第十七章勾股定理

人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 1 第十七章 勾股定理 内容和内容解析内容和内容解析 本节课为人教版八年级数学下册第十七章第一节 教材 21 页至 39 页 不 含探究 1 的内容 其内容包括章前对勾股定理整章的引入 2002 年北京召开的 国际数学家大会的会徽及 赵爽弦图 的简介 反映了我国古代对勾股定理的研 究成果 是对学生进行爱国主义教育的良好素材 教材正文中从毕达哥拉斯发现 等腰直角三角形的边之间的数量关系这一事实引入对勾股定理的探究 用面积法 得到勾股定理的结论 而后教材又重点从 赵爽弦图 的方法对勾股定理进行了 详细的论证 勾股定理是几何中几个重要定理之一 揭示了直角三角形三边之间的数量关 系 是对直角三角形性质的进一步学习和深入 它可以解决许多直角三角形中的 计算问题 在实际生活中用途很大 它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域 中也被广泛地应用 而说明数学是一门基础学科 是人们生活的基本工具 学生接受勾股定理的内容 在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平 方 这一事实从学习的角度不难 包括对它的应用也不成问题 但对勾股定理的 论证 教材中介绍的面积证法即 依据图形经过割补拼接后 只要没有重叠 没 有空隙 面积就不会改变 学生接受起来有障碍 是第一次接触面积法 因此 从面积的 分割 补全 两种方法进行演示同时学生动手亲自拼接图形构成 赵爽弦图 并亲自验证三个正方形之间的面积关系得到勾股定理的证明 有利 的让学生经历了 感知 猜想 验证 概括 证明 的认知过程 感触知识的产 生 发展 形成以提高学生学习习惯和能力 本节的后续学习中 对勾股定理运用的探究和勾股定理逆命题的论证和应用 都是将图形与数量紧密的结合 将有利的培养学生数形结合的意识以提高学生分 析问题 解决问题的能力 同时也为后期学习四边形 圆中的有关计算及计算物 体面积奠定基础 因此本节课无论从知识的角度还是从数学技能 数学思想方法 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 2 及数学活动经验等层面都起着举足轻重的作用 为此 教学重点 勾股定理的内 容 教学难点 勾股定理的论证 课题 课题 17 117 1 勾股定理勾股定理 一 教材分析 本节课是人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理 本节之前学生 已经学习了三角形一些知识 角三角形三边的关系 勾股定理是反映自然界基本规律的一条 重要结论 它是直角三角形的一条重要性质 揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 它把三角形有一个直角的 形 的特点 转化为三边之间的 数 的关系 它是数形结合的 典范 它可以解决许多直角三角形中的计算问题 勾股定理有着悠久的历史 在数学发展中 起过重要的作用 在现实世界中有着广泛的作用 是初中数学教学内容重点之一 学生通过 对勾股定理的学习 可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解 也可了解我 国古代在勾股定理研究方面的成就 激发热爱祖国 热爱祖国悠久文化的思想感情 二 学情分析 勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习 的 学生对几何图形的观察 几何图形的分析能力已经初步形成 学生从一般直角三角形中 找出存在的面积关系可能有难点 要让学生充分交流 结合课件展示帮助学生解决问题 学 习过程中可通过学习小组讨论 合作交流 教师帮助学生形成解决问题的思路 三三 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 1 理解回顾直角三角形中三角之间的关系 掌握新知即三边之间关系 2 理解勾股定理的内涵 并能用勾股定理进行简单的计算 3 通过画图实验 让学生经历探索勾股定理的过程 发展合情推理的能力 体 会数形结合的思想 过程与方法 过程与方法 1 掌握勾股定理的内容 初步会用它进行有关计算 即已知两 边 运用勾股定理列式求第三边 2 应用勾股定理解决实际问题 探索性问题和应用性问题 3 经历探索勾股定理内容的过程 学会简单的合情推理与数学说理 4 通过勾股定理的简单应用 能用数学的眼 情感与态度与价值观情感与态度与价值观 培养学生参与的积极性 及合作交流的意识 学生通过适 当训练 养成数学说理的习惯 逐步体验数学说理的重要性在探索勾股定理的过 程中 体验获得成功的快乐 锻炼学生克服困难的勇气 引导学生积极探索 注 意观察生活 体验生活中的数学 通过了解我国古代在勾股定理研究方面 的成就 激发热爱祖国 热爱祖国悠久文化的思想感情 四 教学重点和难点四 教学重点和难点 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 3 1 1 重点 重点 1 体验勾股定理的发现过程 勾股定理的内涵 2 勾股定理的简单应用 即在直角三角形中 知道两边 可以求第 三边 2 2 难点难点 1 勾股定理的发现过程 2 应用勾股定理时斜边或直角的确定 推理格式的正确书写 3 灵活运用勾股定理 五五 课时安排课时安排 四课时 六六 教学方法 教学方法 主要采用启发式 探究式教学 由浅入深 由特殊到一般提出问题 教学中通过对形的计算 使学生了解数对形的意义 使数形结合在 勾股定理教学中得到充分的展示 并精心设计随堂变式练习 巩固和 提高学生的认知水平 七七 学习方法 学习方法 引导学生采用观察思考 动手实践 自主探索 合作交流的学习方法 使 学 生主动获得知识并发展能力 在学生进行了自主探索之后 让他们进行合作 交流 使他们互相促进 共同学习 八八 教具准备教具准备 课件与三角形 九九 学具准备 三角尺学具准备 三角尺 1010 教学过程教学过程 第一课时第一课时 创设情境 导入新课 一 教学目标一 教学目标 知识与技能知识与技能 通过观察 分析方格图 经历探索勾股定理的过程 会运用勾股定理 进行简单的计算 过程与方法 过程与方法 在勾股定理探索过程中 发展合情推理能力 体会数形结合思想 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生参与的积极性 及合作交流的意识 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 1 重点 探索勾股定理 2 难点 探索勾股定理 教学过程 师 同学们听说过外星人吗 生 齐答 听说过 师 外星人就是生活在别的星球上的智慧生物 长期以来 人类一直在寻找外星 人 并试图与他们交流 那么怎么寻找外星人 又怎么与外星人交流呢 主要 的办法是向处太空发射探测器 希望有朝一日外星人能接收到探测器发出的信 号 最好能直接收到探测器 为什么要直接收到探测器 因为在探测器里有很 多图片 这些图片反映了地球的情况 地球人的形象 生活和文明成果 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 4 师 在这些图片中 有一张图片特别有意思 它所反映的恰好是我们这节课要学 习的内容 这是一张什么样的图片呢 师出示下图 二 尝试指导 讲授新课 师 指准图 在这张图片上 中间画的是一个直角三角形 这个直角三角形的 一条直角边等于 3 另一条直角边等于 4 斜边等于 5 在直角三角形的外面画 了三个正方形 这三个正方形的边长分别是 3 4 5 所以这个正方形的面积 是 9 这个正方形的面积是 16 这个正方形的面积是 25 师 现在要问大家的是 通过这个图形地球人想告诉外星人什么呢 如果你是外 星人 你看到这个图形能发现什么呢 让生观察思考 要给学生充足的观察思考时间 师 指图 谁来说说从这个图形你发现了什么 生 多让几名同学发表看法 师 指准图 这个正方形的面积是 9 这个正方形的面积是 16 这个正方形的 面积是 25 9 16 恰好等于 25 可见 这个正方形的面积加上这个正方形的面 积恰好等于这个大正方形的面积 板书 一个正方形的面积 另一个正方形的 面积 大正方形的面积 师 指准图 从这三个正方形面积的关系 我们可以进一步发现这个直角三角 形三边的关系 师 指准图 看到没有 这个正方形的面积实际上就是这条直角边的平方 这 个正方形的面积实际上就是这条直角边的平方 而这个正方形的面积实际上就 是这条斜边的平方 可见 这条直角边的平方加上这条直角边的平方恰好等于 这条斜边的平方 板书 一条直角边的平方 另一条直角边的平方 斜边的平方 师 以上我们通过观察分析图形 发现这个直角三角形的三边有这样的关系 指准式子 一条直角边的平方 另一条直角边的平方 斜边的平方 师 发现了这个关系 我们会进一步想到一个问题 什么问题 稍停后边讲边 指准图 这个直角三角形的三边有这样的关系 那么别的三角形的三边是否也 有这样的关系呢 师 下面我们就来看别的直角三角形的情况 师出示下图 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 5 A B C 师 指准图 这个图的中间是一个直角三角形 外面是三个正方形 正方形 A 以这条直角边为边长 正方形 B 以这条直角边为边长 正方形 C 以斜边为边长 现 在我们来算一算正方形 A B C 的面积 师 指准图 正方形 A 的面积是多少 生 齐答 4 师在图中注上 4 师 指准图 正方形 B 的面积是多少 生 齐答 9 师在图中注上 9 师 指准图 正方形 C 的面积是多少 生 让生思考一会儿 师 正方形 C 的面积不好算 怎么来计算正方形 C 的面积呢 师用彩笔在上图画出大正方形 如下图所示 C B A 师 指准图 正方形 C 的面积等于这个大正方形的面积减去这四个直角三角形 的面积 师 指准图 这个大正方形的面积等于多少 稍停 它的边长为 5 所以面 积为 25 这个直角三角形的面积等于多少 稍停 它的这条直角边为 2 这 条直角边为 3 所以面积为 2 3 3 其它几个直角形的面积也都等于 3 所 1 2 以四个直角三角形的面积等于 12 师 指准图 这个大正方形的面积为 25 四个直角三角形的面积为 12 所以 正方形 C 的面积是 13 在图中注上 13 师 指准图 正方形 A B C 的面积都求出来了 正方形 A 的面积为 4 正方 形 B 的面积为 9 正方形 C 的面积为 13 现在我们可以看到 正方形 A 的面积 加上正方形 B 的面积恰好等于正方形 C 的面积 板书 正方形 A 的面积 正方 形 B 的面积 正方形 C 的面积 师 指准图 从三个正方形面积的关系 我们可以进一步得出这个直角三角形 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 6 三边的关系 师 指准图 正方形 A 的面积就是这条直角边的平方 正方形 B 的面积就是这 条直角边的平方 正方形 C 的面积就是斜边的平方 所以这个直角三角形的三 边有这样的的关系 这条直角边的平方加上这条直角边的平方恰好等于斜边的 平方 板书 一条直角边的平方 另一条直角边的平方 斜边的平方 师 指准图 可见 这个直角三角形的三边也具有我们刚才所说的那种关系 师 下面同学们自己再来看一个直角三角形 看一看这个直角三角形的三边是否 也具有这种关系 三 试探练习 回授调节 1 探究题 如图 填空 1 正方形 A 的面积 正方形 B 的面积 正方形 C 的面积 2 正方形 A B C 的面积具有的关系是 3 中间的直角三角形的三边具有的关系是 四 尝试指导 讲授新课 师 通过上面的探索 关于直角三角形三边的关系 同学们能得出一个什么结论 呢 生 多让几名同学发表看法 要鼓励学生用自己的语言 哪怕是不十分准 确的语言 来表达他们感悟到的东西 师出示下图 师 我们可以得出这样的结论 指准图 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 师出示板书 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 师 请大家把这个结论读两遍 生读 师 这个结论很重要 也很有用 有了这个结论 已知直角三角形的两边 我们 可以求出第三边 下面我们就来看一个例题 师出示例题 例 求出下列直角三角形中未知边的长度 1 2 c b a 12 5 C B A 2 3 AB C A B C 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 7 师边讲解边板演 解题过程如下 解 1 AB2 AC2 BC2 122 52 169 AB 13169 2 AC2 AB2 BC2 32 22 5 AC 5 五 试探练习 回授调节 2 a b 表示直角边 c 表示斜边 填空 1 已知 a 9 b 12 则 c 2 已知 b 5 c 7 则 a 六 归纳小结 布置作业 师 本节课我们探索了直角三角形三边的关系 通过探索得出了一个结论 请大 家把这个结论再读一遍 生读 师 利用这个结论 已知直角三角形的两边可以求出第三边 作业 P69习题 1 后进生要求背诵勾股定理 四 板书设计 图一 图二 大正方形的面积 正方形 C 的面积 如果 斜边的平方 斜边的平方 那么 a2 b2 c2 例 课后反思 课题 17 1 勾股定理 第 2 课 一 教学目标一 教学目标 知识与技能知识与技能 了解勾股定理的证明 会运用勾股定理进行简单的计算 过程方法 过程方法 进一步体会证明的必要性和数形结合思想 情感态度与价值观 情感态度与价值观 学生通过适当训练 养成数学说理的习惯 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 1 重点 勾股定理的证明及简单运用 2 难点 勾股定理的证明 教学过程教学过程 c b a 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 8 师 上节课我们通过探索得到了这个结论 请大家把这个结论读一遍 生读 如果直角三角形的两直角边长分别分如果直角三角形的两直角边长分别分 a a b b 斜边长为 斜边长为 c c 那么那么 那么那么 a a2 2 b b2 2 c c2 2 师 大家回忆一下 这个结论我们是怎么得到的 稍停 我们观察了几个直角 三角形 发现它们的三边都具有 a2 b2 c2这样的关系 于是我们得出所有直角 三角形的三边都具有这样的关系 下面我们自己动手做以下几个题目 一 基本训练 巩固旧知 1 填空 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 c2 2 填空 1 如图 BC 2 如图 AB 第 1 题图 第 2 题图 二 创设情境 导入新课 师出示下面的板书 如果直角三角形的两直角边长分别分 a b 斜边长为 c 那么那么 a2 b2 c2 师 通过对几个直角三角形的观察就得出一般性的结论 这样得到的结论不一定 可靠 为什么这么说呢 譬如 有一名新同学第一天来学校上学 他发现上第 一节课的数学老师是一位男老师 上第二节课的语文老师也是一位男老师 上 第三节课的英语老师也是男老师 于是他得出一个结论 说这个班的所有老师 都是男老师 这位同学得出的这个结论可靠吗 稍停 不可靠 为什么不可靠 因为他只观察了三门课的老师 没有把其它课的老师都观察遍 如果他能观察 遍每门课的老师 发现都是男老师 他才能说 这个班的所有老师都是男老师 同 样道理 要得出所有直角三角形的三边都具有 a2 b2 c2的关系 我们需要观察 每一个直角三角形 看它们是否都具有 a2 b2 c2这样的关系 但这是做不到的 为什么做不到 因为直角三角形有无数个 我们不可能一个一个去观察 所以 做不到 那怎么办呢 稍停 师 我们可以通过推理去证明这个结论 板书 证明 下面我们就来证明这个 结论 三 尝试指导 讲授新课 师 指准图 这个结论 已知是直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长 为 c 要求证的是 a2 b2 c2 怎么证明呢 师 出示剪好的直角三角形 老师剪了四个相同的直角三角形 这四个直角三 角形与画在黑板上的直角三角形也是一模一样的 边讲边比试 看到没有 这四个直角三角形与画在黑板上的直角三角形是一模一样的 师 好了 现在我们把这四个相同的直角三角形拼成一个图 15 17 B C A 2 1 A C B c a b 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 9 师慢慢地拼图 要让学生看清拼图的过程 拼好的图如下所示 师 图形拼好了 指准图 这四个相同的直角三角形围成了一个什么图形 稍停 围成了一个大正方形 师 指准图 这个大正方形的边长是什么 是 a 是 b 还是 c 生 齐答 是 c 师在图中注上 c 师 指准图 这个图的中空部分有一个小正方形 这个小正方形的边长等于什 么 让生思考一会儿 谁来说 生 让几名同学回答 师 指准图 这条边的长为 b 这条边的长为 a 所以小正方形的边长为 b a 师 明确了大正方形的边长和小正方形的边长 接下来就可以证明这个结论了 师 指准图 大正方形的面积等于什么 稍停 等于 c2 边讲边板书 c2 师 指准图 同时 大正方形的面积又等于这四个直角三角形的面积再加上小 正方形的面积 师 指准图 四个直角三角形的面积等于什么 稍停 等于 4 边讲 1 ab 2 边板书 4 小正方形的面积等于什么 稍停 等于 b a 2 边讲 1 ab 2 边板书 b a 2 师 指 c2 c2表示大正方形的面积 指 4 b a 2 这个式子也表示 1 ab 2 大正方形的面积 所以它们相等 边讲边板书 师 指 4 b a 2 大家把右边这个式子化简一下 看能得到什么 1 ab 2 生化简式子 师 化简后的式子是什么 生 a2 b2 师板书 a2 b2 师 指准式子 可见 a2 b2 c2 板书 a2 b2 c2 这就是我们要证明的结论 师 结论得到了证明 这个结论就成了定理 板书 定理 这个定理很出名 它还有一个专门的名字 叫勾股定理 板书 勾股 师 下面我们就用勾股定理来做几个题目 师出示例题 例 求出下列直角三角形中未知边的长度 1 2 师边讲解边板演 解题过程如下 2 B A C 30 B C A 45 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 10 解 1 BC AB 2 1 c a b 1 2 1 2 AC2 AB2 BC2 22 12 3 AC 3 2 AC2 BC2 AB2 AC BC AC2 AB2 22 2 1 2 1 2 AC BC 22 四 试探练习 回授调节 3 填空 1 如图 则 AC AB 2 如图 则 AB AC 4 如图 长方形 ABCD BAC 30 BC 1 填空 1 AC AB 精确到 0 01 2 长方形 ABCD 的面积 精确到 0 1 3 长方形 ABCD 的周长 精确到 0 1 五 归纳小结 布置作业 师 本节课我们学习了勾股定理的证明 指板书 这种证明方法是我国古代数 学家赵爽在 1700 年前提出的 这种证法构思巧妙 过程简洁 值得我们好好 品味 勾股定理的证明方法还有很多 有兴趣的同学课后可以看一看课本 71 页 上的介绍 作业 P70习题 7 后进生课堂练习的 3 4 题 四 板书设计 勾股定理 如果 证明 拼图 例 那么 a2 b2 c2 c2 4 b a 2 a2 b2 1 ab 2 c2 a2 b2 课后反思 1 45 C A B 1 A C B 60 D C B A 30 c b a 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 11 课题 17 1 勾股定理 第 3 课时 一 教学目标一 教学目标 1 知识与技能知识与技能 会运用勾股定理在简单图形中进行计算 发展空间观念 2 过程与方法 过程与方法 会运用勾股定理在数轴上画出表示的点 进一步理解实数与数 n 轴上的点的一一对应关系 情感态度与价值观 情感态度与价值观 在探索勾股定理的过程中 体验获得成功的快乐 锻炼学生 克服困难的勇气 引导学生积极探索 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 1 重点 勾股定理的运用 2 难点 勾股定理的运用 教学过程教学过程 一 基本训练 巩固旧知 1 填空 1 在 ABC 中 C 90 BC 2 AC 3 则 AB 2 在 ABC 中 C 90 BC 2 B 60 则 AC 二 创设情境 导入新课 师 前面两节课我们探索了直角三角形三边的关系 得出了勾股定理 并用中国 古代数学家赵爽的方法证明了勾股定理 这节课我们将运用勾股定理来做两道 题 先看例 1 三 尝试指导 讲授新课 师出示例 1 例 1 如图 等腰 ABC 的腰 AB 3 底边 BC 4 1 求 BC 边上的高 AD 2 求 ABC 的面积 3 画出 AC 边上的高 BE 求 BE 先让生尝试 然后师边讲解边解题 解题过程如下 解 1 BD BC 4 2 1 2 1 2 AD2 AB2 BD2 32 22 5 AD 5 2 ABC 的面积 BC AD 4 2 1 2 1 2 55 D A CB 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 12 3 ABC 的面积 AC BE 即 2 3BE 1 2 5 1 2 解得 BE 4 5 3 四 试探练习 回授调节 2 如图 等边三角形的边长是 6 填空 1 高 AD 的长 2 ABC 的面积 五 尝试指导 讲授新课 师 下面我们再来看一道例题 师出示例 2 例 2 在数轴上画出表示的点 13 师 指数轴 例 2 要我们在数轴上画出表示的点 大家自己先想一想 这13 一点在数轴的什么地方 让生思考一会儿 师 我们知道 是一个无理数 也就是说 它是一个无限不循环小数 用计13 算器可以算出等于 3 6055512 点点点 边讲边板书 3 6055512 1313 师 指板书 3 6055512 它比 3 6 只大一点点 指准数轴 这一点13 表示 3 6 那么就在 3 6 右边紧挨着 3 6 的那一点 这样我们好象找到了表13 示的点 大家想一想 这样找表示的点行不行 为什么 1313 生 多让几名学生发表看法 师 这样找表示的点是不行的 为什么 因为这样找只找到了的大概位1313 置 并没有准确地找到表示的那一点 那么 怎么准确地找到表示的1313 那一点呢 师 下面我们利用勾股定理 来准确地寻找表示的那一点 13 师 首先在数轴上找到点 A 使 OA 3 边讲边画 并注上 A 然后过 A 作垂线 l 边讲边画 并注上 l 在 l 上取点 B 使 AB 2 边讲边画 注上 B 并连 接 OB 大家算一算 OB 等于多少 生计算 生 OB 多让几名同学回答 13 师 指准图 在直角 OBC 中 OA 3 AB 2 根据勾股定理可得 OB 知道13 了 OB 所以我们以原点为圆心 以 OB 为半径作弧 弧与数轴的交点 C 就13 是表示的点 边讲边画 并注上 C 最后板书 点 C 为表示的点 1313 六 试探练习 回授调节 3 在下面的数轴上画出表示的点 17 A BC D 543210 543210 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 13 点 为表示的点 17 4 选做题 在下面的数轴上画出表示的点 15 点 为表示的点 15 七 归纳小结 布置作业 师 这节课我们学习了两个例题 这两个例题都是利用勾股定理来解决问题 指例 1 一个是解决图形中的计算问题 指例 2 一个是解决作图问题 勾 股定理是一个应用很广泛的定理 下一节我们还要学习利用勾股定理解决实际 生活中的问题 同学可以先预习课本第 66 页上的探究题 作业 P70习题 6 8 后进生作课堂练习上还没做完的题 板书设计 例题 1 例题 2 课后反思 课题 17 1 勾股定理 第 4 课时 一 教学目标一 教学目标 知识与技能知识与技能 会从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型 运用勾股定理解决 生活中与直角三角形相关的问题 过程与方法过程与方法应用勾股定理解决实际问题 探索性问题和应用性问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 注意观察生活 体验生活中的数学 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 1 重点 勾股定理在实际生活中的应用 543210 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 14 2 难点 勾股定理在实际生活中的应用 教学过程教学过程 一 创设情境 导入新课 师 上节课我们学习了勾股定理的应用 本节课我们继续学习勾股定理的应用 具体地说 上节课我们学习的是利用勾股定理解决图形的计算和作图问题 而 本节课我们将学习利用勾股定理解决实际生活中的问题 请看例题 二 尝试指导 讲授新课 师出示例题 例 一个门框的尺寸如图所示 一块长 3m 宽 2 2m 的 薄木板能否从门框内通过 为什么 师 大家仔细地把这个题目默读几遍 生读题 师 同桌之间把题目的意思讲一讲 同桌讲题意 师 哪位同学能用自己的语言讲一讲题目的意思 生 让几名同学说 师 大家自己先想一想 薄木板能从门框内通过吗 为什么 生思考 要给学生充足的思考时间 师 为了帮助大家思考 我们来看一看门框和薄木板的模型 出示门框模型 并指准 这是门框 它的宽是 1 米 它的长是 2 米 出示 薄木板模型 并指准 这是薄木板 它的宽是 2 2 米 它的长是 3 米 从你的 感觉来说 薄木板能从门框内通过吗 生自由回答 师 到底能不能通过呢 边讲边演示模型 首先要明确 薄木板要通过门框 应该是长这一头先进去 还宽这一头先进去 稍停 让生自由回答 很明显 应该是宽这一头先进去 师 其次要明确 宽这一头怎么进 边讲边演示模型 横着进 进不去 竖着 进 也进不去 那怎么办 稍停 只能试试斜着能不能进去 斜着进能进去吗 这就要利用勾股定理来计算了 大家算一算看能不能进去 生计算 要给学生充足的时间 师 通过计算 你发现木板能通过门框吗 让生自由回答 师 用虚线连接 AC 并指准图 木板能不能通过门框 关键看什么 稍停 关键看门框对角线 AC 是比木板的宽大还是小 如果大 说明通得过 如果小 说明通不过 现在我们知道木板的宽是 2 2 米 所以只要求出门框对角线 AC 的 长度就可以知道了 师 指准图 在直角 ABC 中 根据勾股定理 AC2 AB2 BC2 12 22 5 边讲边板 书 AC2 AB2 BC2 12 22 5 师 因此 AC 2 236 边讲边板书 AC 2 236 5 5 师 因为 AC 大于木板的宽 所以木板能从门框内通过 边讲边板书 因为 AC 大 于木板的宽 所以木板能从门框内通过 师 边讲边演示模型 从模型上看也是一样的 木板能从门框内通过 三 试探练习 回授调节 1 填空 如图 有一个边长为 50 分米的正方形洞口 想用一个圆盖住这个洞口 圆的直径至少 分米 结果保留整数 2 填空 如图 池塘边有两点 A B A 90 测得 CB 60 米 AC 20 米 DC BA 1m 2m 60 20 A B C 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 15 A B 两点之间的距离 米 结果保留整数 3 填空 已知一个工件尺寸如图 单位 毫米 则 m 的长 毫米 精确到 1 毫米 七 归纳小结 布置作业 师 本节课我们学习了一个例题 又做了几个题目 这些题目都是利用勾股定理 解决实际生活中的问题 通过本节课的学习 你有什么体会 生 让几名同学说 作业 P70习题 2 3 5 四 板书设计 例题 1 练习题 1 2 3 课后反思 课题 17 2 勾股定理的逆定理 教教材分析 材分析 本课人教版教材八年级下册第十七章的勾股定理的 勾股定理的逆定 理 一节 是在上节 勾股定理 之后 继续学习的一个直角三角形的判断定理 它是前面知识的继续和深化 勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之 一 是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一 在以后的解题中 将有 十分广泛的应用 同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想 为将来学习解析几何埋下了伏笔 所以本节也是本章的重要内容之一 课标要求 学生必须掌握 学情学情分析 分析 尽管已到初二下学期学生知识增多 能力增强 但思维的局限性还 很大 能力也有差距 而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到 它要求 根据已知条件构造一个直角三角形 根据学生的智能状况 学生不容易想到 因 此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点 这样如何添辅助线就是解决它的关 键 这样就确定了本节课的重点 难点和关键 m 64 88 88 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 16 教学目标教学目标 根据数学课标的要求和教材的具体内容 结合学生实际我确定了本节课的教学目 标 知识技能 知识技能 1 理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理 2 掌握勾股定理的逆定理 并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是 直角三角形 过程与方法过程与方法 1 通过对勾股定理的逆定理的探索 经历知识的发生 发展与形成的过程 2 通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状 体验数与形结合方法的 应用 3 通过勾股定理的逆定理的证明 体会数与形结合方法在问题解决中的作用 并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状 体验数与形的内在联系 感 受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系 教学重点教学重点探究勾股定理的逆定理 理解互逆命题 原命题 逆命题的有关概念及关系 教学难点 教学难点 归纳 猜想勾股定理逆命题的正确性 课时安排 课时安排 两节课时 教学方法 教学方法 本节课我主要采用了以学生为主体 引导发现 操作探究的教学方法 即不违反科学性又符合可接受性原则 这样有利于培养学生的学习兴趣 调动学 生的学习积极性 发展学生的思维 有利于培养学生动手 观察 分析 猜想 验证 推理能力和创新能力 有利于学生从感性认识上升到理性认识 加深对所 学知识的理解和掌握 有利于突破难点和突出重点 学习方法 学习方法 本节课我还采用了理论联系实际的教学原则 以教师为主导 学生为 主体的教学原则 通过联系学生现有的经验和感性认识 由最邻近的知识去向本 节课迁移 通过动手操作让学生独立探讨 主动获取知识 教具准备 课件与三角板教具准备 课件与三角板 学具准备 三角板学具准备 三角板课题 17 2 勾股定理的逆定理 第 1 课时 一 教学目标一 教学目标 知识与技能 知识与技能 复习巩固命题的意义和组成 知道逆命题的意义 会根据原命题写出 它的逆命题 知道原命题成立逆命题不一定成立 过程与方法 过程与方法 会写出勾股定理的逆命题 会通过画图猜想这个逆命题的正确性 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 17 情感态度与价值观 情感态度与价值观 体验数与形的内在联系 感受定理与逆定理之间的和谐及辩 证统一的关系 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 1 重点 逆命题 2 难点 猜想勾股定理逆命题的正确性 教学过程教学过程 一 尝试指导 讲授新课 师出示下面的板书 如果两直线平行 那么同位角相等 师 指板书 黑板上写了一句话 请大家把这句话读一遍 生读 师 这句话是对一件事情的判断 所以这句话又叫做什么 稍停 又叫做命题 板书 命题 师 指准板书 命题一般可以写成 如果什么什么 那么什么什么 的形式 如果 后面的部分叫做题设 边讲边划线并板书 题设 那么 后面的 部分叫做结论 边讲边划线并板书 结论 师 指准板书 现在我们把这个命题的题设和结论交换一下 这样我们可以得 到一个新的命题 这个新的命题怎么说 生 如果同位角相等 那么两直线平行 让几名同学回答 然后师板书 如果 同位角相等 那么两直线平行 师 指准板书 题设和结论经过交换 我们把这个命题叫做这个命题的逆命题 板书 逆命题 而原来这个命题就叫做原命题 在 命题 两字前板书 原 师 下面我们再来看一个命题 板书 对顶角相等 师 指板书 大家想一想 对顶角相等 的逆命题怎么说 让生思考一会儿 师 指板书 要说出 对顶角相等 这个命题的逆命题 先要把这个命题写成 如果什么什么 那么什么什么 的样子 谁来说这种样子怎么写呢 生 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 让一两名好生说 然后师在别 处板书 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 师 指板书 我们把命题写成了 如果什么什么 那么什么什么 的样子 现 在谁来说 对顶角相等 这个命题的逆命题 生 如果两个角相等 那么这两个角是对顶角 师板书 如果两个角相等 那 么这两个角是对顶角 师 指板书 下面我们来看一看 这些命题成不成立 我们知道 命题有真有 假 能成立的命题是真命题 不能成立的命题是假命题 师 指准命题 如果两直线平行 那么同位角相等 这个命题成立吗 生 齐答 成立 师板书 成立 师 指准命题 它的逆命题 如果同位角相等 那么两直线平行 成立吗 生 齐答 成立 师板书 成立 师 指准命题 对顶角相等 这个命题成立吗 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 18 生 齐答 成立 师板书 成立 师 指准命题 它的逆命题 如果两个角相等 那么这两个角是对顶角 成立 吗 师 齐答 不成立 师板书 不成立 师 从这些命题的真假可以看出 原命题成立逆命题不一定成立 指准板书 看到没有 这个原命题成立 它的逆命题也成立 这个原命题成立 但它的逆 命题却不成立 所以说 原命题成立逆命题不一定成立 二 试探练习 回授调节 1 填空 1 命题 两直线平行 内错角相等 的逆命题是 原命题成立 逆命题成立 2 命题 如果两个实数相等 那么它们绝对值相等 的逆命题是 原命题 成立 逆命题 3 命题 全等三角形的对应角相等 的逆命题是 原命题 逆命 题 三 尝试指导 讲授新课 师出示下面的板书 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 师 指板书 这是勾股定理 大家想一想 勾股定理的逆命题怎么说 让生 思考一会儿 谁会说 生 让几名同学说 师出示下面的板书 如果直角三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角 形 师 指板书 勾股定理的逆命题应该是这样的 大家一起来把逆命题读两遍 生读 师 刚才我们说过 原命题成立逆命题不一定成立 你觉得勾股定理的逆命题成 立吗 生 多让几名同学发表自己的看法 师 指板书 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是 直角三角形 要一下判断这个命题成不成立 好像有点没有把握 怎么办 我们 先来看一道探究题 师出示探究题 三角形三边分别为 3 分米 4 分米 5 分米 1 这个三角形的三边满足 32 42 52吗 2 画出这个三角形 3 画出的三角形是直角三角形吗 师边讲解边完成探究题 要用尺子和圆规画三角形 要注意讲清作法 师 指准题目 从这道题目我们可以看出 边长为 3 分米 4 分米 5 分米的 三角形 三边满足 32 42 52 这个三角形是直角三角形 师 那么 别的三边满足 a2 b2 c2的三角形也是直角三角形吗 请大家自己完成 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 19 下面的探究题 四 试探练习 回授调节 2 探究题 三角形三边分别为 2 5 厘米 6 厘米 6 5 厘米 1 这个三角形的三边满足 2 52 62 6 52吗 2 画出这个三角形 3 画出的三角形是直角三角形吗 4 通过上面的探究 你猜想勾股定理的逆命题成立吗 五 归纳小结 布置作业 师 指准板书 本节课我们学习了逆命题 交换题设和结论 得到的命题就是 原命题的逆命题 我们发现 原命题成立逆命题不一定成立 师 指准板书 本节课我们还探究了勾股定理的逆命题是否成立 通过画图 我们猜想这个逆命题是成立的 当然这只是猜想 下节课我们要通过推理来证 明勾股定理的逆命题 作业 P76习题 2 后进生课堂练习的 4 5 板书设计 原命题 逆命题 探究题 如果两直线 成立 如果同位角 成立 题设 对顶角相等 成立 如果两个角 不成立 如果直角三角形 如果三角形的三边 课后反思 课题 17 2 勾股定理的逆定理 第 2 课时 一 教学目标一 教学目标 知识与技能知识与技能 知道勾股定理的逆定理 了解勾股定理的逆定理的证明 进一步体 会证明的必要性 过程与方法 过程与方法 了解勾股定理的逆定理的证明 进一步体会证明的必要性 情感态度与价值观 情感态度与价值观 感悟勾股定理和逆定理的应用价值 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 20 会利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 1 重点 勾股定理的逆定理及其运用 2 难点 勾股定理的逆命题的证明 教学过程教学过程师 上节课我们画了几个三角形 发现只要两边平方和等于第三边的平 方 那么画出来的三角形就是直角三角形 于是我们猜想勾股定理的逆命题是 成立的 但是 只画几个三角形就断定勾股定理的逆命题成立 这有点不可靠 要断定勾股定理的逆命题是成立的 我先做几个题目 一 基本训练 巩固旧知 1 填空 1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 2 勾股定理的逆命题 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个 三角形是 三角形 二 创设情境 导入新课 师 上节课我们画了几个三角形 发现只要两边平方和等于第三边的平方 那么 画出来的三角形就是直角三角形 于是我们猜想勾股定理的逆命题是成立的 但是 只画几个三角形就断定勾股定理的逆命题成立 这有点不可靠 要断定 勾股定理的逆命题是成立的 我们必须干什么 生 齐答 必须证明 师 对 必须通过推理来证明 下面我们就来证明勾股定理的逆命题 三 尝试指导 讲授新课 师出示下面的板书 如果直角三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 师 指准图 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 这个命 题就是勾股定理的逆命题 师 怎么证明这个命题呢 师 先要画一个直角三角形 A B C 出示下图 师 所画的直角 A B C 是怎么样的呢 指准图 所画的直角 A B C 的 这条直角边也等于 a 这条直角边也等于 b C 90 师 指准图 现在你能证明 ABC A B C 吗 如果能证明 那么 C C 90 这样就证明了 ABC 是直角三角形 所以 问题的关键是如何 证明 ABC A B C 大家想一想 如何证明这两个三角形全等 让生思考 一会儿 B A C a b c b a C A B 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 21 师 指准第一个图 在这个三角形中 已知 a2 b2 c2 所以 c 边讲 22 ab 边在图中注上 22 ab 师 指准第二个图 在这个直角三角形中 根据勾股定理 A B 等于什么 稍停 也等于 边讲边在图中注上 22 ab 22 ab 师 指准图 对照一下这两个三角形 稍停 看到没有 这两个三角形的三 边对应相等 所以 ABC A B C 所以 C C 90 也就是说 ABC 是直角三角形 师 这样 勾股定理的逆命题得到了证明 这个逆命题也就成了一个定理 那么 这个定理叫什么定理呢 稍停 叫做勾股定理的逆定理 板书 勾股定理的 逆定理 师 下面我们用勾股定理的逆定理来做一个题目 师出示例 1 例 1 判断由线段 a b c 组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 17 c 8 2 a 13 b 14 c 15 师 指准例 1 线段 a 15 b 17 c 8 怎么利用勾股定理的逆定理判断由这 三条线段组成的三角形是不是直角三角形 让生思考一会儿 师 指准例 1 在这三条线段中 a 和 c 比较短 b 最长 我们只要看两条较短 的线段 a 和 c 的平方和是否恰好等于最长的线段 b 的平方 等于说明组成的是 直角三角形 不等于说明组成的不是直角三角形 师 下面我们把解题过程写出来 以下师边讲解边解题 解题过程如课本第 75 页所示 四 试探练习 回授调节 2 判断下面线段 a b c 组成的三角形是不是直角三角形 是的画 不是 的画 1 a 6 b 8 c 10 2 a 13 b 5 c 12 3 a 5 b 12 c 14 4 a b 1 c 3 5 4 5 五 尝试指导 讲授新课 基础较差的班 例 2 及练习可暂不作要求 师 下面我们再来看一道例题 师出示例 2 例 2 如果 m 表示大于 1 的整数 a 2m b m2 1 c m2 1 那么线段 a b c 组成 的三角形是直角三角形吗 为什么 先让生读题 然后师分析解题思路 最后写出解题过程 解题过程如下 解 由线段 a b c 组成的三角形是直角三角形 因为 a2 b2 2m 2 m2 1 2 m4 2m2 1 c2 m2 1 2 m4 2m2 1 所以 a2 b2 c2 根据勾股定理的逆定理可得出上面的结论 六 试探练习 回授调节 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 22 3 以 3 4 5 为边长的三角形是直角三角形 我们把像 3 4 5 这样的三个正整 数 叫做勾股数 利用例 2 的结果 请写出五组勾股数 七 归纳小结 布置作业 师 本节课我们学习了勾股定理的逆定理 大家把这个定理读一遍 生读 师 指准例 1 给出三角形的三边 利用勾股定理的逆定理 可以判断这个三 角形是不是直角三角形 怎么判断 稍停 只要看较短两边的平方和是否等 于最长边的平方 如果是 说明这个三角形是直角三角形 如果不是 说明这 个三角形不是直角三角形 作业 P76习题 1 四 板书设计 勾股定理的逆定理 例 1 例 2 如果三角形的三边 图一 图二 课后反思 课题 第十八章勾股定理复习 第 1 2 课时 1 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 1 理解并会证明勾股定理的逆定理 2 会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形 3 知道什么叫勾股数 记住一些觉见的勾股数教学目标 过程与方法 过程与方法 1 通过勾股定理与其逆定理的比较 提高学生的辨析能力 2 通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用 提高综合运用知识的能力 情感态度与价值观情感态度与价值观 1 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受 2 通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征 教学重点教学重点 勾股定理的逆定理及其应用 它可用边的关系判断一个三角形是否 为直角三角形 为判断三角形的形状提供了一个有力的依据 教学难点 教学难点 勾股定理的逆定理的应用 在用勾股定理的逆定理时 分不清哪一条 边作斜边 因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错 另外 在解 决有关综合问题时 要将给的边的数量关系经过代数变化 最后达到一个目标式 这种 转化 对学生来讲也是一个困难的地方 人教版人教版 数学八年级下册数学八年级下册 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 23 三 教学过程三 教学过程 一 归纳总结 完善认知 a b c 已知三边 判定 是不是直角三角形 应 用 勾股定理的逆定理 互逆命题 已知直角三角形 的两边 求第三边 应 用 勾股定理 上面的知识结构图 要结合下面的讲解逐步板书出来