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第五章复合命题及其推理 上 第一节复合命题和命题联结词 一 复合命题的逻辑性质复合命题 包含其他命题的命题 1 所有金属都是固体 2 所有金属都是固体 不合乎事实 复合命题 命题变项 所有金属都是固体 简单命题 词项 概念 变项 金属 固体 第一节复合命题和命题联结词 支命题 复合命题所包含的其他命题 命题联结词 将支命题连接成为复合命题的语词 复合命题的支命题可以是简单命题 也可以是复合命题 3 如果合同有效 那么甲方和乙方就应遵守合同 复合命题的基本形式不止一种 不同种类的复合命题逻辑特性不同 由其组成的有效的推理形式也不一样 第一节复合命题和命题联结词 二 命题联结词不同的命题联结词是区别不同种类复合命题的唯一根据 命题联结词的作用 将支命题连接成为复合命题 反映了复合命题与其支命题之间的真假关系 即复合命题的逻辑特性 不同的命题联结词的逻辑含义 就是相应的复合命题的逻辑特性 第一节复合命题和命题联结词 五种基本的命题联结词 合取词 相当于语言联结词 并且 虽然 但是 不但 而且 一方面 另一方面 既 又 等 析取词 相当于语言联结词 或者 或者 可能 可能 要么 要么 也许 也许 等 第一节复合命题和命题联结词 蕴涵词 相当于语言联结词 如果 则 只要 就 倘若 就 一旦 就 等 等值词 相当于语言联结词 当且仅当 如果且只有 才 等 否定词 相当于语言联结词 并非 是假的 不合乎事实 等 第一节复合命题和命题联结词 从逻辑的角度看 语言联结词主要存在着两个问题 首先 不精确 4 明天或者刮风或者下雨 5 德国队或者小组出线 或者不能小组出线 识别上述语言联结词 或者 或者 表达的两种情况究竟是相容的还是不相容的 需要相关背景知识 超出了逻辑学的范围 第一节复合命题和命题联结词 其次 负载了许多非逻辑的内容 6 他参加了3届奥运会并且获得过5枚金牌 7 他获得过5枚金牌并且参加了3届奥运会 语言联结词所具有的非逻辑内容 时间 意义 情感等 会在接受者的心理上产生不同的影响或效果 它们属于与修辞学 言语交际 信息传播等相关的领域 至少首先不属于逻辑学的范围 第一节复合命题和命题联结词 既 又 一方面 另一方面 不但 而且 虽然 但是 并且 合取词 舍弃语言联结词的非逻辑性质 仅仅关注复合命题与支命题之间的真假关系 第一节复合命题和命题联结词 命题联结词是语言联结词的逻辑抽象 真值联结词 在真假二值逻辑中 命题联结词只反映复合命题与其支命题之间的真假关系 舍弃了语言联结词所具有其他非逻辑的含义 现代逻辑通常借助一些人工符号来代表相应的命题联结词 第二节联言命题及其有效推理 一 联言命题的性质和逻辑形式联言命题 断定事物的若干种情况同时存在的命题 8 我们不但善于破坏旧世界 而且善于建立新世界 9 生也有涯 而知也无涯 10 小李和小张都是足球迷 11 华东师范大学一方面是教育部直属大学 另一方面又接受教育部和上海市的共建共管 联言支 构成联言命题的支命题 联言支至少有两个 也可以多于两个 第二节联言命题及其有效推理 合取词 从真值方面对 并且 虽然 但是 不但 而且 等语言联结词的抽象 读作 合取 如果用p q表示联言支 具有两个支命题的联言命题的逻辑形式记为 p q 读作 p合取q 第二节联言命题及其有效推理 在自然语言中 如果一个联言命题的两个 或两个以上的 支命题具有相同的主项或谓项 为了表达的简洁 可以适当地省略其相同的部分 如 12 农业银行 工商银行和建设银行都是专业银行 13 农业银行是专业银行 工商银行是专业银行 而且建设银行也是专业银行 第二节联言命题及其有效推理 二 联言命题的逻辑性质及其真值表联言命题的逻辑性质 当所有支命题为真时 联言命题才是真的 只要有一个支命题为假 整个联言命题就是假的 p q是真的 当且仅当p是真的 并且q是真的 第二节联言命题及其有效推理 在现代逻辑中 通常用真值表来定义命题联结词的逻辑含义 真值表 用来显示复合命题在其变项的各种真假组合下的真假情况的图表 其中 用 T true 代表真 F false 代表假 也可以用 1 代表真 0 代表假 在真值表中 有n个不同的命题变项 就会有2n组真假搭配的组合 故要列出2n行真假组合 第二节联言命题及其有效推理 三 联言推理的有效式联言推理 仅仅以联言命题为前提或结论 并根据联言命题的逻辑性质进行推演的推理 分解式p qp q或pq14 既然跨世纪的干部应该德才兼备 所以 跨世纪的干部应该有才能 第二节联言命题及其有效推理 第二节联言命题及其有效推理 组合式pqp q 15 鉴于中国政治经济发展不平衡 中国是个半殖民地国家 中国是个大国 中国是经过一次大革命的 因此 中国是一个经过了一次大革命的 政治经济发展不平衡的 半殖民地的大国 第三节选言命题及其有效推理 一 选言命题的性质及其种类选言命题 断定事物若干种可能情况的命题 16 小强发烧或者是由于痢疾 或者是由于肺炎 17 物质的聚集态 要么是固态 要么是液态 要么是气态 要么是等离子态 选言支 选言命题的支命题 选言支至少有两个 也可多于两个 第三节选言命题及其有效推理 选言命题可分为相容选言命题和不相容选言命题两种 二 相容选言命题及其有效推理形式 一 相容选言命题的逻辑形式 逻辑性质与真值表相容选言命题 断定事物的几种可能情况可以同时并存的选言命题 18 液体沸腾 或者由于温度升高 或者由于压力下降 第三节选言命题及其有效推理 语言联结词 或者 或者 可能 也可能 也许 也许 等 析取词 读作 析取 如果用p q表示选言支 具有两个支命题的相容选言命题的逻辑形式记为 p q 读作 p析取q 相容选言命题的逻辑性质 只要有一个选言支为真 相容选言命题就是真的 只有当全部的选言支为假时 相容选言命题才为假 p q是真的 当且仅当p和q至少有一真 第三节选言命题及其有效推理 第三节选言命题及其有效推理 第三节选言命题及其有效推理 二 相容选言推理的有效式相容选言推理 前提之一为相容选言命题并根据其逻辑性质推演的推理 否定肯定式p qp q p或 qqp其中 表示对命题的否定 19 一个错误的推理 或者是由于它的前提不真实 或者因为其推理形式不正确 经检查 这个错误的推理的前提是真实的 因此 这个推理的错误在于推理形式不正确 第三节选言命题及其有效推理 第三节选言命题及其有效推理 相容选言推理的规则 否定部分选言肢 就要肯定其余选言肢 就二支的选言前提而言 或其余选言支的析取 就三支或三支以上的选言前提而言 肯定部分选言肢 不能对其余选言肢有所断定 第三节选言命题及其有效推理 三 不相容选言命题及其有效推理形式 一 不相容选言命题的逻辑形式 逻辑性质与真值表 不相容选言命题 断定几种可能情况不能同时并存的选言命题 语言联结词 不是 就是 要么 要么 或者 或者 等 不相容析取词 读作 严格析取 第三节选言命题及其有效推理 如果用p q表示选言支 具有两个支命题的不相容的选言命题的逻辑形式记为 p q 读作 p严格析取q 不相容选言命题的逻辑性质 当且仅当只一个选言支为真时 不相容选言命题才是真的 p q是真的 当且仅当p和q中有且仅有一真 第三节选言命题及其有效推理 第三节选言命题及其有效推理 二 不相容选言推理的有效式不相容选言推理 前提之一为不相容选言命题 并根据其逻辑性质进行推演的推理 否定肯定式p qp q p或 qqp 第三节选言命题及其有效推理 20 这件出土文物要么是唐朝的 要么是宋朝的 考古学家最后认定它不是唐朝的 显然 这件出土文物是宋朝的 第三节选言命题及其有效推理 肯定否定式p qp qp或q q p21 这个三角形要么是钝角三角形 要么是锐角三角形 要么是直角三角形 经计算 这个三角形是直角三角形 所以 这个三角形不是钝角三角形 也不是锐角三角形 第三节选言命题及其有效推理 不相容选言推理的推理规则 肯定一个选言支 就要否定其余的选言支 否定部分选言支 就要肯定其余的选言支 就二支的选言前提而言 或其余选言支的不相容析取 就三支或三支以上的选言前提而言 第四节假言命题及其有效推理 一 假言命题的性质及其种类假言命题 断定事物情况之间条件关系的命题 即断定一事物情况是另一事物情况的条件的命题 22 如果物体相互摩擦 那么物体就会生热 23 只有年满18周岁 才有选举权 24 当且仅当一个三角形是等边三角形时 这个三角形才是等角三角形 假言命题有且仅有两个支命题 前件 断定条件的支命题 后件 断定依赖条件而成立的事物情况的命题 假言命题的前件和后件本身也可能是复合命题 假言命题有三种 分别反映了事物情况之间的充分条件 必要条件和充分必要条件关系 第四节假言命题及其有效推理 第四节假言命题及其有效推理 二 充分条件假言命题及其有效推理形式 一 充分条件假言命题的逻辑形式 逻辑性质与真值表充分条件假言命题 断定前件陈述的事物情况是后件陈述的事物情况的充分条件的假言命题 所谓前件是后件的充分条件是指 只要前件所断定的事物情况存在 后件所断定的事物情况就一定存在 即所谓 有之必然 的条件关系 25 如果这部手机我手中滑落 那么它会摔得粉碎 第四节假言命题及其有效推理 语言联结词 如果 则 只要 就 若 必 倘若 则 等 蕴涵词 读作 蕴涵 如果用命题变项p和q分别表示前件和后件 则充分条件假言命题的逻辑形式可表示为 p q 读作 p蕴涵q 第四节假言命题及其有效推理 充分条件假言命题的逻辑性质 当前件真而后件假时 充分条件假言命题是假的 一个真的充分条件假言命题并不要求前 后件都为真 26 如果我们已经制造出抗SARS病毒的疫苗 那么SARS就不会象2003年那样在大范围内传播 这是一个真的充分条件假言命题 尽管其前件和后件都是假命题 第四节假言命题及其有效推理 27 如果一个同学没有来上课 那么他肯定患上了SARS 很容易找到一个没有来上课的同学 但没有患SARS 这就意味着 一个人没有来上课 并不是 这个人患有SARS 的 有之必然 的条件 即充分条件 p q是假的 当且仅当p真且q假 第四节假言命题及其有效推理 第四节假言命题及其有效推理 二 充分条件假言推理的有效式充分条件假言推理 前提之一为充分条件假言命题并根据其逻辑性质进行推演的推理 肯定前件式p qpq28 如果是星期二 那么有逻辑课 今天是星期二 所以今天有逻辑课 第四节假言命题及其有效推理 否定后件式p q q p29 如果一物体与别的物体相互摩擦 那么该物体就会产生热 这个物体没有产生热 所以 这个物体没有受到摩擦 第四节假言命题及其有效推理 充分条件假言推理的有效式可以横写为 p q p q p q q p横写式中表示前提和结论之间关系的符号与蕴涵词是相同的 这是因为 一切演绎推理实际上都是前提蕴涵结论的推理 有效的演绎推理的前提和结论的逻辑关系应当是 前提真则结论必然真 的蕴涵关系 因此演绎推理的有效式均可横写为蕴涵式 第四节假言命题及其有效推理 充分条件假言推理的推理规则 肯定前件就要肯定后件 否定后件就要否定前件 否定前件不能断定后件 肯定后件不能断定前件 第四节假言命题及其有效推理 三 必要条件假言命题及其有效推理形式 一 必要条件假言命题的逻辑形式 逻辑性质与真值表必要条件假言命题 断定前件陈述的事物情况是后件陈述的事物情况的必要条件的假言命题 所谓前件是后件的必要条件是指 如果不存在前件所断定的事物情况 后件所断定的事物情况就一定不存在 即所谓 无之必不然 的条件关系 30 只有张某具备作案时间 他才可能是作案者 第四节假言命题及其有效推理 语言联结词 只有 才 必须 才 如果不 那么就不 除非 否则 等 逆蕴涵词 读作 逆蕴涵 如果用命题变项p和q分别表示前件和后件 则必要条件假言命题的逻辑形式可表示为 p q 读作 p逆蕴涵q 第四节假言命题及其有效推理 必要条件假言命题的逻辑性质 当前件为假而后件真时 必要条件假言命题是假的 p q是假的 当且仅当p假而q真 第四节假言命题及其有效推理 第四节假言命题及其有效推理 二 必要条件假言推理的有效式必要条件假言推理 前提之一为必要条件假言命题并根据其逻辑性质进行推演的推理 第四节假言命题及其有效推理 否定前件式p q p q31 只有年满18周岁 才有选举权 小王只有13岁 故他还没有选举权 可横写为 p q p q 第四节假言命题及其有效推理 肯定后件式p qqp32 只有年满18周岁 才有选举权 小王已在去年12月份行使过选举权 因此 他肯定年满18周岁 可横写为 p q q p 第四节假言命题及其有效推理 必要条件假言推理的推理规则 否定前件就要否定后件 肯定后件就要肯定前件 肯定前件不能断定后件 否定后件不能断定前件 第四节假言命题及其有效推理 四 充分必要条件假言命题及其有效推理形式 一 充分必要条件假言命题的逻辑形式 逻辑性质与真值表充分必要条件假言命题 断定前件既是后件的充分条件又是后件的必要条件的假言命题 它刻画的是一种 有之必然 无之必不然 的条件关系 33 当且仅当一个三角形的三个内角都是60 时 这个三角形的三条边才相等 第四节假言命题及其有效推理 语言联结词 当且仅当 则 只要并且只有 才 如果 则 并且如果不 则不 等 等值词 读作 等值 如果用命题变项p和q分别表示前件和后件 则充分必要条件假言命题的逻辑形式可表示为 p q 读作 p等值q 第四节假言命题及其有效推理 充分必要条件假言命题的逻辑性质 当前 后件均真或均假时 充分必要条件假言命题都是真的 p q是真的 当且仅