第八节 函数与方程

第八节第八节 函数与方程函数与方程 一 一 知识清单知识清单 1 函数的零点 1 函数零点的定义 对于函数 y f x 我们把使 的实数 x 叫做函数 y f x 的零点 2 几个等价关系 方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是 不断的一条曲线 并且有 那么 函数 y f x 在区间 内有零点 即存在 c a b 使 得 f c 0 这个 c 也就是方程 f x 0 的根 2 2 二次函数二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像与零点的关系 0 0 0 二次函数 y ax2 bx c a 0 与 x 轴的交点 x1 0 无交点 零点个数两个一个零个 零点 x1 无 练 若函数 f x ax b 有一个零点是 2 那么函数 g x bx2 ax 的零点是 A 0 2 B 0 C 0 D 2 2 1 2 1 2 1 3 3 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 1 1 二分法定义 二分法定义 对于在区间 a b 上连续不断且 的函数 y f x 通过不断地把 函数 f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 二分法求函数二分法求函数 f x 零点近似值步骤如下 零点近似值步骤如下 给定精确度 用二分法求函数 f x 零点近似值的步骤如下 确定区间 a b 验证 f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中 点 c 计算 f c 若 f c 0 则 c 就是函数的零点 若 f a f c 0 则令 b c 此时零点 x0 a c 若 f c f b 0 则令 a c 此时零点 x0 c b 判断是否达到精确度 即 若 a b 则得到零点近似值 a 或 b 否 则重复 二 二 易误点易误点 1 函数y f x 的零点即方程f x 0 的实根 是数不是点 2 f a f b 0 是f x 在区间 a b 上存在零点的充分不必要条件 三 三 常见方法常见方法 1 1 数零点所在区间的判定方法数零点所在区间的判定方法 1 代数法 直接求f x 0 的根 判断所在区间 2 定理法 零点的存在性定理 结合单调性初步判断 定理检验 3 图像交点法 画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标 有几个不同的值 就有几个不同的零点 例 1 函数在区间 1 8 上 存在或不存在 零点 18x3xf x 2 例 2 函数的零点所在区间 2logf x 3 xx A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 例 3 函数的一个零点在区间 1 2 内 则实数 a 的取值a x xf x 2 2 范围 变 存在 使得 则实数 a 的取值范围 2 1 x a x x 2 2 课后思考 存在 使得 则实数 a 的取值范围 2 1 x 2 1 x 21 a x x 2 2 练 1 函数的零点所在的一个区间是 3x2 x xf A 0 2 B 1 0 C 0 1 D 1 2 2 函数的零点所在的一个区间是 2 x x exf A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 2 2 函数零点个数的判断方法函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定 函数有多少个零点 3 利用图象交点的个数 画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的 横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 例 1 函数 f x 2x log0 5x 1 的零点个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 例 2 已知函数 则函数的零点个数 0 log 0 1 2 xx xx xf1 xffy A 4 B 3 C 2 D 1 练 的零点个数 x x xf 2 1 log 2 3cos A 2 B 3 C 4 D 5 1 1 利用函数零点求参数的取值范围问题解法利用函数零点求参数的取值范围问题解法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确 定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的 图像 然后数形结合 例 1 函数axxf lnx 1 若有两个零点 则实数 a 的取