第二章圆锥曲线 (3)VIP

章末检测卷章末检测卷 二二 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 双曲线 3x2 y2 9 的实轴长是 A 2 B 2 C 4 D 4 3232 答案 A 解析 3x2 y2 9 1 x2 3 y2 9 a 2a 2 33 2 抛物线 y2 8x 的焦点到准线的距离是 A 1 B 2 C 4 D 8 答案 C 解析 2p 8 p 4 3 椭圆 1 与双曲线 1 有相同的焦点 则 k 应满足的条件是 x2 9 y2 k2 x2 k y2 3 A k 3 B 2 k 3 C k 2 D 0 k0 c k 2 9 k2k 3 4 F1 F2是椭圆 1 a b 0 的两焦点 P 是椭圆上任一点 过一焦点引 F1PF2的外 x2 a2 y2 b2 角平分线的垂线 则垂足 Q 的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 A 解析 PQ 平分 F1PA 且 PQ AF1 Q 为 AF1的中点 且 PF1 PA OQ AF2 PA PF2 a 1 2 1 2 Q 点轨迹是以 O 为圆心 a 为半径的圆 5 直线 y x 3 与曲线 1 y2 9 x x 4 A 没有交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D 有三个交点 答案 D 解析 当 x 0 时 双曲线 1 的渐近线为 y x 而直线 y x 3 斜率为 1 1b 0 与双曲线 1 m 0 n 0 有相同的焦点 c 0 和 c 0 x2 a2 y2 b2 x2 m2 y2 n2 若 c 是 a m 的等比中项 n2是 2m2与 c2的等差中项 则椭圆的离心率是 A B C D 3 3 2 2 1 4 1 2 答案 D 解析 由题意可得Error Error 解得 e c2 a2 1 4 c a 1 2 7 与抛物线 x2 4y 关于直线 x y 0 对称的抛物线的焦点坐标是 A 1 0 B 0 1 16 C 1 0 D 0 1 16 答案 C 解析 x2 4y 关于 x y 0 对称的曲线为 y2 4x 其焦点为 1 0 8 如图 F1 F2是椭圆 C1 y2 1 与双曲线 C2的公共焦点 A B 分别是 C1 C2在第二 x2 4 四象限的公共点 若四边形 AF1BF2为矩形 则 C2的离心率是 A B C D 23 3 2 6 2 答案 D 解析 F1F2 2 设双曲线的方程为 1 3 x2 a2 y2 b2 AF2 AF1 4 AF2 AF1 2a AF2 2 a AF1 2 a 在 Rt F1AF2中 F1AF2 90 AF1 2 AF2 2 F1F2 2 即 2 a 2 2 a 2 2 2 3 a e 故选 D 2 c a 3 2 6 2 9 已知椭圆的中心在原点 离心率 e 且它的一个焦点与抛物线 y2 4x 的焦点重合 1 2 则此椭圆方程为 A 1 B 1 x2 4 y2 3 x2 8 y2 6 C y2 1 D y2 1 x2 2 x2 4 答案 A 解析 抛物线焦点为 1 0 c 1 又椭圆的离心率 e a 2 b2 a2 c2 3 1 2 椭圆的方程为 1 故选 A x2 4 y2 3 10 等轴双曲线 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 C 与抛物线 y2 16x 的准线交于 A B 两点 AB 4 则 C 的实轴长为 3 A B 2 C 4 D 8 22 答案 C 解析 设 C 1 x2 a2 y2 a2 抛物线 y2 16x 的准线为 x 4 联立 1 和 x 4 得 A 4 x2 a2 y2 a216 a2 B 4 16 a2 AB 2 4 16 a23 a 2 2a 4 C 的实轴长为 4 11 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则 x2 4 y2 3 OP 的最大值为 FP A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由椭圆方程得 F 1 0 设 P x0 y0 则 x0 y0 x0 1 y0 x x0 y OP FP 2 02 0 P 为椭圆上一点 1 x2 0 4 y2 0 3 x x0 3 1 OP FP 2 0 x2 0 4 x0 3 x0 2 2 2 x2 0 4 1 4 2 x0 2 的最大值在 x0 2 时取得 且最大值等于 6 OP FP 12 从双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 F1引圆 x2 y2 a2的切线 切点为 T 延长 F1T 交 x2 a2 y2 b2 双曲线右支于 P 点 若 M 为线段 F1P 的中点 O 为坐标原点 则 MO MT 与 b a 的大小 关系为 A MO MT b a B MO MT b a C MO MT b 0 x2 a2 y2 b2 由题意得Error Error BF BA AB 2 BF 2 AF 2 a c 2 a2 b2 a2 c2 ac a2 0 e2 e 1 0 又 0 e0 b 0 过焦点 F1的弦 AB A B 在双曲线的同支上 长为 x2 a2 y2 b2 m 另一焦点为 F2 求 ABF2的周长 解 AF2 AF1 2a BF2 BF1 2a AF2 AF1 BF2 BF1 4a 又 AF1 BF1 AB m AF2 BF2 4a AF1 BF1 4a m ABF2的周长等于 AF2 BF2 AB 4a 2m 18 12 分 如图 直线 l y x b 与抛物线 C x2 4y 相切于点 A 1 求实数 b 的值 2 求以点 A 为圆心 且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 解 1 由Error Error 得 x2 4x 4b 0 因为直线 l 与抛物线 C 相切 所以 4 2 4 4b 0 解得 b 1 2 由 1 可知 b 1 故方程 即为 x2 4x 4 0 解得 x 2 代入 x2 4y 得 y 1 故点 A 2 1 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y 1 的距离 即 r 1 1 2 所以圆 A 的方程为 x 2 2 y 1 2 4 19 12 分 过抛物线 y2 4x 的焦点 F 作直线 l 与抛物线交于 A B 两点 求证 AOB 是钝角 三角形 证明 焦点 F 为 1 0 过点 F 且与抛物线交于点 A B 的直线可设为 ky x 1 代入抛物 线 y2 4x 得 y2 4ky 4 0 则有 yAyB 4 则 xAxB 1 y2 A 4 y2 B 4 又 OA OB cos AOB OA OB xAxB yAyB 1 4 3b 0 的离心率为 右焦点为 2 0 斜率为 1 的直 x2 a2 y2 b2 6 32 线 l 与椭圆 G 交于 A B 两点 以 AB 为底边作等腰三角形 顶点为 P 3 2 1 求椭圆 G 的方程 2 求 PAB 的面积 解 1 由已知得 c 2 2 c a 6 3 解得 a 2 又 b2 a2 c2 4 3 所以椭圆 G 的方程为 1 x2 12 y2 4 2 设直线 l 的方程为 y x m 由Error Error 得 4x2 6mx 3m2 12 0 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1b 0 的左 右焦点分别是 F1 F2 离心率为 过 F1且垂 x2 a2 y2 b2 3 2 直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 1 求椭圆 C 的方程 2 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点 连接 PF1 PF2 设 F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M m 0 求 m 的取值范围 3 在 2 的条件下 过点 P 作斜率为 k 的直线 l 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 设直 线 PF1 PF2的斜率分别为 k1 k2 若 k 0 试证明 为定值 并求出这个定值 1 kk1 1 kk2 解 1 由已知得 e 1 c a 3 2 c2 a2 1 4b2 又 c2 a2 b2 所以 a2 4 b2 1 故椭圆 C 的方程为 y2 1 x2 4 2 方法一 如图 由题意知 即 整理得 F1M MF2 PF1 PF2 PF1 4 PF1 c m c m 3 m 3 m m PF1 2 3 2 又 a c PF1 a c 即 2 PF1 2 33 m 故 m 的取值范围为 m 3 2 3 2 3 2 3 2 方法二 由题意知 PF1 PM PF1 PM PF2 PM PF2 PM 即 PF1 PM PF1 PF2 PM PF2 设 P x0 y0 其中 x 4 将向量坐标化得 m 4x 16 3x 12x0 2 02 03 0 所以 m x0 而 x0 2 2 所以 m 3 4 3 2 3 2 3 设 P x0 y0 y0 0 则直线 l 的方程为 y y0 k x x0 联立Error Error 整理得 1 4k2 x2 8 ky0 k2x0 x 4 y 2kx0y0 k2x 1 0 2 02 0 所以 64 ky0 k2x0 2 16 1 4k2 y 2kx0y0 k2x 1