF ABCD 是正方形 AD AB D B 90 ADHG 与 ABFE 都是矩形 DH AG AE BF 又 AG AE DH BF 在 Rt ADH 与 Rt ABF 中 AD AB D B 90 DH BF Rt ADH Rt ABF AF AH 2 证明 将 ADH 绕点 A 顺时针旋转 90 到 ABM 的位置 在 AMF 与 AHF 中 AM AH AF AF MAF MAH FAH 90 45 45 FAH AMF AHF MF HF MF MB BF HD BF AG AE AG AE FH 3 解 设 BF x GB y 则 FC 1 x AG 1 y 0 x 1 0 y 1 在 Rt GBF 中 GF2 BF2 BG2 x2 y2 Rt GBF 的周长为 1 BF BG GF x y 1 即 1 x y 即 x2 y2 1 2 x y x y 2 整理得 2xy 2x 2y 1 0 xy x y 矩形 EPHD 的面积 S PH EP FC AG 1 x 1 y xy x y 1 矩形 EPHD 的面积是 26 点评 本题考查正方形的特殊性质 勾股定理以及正方形中的特殊三角形的应用 29 2011 防城港 如图 点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点 以线段 AG 为边作一个 正方形 AEFG 线段 EB 和 GD 相交于点 H 1 求证 EB GD 2 判断 EB 与 GD 的位置关系 并说明理由 3 若 AB 2 AG 求 EB 的长 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 在 GAD 和 EAB 中 GAD 90 EAD EAB 90 EAD 得到 GAD EAB 从而 GAD EAB 即 EB GD 2 EB GD 由 1 得 ADG ABE 则在 BDH 中 DHB 90 所以 EB GD 3 设 BD 与 AC 交于点 O 由 AB AD 2 在 Rt ABD 中求得 DB 所以得到结果 解答 1 证明 在 GAD 和 EAB 中 GAD 90 EAD EAB 90 EAD GAD EAB 四边形 EFGA 和四边形 ABCD 是正方形 AG AE AB AD 在 GAD 和 EAB 中 GAD EAB SAS EB GD 2 解 EB GD 理由如下 四边形 ABCD 是正方形 DAB 90 AMB ABM 90 又 AEB AGD 27 GDA EBA HMD AMB 对顶角相等 HDM DMH AMB ABM 90 DHM 180 HDM DMH 180 90 90 EB GD 3 解 连接 AC BD BD 与 AC 交于点 O AB AD 2 在 Rt ABD 中 DB 在 Rt AOB 中 OA OB AB 2 由勾股定理得 2AO2 22 OA 即 OG OA AG 2 EB GD 点评 本题考查了正方形的性质 考查了利用其性质证得三角形全等 并利用证得的条件求得边长 8 2014 安徽 如图 1 正六边形 ABCDEF 的边长为 a P 是 BC 边上一动点 过 P 作 PM AB 交 AF 于 M 作 PN CD 交 DE 于 N 28 1 MPN 60 求证 PM PN 3a 2 如图 2 点 O 是 AD 的中点 连接 OM ON 求证 OM ON 3 如图 3 点 O 是 AD 的中点 OG 平分 MON 判断四边形 OMGN 是否为特殊四边形 并说明理由 考点 四边形综合题 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 运用 MPN 180 BPM NPC 求解 作 AG MP 交 MP 于点 G BH MP 于点 H CL PN 于点 L DK PN 于点 K 利用 MP PN MG GH HP PL LK KN 求解 2 连接 OE 由 OMA ONE 证明 3 连接 OE 由 OMA ONE 再证出 GOE NOD 由 ONG 是等边三角形和 MOG 是等边三角 形求出四边形 MONG 是菱形 解答 解 1 六边形 ABCDEF 是正六边形 A B C D E F 120 又 PM AB PN CD BPM 60 NPC 60 MPN 180 BPM NPC 180 60 60 60 故答案为 60 如图 1 作 AG MP 交 MP 于点 G BH MP 于点 H CL PN 于点 L DK PN 于点 K MP PN MG GH HP PL LK KN 正六边形 ABCDEF 中 PM AB 作 PN CD AMG BPH CPL DNK 60 GM AM HP BP PL PC NK ND AM BP PC DN MG HP PL KN a GH LK a MP PN MG GH HP PL LK KN 3a 2 如图 2 连接 OE 六边形 ABCDEF 是正六边形 AB MP PN DC AM BP EN 29 MAO OEN 60 OA OE 在 ONE 和 OMA 中 OMA ONE SAS OM ON 3 如图 3 连接 OE 由 2 得 OMA ONE MOA EON EF AO AF OE 四边形 AOEF 是平行四边形 AFE AOE 120 MON 120 GON 60 GOE 60 EON DON 60 EON GOE DON OD OE ODN OEG 在 GOE 和 DON 中 GOE NOD ASA ON OG 又 GON 60 ONG 是等边三角形 ON NG 又 OM ON MOG 60 MOG 是等边三角形 MG GO MO MO ON NG MG 四边形 MONG 是菱形 点评 本题主要考查了四边形的综合题 解题的关键是恰当的作出辅助线 根据三角形全等找出相等的线 段 三 制造全等三角形三 制造全等三角形 5 2012 重庆 已知 如图 在菱形 ABCD 中 F 为边 BC 的中点 DF 与对角线 AC 交于点 M 过 M 作 ME CD 于点 E 1 2 1 若 CE 1 求 BC 的长 2 求证 AM DF ME 30 考点 菱形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 分析 1 根据菱形的对边平行可得 AB CD 再根据两直线平行 内错角相等可得 1 ACD 所以 ACD 2 根据等角对等边的性质可得 CM DM 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE DE 然后求出 CD 的长度 即为菱形的边长 BC 的长度 2 先利用 边角边 证明 CEM 和 CFM 全等 根据全等三角形对应边相等可得 ME MF 延长 AB 交 DF 于点 G 然后证明 1 G 根据等角对等边的性质可得 AM GM 再利用 角角边 证明 CDF 和 BGF 全等 根据全等三角形对应边相等可得 GF DF 最后结合图形 GM GF MF 即可 得证 解答 1 解 四边形 ABCD 是菱形 AB CD 1 ACD 1 2 ACD 2 MC MD ME CD CD 2CE CE 1 CD 2 BC CD 2 2 证明 如图 F 为边 BC 的中点 BF CF BC CF CE 在菱形 ABCD 中 AC 平分 BCD ACB ACD 在 CEM 和 CFM 中 CEM CFM SAS ME MF 延长 AB 交 DF 的延长线于点 G AB CD G 2 1 2 1 G 31 AM MG 在 CDF 和 BGF 中 CDF BGF AAS GF DF 由图形可知 GM GF MF AM DF ME 点评 本题考查了菱形的性质 全等三角形的判定与性质 等角对等边的性质 作出辅助线构造出全等三 角形是解题的关键 12 2014 南平 在图 1 图 2 图 3 图 4 中 点 P 在线段 BC 上移动 不与 B C 重合 M 在 BC 的延长 线上 1 如图 1 ABC 和 APE 均为正三角形 连接 CE 求证 ABP ACE ECM 的度数为 60 2 如图 2 若四边形 ABCD 和四边形 APEF 均为正方形 连接 CE 则 ECM 的度数为 45 如图 3 若五边形 ABCDF 和五边形 APEGH 均为正五边形 连接 CE 则 ECM 的度数为 36 3 如图 4 n 边形 ABC 和 n 边形 APE 均为正 n 边形 连接 CE 请你探索并猜想 ECM 的度数与正多边 形边数 n 的数量关系 用含 n 的式子表示 ECM 的度数 并利用图 4 放大后的局部图形 证明你的 结论 32 考点 四边形综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 探究型 分析 1 由 ABC 与 APE 均为正三角形得出相等的角与边 即可得出 ABP ACE 由 ABP ACE 得出 ACE B 60 即可得出 ECM 的度数 2 作 EN BN 交 BM 于点 N 由 ABP ACE 利用角及边的关系 得出 CN EN 即可得出 ECM 的度数 作 EN BN 交 BM 于点 N 由 ABP ACE 得出角及边的关系 得出 CN EN 即可得出 ECM 的 度数 3 过 E 作 EK CD 交 BM 于点 K 由正多边形的性质可得出 ABP PKE 利用角及边的关系 得出 CK KE 即 EKC 是等腰三角形 根据多边形的内角即可求出 ECM 的度数 解答 解 1 证明 如图 1 ABC 与 APE 均为正三角形 AB AC AP AE BAC PAE 60 BAC PAC PAE PAC 即 BAP CAE 在 ABP 和 ACE 中 ABP ACE SAS ABP ACE ACE B 60 ACB 60 ECM 180 60 60 60 故答案为 60 2 如图 2 作 EN BN 交 BM 于点 N 34 四边形 ABCD 和 APEF 均为正方形 AP PE B ENP 90 BAP APB EPM APB 90 即 BAP NPE 在 ABP 和 PNE 中 ABP ACE AAS AB PN BP EN BP PC PC CN AB BP CN CN EN ECM CEN 45 如图 3 作 EN CD 交 BM 于点 N 五边形 ABCDF 和 APEGH 均为正五边方形 AP PE B BCD EN CD PNE BCD B PNE BAP APB EPM APB 180 B 即 BAP NPE 在 ABP 和 PNE 中 ABP ACE AAS AB PN BP EN BP PC PC CN AB BP CN CN EN NCE NEC CNE BCD 108 35 ECM CEN 180 CNE 180 108 36 故答案为 45 36 3 如图 4 中 过 E 作 EK CD 交 BM 于点 K n 边形 ABC 和 n 边形 APE 为正 n 边形 AB BC AP PE ABC BCD APE APK ABC BAP AP