“三种转化”在平行线问题中的应用

1 3 三种转化三种转化 在平行线问题中的应用在平行线问题中的应用 在数学里 把一个对象转化为另一个对象 常常可以化繁为简 化未知为 已知 从而达到解决问题的目的 这种思考问题的方法 就是 转化 下面就 一起看看转化思想在解决平行线的有关问题中的应用 一 一 数数 与与 形形 的互化的互化 平行线的条件就是把同位角 内错角 同旁内角之间的数量关系 数 转 化为两直线的位置关系 形 而平行线的性质就是把两直线的位置关系 形 转化为同位角 内错角 同旁内角之间的数量关系 数 例例 1 如图 已知 AB CD EF 分别交 AB CD 于点 E F 若 1 64 则 3 度 分析分析 题目条件是 形 因为 1 与 3 是 AB CD 被 EF 所截的同位角 根 据两直线平行 同位角相等 可得 3 1 将 形 转化为 数 问题得以解 决 解解 因为 AB CD 根据 两直线平行 同位角相等 可得 3 1 64 所 以 2 64 二 角转化二 角转化 与平行线有关的角有三类 同位角 内错角 同旁内角 当问题中出现的 角不是这三类角时 要将它们转化为这三类角 再利用平行线的性质解决问 题 角的转化要特别注意对顶角 余 补 角等性质的应用 例例 2 如图 A B C 三点在同一直线上 1 2 3 D 试说明 BD CE E A B C D 1 2 3 2 3 分析分析 先由 数 向 形 转化 即由 1 2 得 AD EB 再 形 向 数 转化 即由 AD EB 得 D DBE 再进行角的转化 即由 D DBE 和 3 D 得 3 DBE 最后再由 数 向 形 转化 即由 3 DBE 得 BD CE 解解 因为 1 2 所以 AD BE 内错角相等 两直线平行 所以 D DBE 两直线平行 内错角相等 因为 3 D 所以 3 DBE 等量代换 所以 BD CE 内错角相等 两直线平行 三 图形的转化三 图形的转化 两条平行线被第三条直线所截 是平行线中的一个重要的 基本图形 所 有的与平行线有关的角都存在于这个 基本图形 中 且都分布在 第三条直线 的两旁 当发现题目的图形 不完整 时 要通过适当的辅助线将其补完整 将 非基本图形 转化为 基本图形 例例 3 如图 AB CD 若 ABE 120 DCE 35 则有 BEC 度 分析分析 从图形上看 由于没有一条直线截 AB 与 CD 所以无法直接运用平 行线的相关性质 这就需要构造出 两条平行线被第三条直线所截 基本图形后 才可以运用平行线的条件或性质 本题转化方法有两条思路 一是构造与 AB CD 都相交的截线 但需要用到三角形内角和是 180 二是可过 E 点作 EF AB 根据平行于第三条直线的两直线平行 可得 EF CD 这样可将图形转 化 解解 作 EF AB 因为 AB CD 根据平行于第三条直线的两直线平行 所以 3 3 EF CD 所以 ABE BEF 180 FEC C 所以 BEC ABE DCE 120 35 155 从上面的