第十一章概率与统计

第十一章 概率与统计 1 离散型随机变量 对于随机变量可能取的值我们可以按一定次序一一列出 2 分布列 指出了随机变量可能取的值 以及取这些值的概率 3 性质 1 3 2 1 0 21 PP iPi 4 1 x 2 x 3 x n x P1 P 2 P 3 P n P 期望值 反应的是离散型随机变量的取值的平均水平 nnp xpxpxE 2211 5 baEbaE npEpnB 则若 6 方差 2 2 21 2 1 pExpExD 标准差 D 7 DabaD 2 pqnpqDpnB 1 其中则若 概率习题 1 若离散型随机变量的分布列为 01 P cc 2 9 c83 求 c 的值 3 1 1830 190 1839 2 2 c c cc ccc 解 由题意可知 2 一袋中装有 5 只球 编号为 1 2 3 4 5 在袋中同时取 3 只 以表示取出的 3 只 球中的最大编号 写出随机变量的分布列 解 由题意可知的取值为 3 4 5 5 3 5 10 3 4 10 1 3 3 5 2 4 3 5 2 3 3 5 2 2 C C P C C P C C P 时当 时当 时当 可得的分布列为 345 P 10 1 10 3 5 3 3 将 3 个小球任意地放入 4 个大的玻璃杯中去 杯子中球的最大个数记为 求的分布 列 16 1 4 3 16 9 4 2 8 3 4 1 3 1 4 3 1 3 1 4 2 3 3 3 4 C P CCC P A P 时当 时当 时解 当 可得的分布列为 123 P 8 3 16 9 16 1 4 一盒中有 9 个正品和 3 个次品零件 每次取一个零件 如果取出的是次品不再放回 求 在取得正品前已经取出的次品数的概率分布 并求 5 5 2 1 P 解 可能取到的值为 0 1 2 3 这四个数 而表示共取了次零件 前 k 1 k k 次都是次品 第次才是正品 其中 k 0 1 2 31 k 4 3 0 1 12 1 9 C C P说明第一次取到正品 时当 44 9 1 1 11 1 9 1 12 1 3 C C C C P说明第二次取到正品 时当 220 9 2 1 10 1 9 1 11 1 2 1 12 1 3 C C C C C C P说明第三次取到正品 时当 220 1 3 1 9 1 9 1 10 1 1 1 11 1 2 1 12 1 3 C C C C C C C C P说明第四次取到正品 时当 可得的分布列为 0123 P 4 3 44 9 220 9 220 1 220 54 220 9 44 9 2 5 2 1 21 PPP 5 一名学生骑自行车上学 从他家到学校的途中有 6 个交通岗 假设他在各个交通岗遇到 红灯的事件是相互独立的 并且概率都是 3 1 1 设为这名学生在途中遇到的红灯次数 求其分布列 2 设为这名学生在首次停车前经过的路口数 求其分布列 3 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 解 1 3 1 6 B 则的分布列为 kk k CP 6 6 3 2 3 1 2 表示前 k 个路口没有遇到红灯 但在第 k 1 个路口遇上红灯 543210 k 其概率为 n 6 时表示一路没有遇到红灯 3 1 3 2 k P 6 3 2 P 0123456 P 3 1 3 2 3 1 2 3 2 3 1 3 3 2 3 1 4 3 2 3 1 5 3 2 3 1 6 3 2 3 所求概率即 729 665 3 2 1 0 1 6 PP 6 两个代表队进行乒乓球对抗赛 每队三名队员 A 队队员是队队员为BA BAAA 321 按以往多次比赛的统计 对阵队员之间胜负概率如下 321 BBB 对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率 11 BA 对 3 2 3 1 22 BA 对 5 2 5 3 313 BA 对 5 2 5 3 现按表中对阵方式出场 每场胜队得 1 分 负队得 0 分 设两队最后所得总分分别BA 为 1 求的概率分布 2 求 EE 解 1 的可能取值分别为 3 2 1 0 75 8 5 2 5 2 3 2 3 P 75 28 5 2 5 3 3 2 5 2 5 2 3 1 5 3 5 2 3 2 2 P 5 2 5 2 5 3 3 1 5 3 5 2 3 1 5 3 5 3 3 2 1 P 75 3 5 3 5 3 3 1 0 P 根据题意知 所以3 75 8 3 0 PP 75 8 2 1 PP 5 2 1 2 PP 25 3 0 3 PP 2 15 22 25 3 0 5 2 1 75 28 2 75 8 3 E 因为3 所以 15 23 3 EE 7 甲 乙两人独立解出某一道题的概率相同 已知该题甲或乙解出的概率为 0 36 求 1 甲独立解出的概率 2 解出该题的人数的期望值 解 1 设甲 乙独立解出该题的概率为 p 则两人不能解出的概率为 1 p 1 p 则 所以 p 0 236 0 1 1 2 p 2 分布列为 012 P0 640 320 04 4 004 0 232 0 164 0 0 E 8 若则 P 的值 且 pnB 3 6 DE 1 2 1 12 3 1 6 1 p n pnp np pnpDnpEnpB 解 10121 12 23 2 1 1 CP 9 设一次试验成功率为