关于高三二轮复习的一点思考11111z

1 关于高三二轮复习的一点思考关于高三二轮复习的一点思考 华中科技大学附中 刘运新 高三复习进行到现在 基本上已转入或即将转入第二轮复习 我们知道 第一轮复 习重在打基础 拉网式地将知识过一遍 并力求做到不遗漏任何知识点 而第二轮复 习是一个承上启下的阶段 且是一个拿分数的关键阶段 故有 二轮看水平 之说 二轮看水平 概括了第二轮复习的思路 目标和要求 具体地说 二轮复习的目的 主要体现在以下三个方面 第一 进一步完善知识网络 通过第一轮复习学生的知识点基本到位 已形成了一个局域网 通过第二轮我们 要使学生的知识串联成一个全面的互联网 要使学生模糊的知识清晰起来 缺漏的板 块填补起来 杂乱的方法梳理起来 孤立的思想联系起来 形成条理化 系统化的知 识框架 明确 考什么 怎么考 第二 将掌握的知识进一步转化为实际解题能力 通过专题复习 对各重点 热点 难点问题进行提炼 把握各题型的特点和规律 把握解题方法 优化解题思路 进一步提高实际解题能力 第三 进一步完善应试技巧 有了较完善的知识网络 有了一定的实际解题能力 还需要学生思考和总结应试 的技巧 需要老师在训练中指导学生完善适合自己的应试技巧 这样才能有较好的结 果 为达到以上目的 因此 第二轮复习的指导思想可概括为 巩固 完善 综合 提高 巩固 即巩固第一轮单元复习的成果 把巩固三基 基础知识 基本方法 基本 思想 放在首位 强化知识的记忆与系统 完善 就是通过此轮复习 查漏补缺 进一步建立数学思想 知识规律 方法运 用等体系并不断完善 综合 就是在课堂例题及课外训练中 减少单一知识点的试题 增强知识点之间 的衔接 增强试题的综合性和灵活性 通性通法的应用 提高 就是进一步培养和提高学生对数学问题的阅读与概括能力 分析问题和解 决问题的能力 因此 二轮复习是一个非常关键的阶段 以下就如何进行第二轮复习谈一些肤浅 的想法 不妥之处 敬请批评指正 一 通过专题复习 使学生的知识把握由局域网向互联网转变 把握一 通过专题复习 使学生的知识把握由局域网向互联网转变 把握 2 好几个主干知识的命题思想及解题方法 好几个主干知识的命题思想及解题方法 在第一轮复习中 复习重在基础知识的回顾 目的是让知识结构中不存在盲区 采用的复习方法是 以课本为本 在第一轮复习结束后 知识点在学生的意识形态中 还是孤立的 没有通过知识点之间的内在关系联系起来 另外 由于知识点多 杂 难以让学生一下子记住和掌握 更不用说灵活地运用 在第二轮复习中 我们必须将 这些知识点串联起来 由孤立的局域网向互联网转化 使知识形成一个整体的中学数 学知识网络体系 明确高考 考什么 怎么考 再研究 如何应考 高考命题的理念可归纳为 1 立足教材基础 注重三基考查 2 关注主干重点 突出能力立意 3 注重通性通法 淡化特殊技巧 4 关注社会热点 考查数学应用 5 知识网络 交汇 考查思想方法 6 适度创新意识 考查数学潜能 7 倡导理性思维 甄 别数学素质 8 顺应课程改革 体现课改精神 因此 我们应秉乘上述理念 在各专题复习及综合训练中分析思考 主干知识在 命题中 如何切入 如何设问 对每一种设问如何寻找突破口去应答 即 切入 设问 应答 下面以几个 主干知识 为线索 谈一谈想法 1 三角问题 高考中把三角函数作为函数的一种 突出考查它的图像和性质 尤其以形如 的图像性质为主 对三角公式和三角变形的考查 或与三角函数的图 sin xAy 像与性质相结合 或直接化简求值 在化简求值的问题中 不仅考查学生对相关变换 公式掌握的熟练程度 更重要的是以三角变换公式为素材 重点考查相关的数学思想 和方法 对解三角形的问题 常考查求三角函数的值 求三角形的内角 边 面积等 综合考查三角变换 正弦定理 余弦定理以及综合运用三角 平面向量 函数与导数 等知识的能力 其 切入 与 设问 具体体现可归纳为以下几个方面 1 给出三角函数的部分图像 以正弦为主 或图像反映出的性质 要求求三角 函数的解析式 并研究其有关性质或求其角的三角函数值 如 2012 年湖南数学 文 第 18 题 四川数学 理 第 18 题 重庆文 19 陕西 文 17 理 16 2011 年浙江文 18 等 解此类问题要注意的是零点对应的横坐标的表达式 2012 湖南文 18 已知函数的部分图像 如图所示 求函数 f x 的解析式 求函数的单调递增区间 3 2012 四川理 18 函数在一个周期内的图象如图所示 为图 2 6cos3cos3 0 2 x f xx A 象的最高点 为图象与轴的交点 且为正三角形 BCxABC 求的值及函数的值域 f x 若 且 求的值 0 8 3 5 f x 0 10 2 33 x 0 1 f x 2012 重庆文 19 设函数 其中 在处取得最大值 2 sin f xAx 0 0 A 6 x 其图象与轴的相邻两个交点的距离为 I 求的解析式 II 求函数 2 f x 的值域 42 6cossin1 6 xx g x f x 2012 陕西文 17 函数 的最大值为 3 其图像相邻两条对称轴之 sin 1 6 f xAx 0 0A 间的距离为 2 1 求函数的解析式 f x 2 设 则 求的值 0 2 2 2 f 2012 陕西理 16 函数 的最大值为 3 其图像相邻两条对称 sin 1 6 f xAx 0 0A 轴之间的距离为 2 求函数的解析式 f x 4 设 则 求的值 0 2 2 2 f 20112011 浙江文浙江文 18 18 已知函数 的部分图像 如图 sin 3 f xAx xR 0A 0 2 yf x 所示 分别为该图像的最高点和最低点 点的坐标为 PQP 1 A 求的最小正周期及的值 若点的坐标为 求 f x R 1 0 2 3 PRQ 的值 A 2 给出较复杂的三角函数解析式 要求化简此解析式 再根据化简式进行图像 变换 研究性质 求角或求某角的某一三角函数值等 如 2012 天津理 15 山东理 17 安徽理 16 北京文 15 湖北文 18 等 2012 天津理 15 已知函数 2 sin 2 sin 2 2cos1 33 f xxxx xR 求函数的最小正周期 f x 求函数在区间上的最大值和最小值 f x 4 4 2012 安徽理 16 设函数 2 2 cos 2 sin 24 f xxx I 求函数的最小正周期 f x II 设函数对任意 有 且当时 求 g xxR 2 g xg x 0 2 x 1 2 g xf x 函数在上的解析式 g x 0 2012 北京文 15 已知函数 sincos sin2 sin xxx f x x 1 求的定义域及最小正周期 f x 2 求的单调递增区间 f x 2012 湖北文 18 设函数 f x 的图像关于直线 x 对称 其中为常数 且 5 1 求函数 f x 的最小正周期 2 若 y f x 的图像经过点 求函数 f x 的值域 3 给出含有三角函数式的向量的坐标形式 给出向量的运算 要求对向量的运 算进行化简 求三角函数解析式 研究与 2 所述同样的问题 如 2012 山东理 17 湖北理 17 等等 2012 山东理 17 已知向量 函数的最大值为 6 sin 1 3 cos cos2 0 3 A mxnAxx A f xm n 求 A 将函数的图象向左平移个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短 yf x 12 为原来的倍 纵坐标不变 得到函数的图象 求在上的值域 1 2 yg x g x 5 0 24 2012 湖北理 17 已知向量 cossin sin xxx a cossin 2 3cos xxx b 设函数 f x a b x R的图象关于直线 x 对称 其中 为常数 且 1 1 2 求函数 f x的最小正周期 若 yf x 的图象经过点 0 4 求函数 f x在区间 3 0 5 上的取值范围 此两类问题的应答 注意几种常见形式的解题规律 引入辅助角的问题 cos sin fy 降次转化为形引入辅助角 cos sin cos sin 22 fy cossinba 或转化为含或的二次 sin cos sin 22 fy cos cos sin 22 fy sin cos 函数问题 令 换元转化为二次函数问题等 cossin cos sin fyt cos sin 等 4 角的范围以线性约束条件形式给出 这类与线性规划综合考查的问题 如福 建文 21 2011 福建文 21 设函数 f 其中 角的顶点与坐标原点重合 始边与 x 轴非负 3sincos 半轴重合 终边经过点 P x y 且 0 1 若点 P 的坐标为 求的值 13 22 f 6 II 若点 P x y 为平面区域 上的一个动点 试确定角的取值范 x y1 x1 y1 围 并求函数的最小值和最大值 f 5 与归纳推理综合考查的问题 给出一组三角恒等式归纳出一般规律 并进行 证明 如 2012 福建文 20 理 17 2012 福建理 17 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个 常数 1 2 sin 13cos17sin13 cos17 2 2 sin 15cos15sin15 cos15 3 2 sin 18cos12sin18 cos12 4 2 sin 18 cos48sin 18 cos48 5 2 sin 25 cos55sin 25 cos55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广三角恒等式 并证明你的结论 以上两类问题切入新颖 但稍加转化 还是常见的三角问题 6 在三角形中给出其边 角关系 求边 求角 或求角 或含角 的三角函数 值 求面积等 每年都有较多地采用这类命题模式 解题的一般思想 将条件转化成边或都化成角去变形 注意等积法思想的运用 三角的复习中 我们还要关注几个问题 1 作某一三角函数在某一范围的图像问题 以正弦和余弦为主 2 证一个教材上定理或公式 再求角的问题 例 1 写出用表示的公式并证明 cos cos sin sin cos 2 求的值 13 5 4 sin 5 3 cos 2 0 4 0 4 cos 3 注意给出三角形中边角关系的恒等式的化简的训练 三角问题的命题湖北这两年较常见 2011 湖北 16 设的内角所对的边分别为 已知 ABC CBA cba 1 a2 b 4 1 cos C 7 求的周长 ABC 求的值 CA cos 2 解析几何 解析几何问题是常考常 新 的题型 新 主要在命题的切入点及设问的方式上 认真阅读试题 理解清楚是关键 其热点主要是以下几个方面 只要我们弄清解题基 本规律和方法 这类题可以得到大部分分数甚至全部 1 轨迹问题 主要有 直接法 其关键是寻找轨迹上的点所满足的条件 尤其是隐含的条件转 化为方程 定义法 证明轨迹上的点满足某曲线的定义 相关点法 主要是将要 求轨迹上的点到转化到已知轨迹上的点 难一点的是转化为易求轨迹上的点 参数 法 关键是引参 角参数 线参数 斜率 截距作为参数 点的横或纵坐标作为参数 轨迹上的点要较容易地由此参数表示出来 交轨法 实质上仍为参数法 轨迹上的 点为两条动曲线的交点 引参后将此两条动曲线由此参数表示出来 消参即可 待 定系数法 这是最基本的方法 一般知道轨迹形状后 用此方法 注意椭圆 双曲线 方程统一形式 及知渐近线设双曲线方程的一般方法 1 22 nymx 2 直线与圆锥曲线的位置关系问题 注意直线方程的两种设法 与灵活选用 可简化运算 减少bkxy amyx 讨论 一些斜率可不存在但不能为 0 常用 amyx 联立直线与圆锥曲线方程后 一是解出交点 易求或已知某一交点常用此法 二 是设出交点 根据韦达定理写出关系式 或 注意判别式的讨 2121 xxxx 2121 yyyy 论 对于及的应用 注意两方面的应用 一是整体代换 这是最常见的一种 21 xx 21x x 即将题中其它的条件转化为用表示 从而解决问题 如弦长问题 中点问 2121 xxxx 题 面积问题等 又如可以由表示 只要能由此表示即成功 2 1 x x 2 1 2 2 1 21 2 21 x x x x xx xx 了一半 二是把它当作两个方程 再与其他方程联立 解决问题 尤其是给出有弦端点的 向量条件 常转化为方程 对于中点弦的问题 常用点差法 注 两方程相差一减可减出 中点坐标 减 出 弦所在直线的斜率 减出 弦中点与原点连线的斜率 3 定点 定值问题 主要是两种思维方式 一是参数法 即将要证明 或求 过定点的直线或曲线的方程用某一参数表示出 来 再根据参数整理方程 即求得定点 关键是参数的选取 8 对于定值问题 将要证为定值的量的全体或部分用某参数表示出来 通过计算与 参数无关 二是特殊到一般 即由特殊的位置或极限位置或参数取特殊值探出定点或定值 再证明对一般情形成立 解题时 常可由特殊法探求定点定值 再由参数法解题 这样参数法变形就有了 目标 4 最值与取值范围的问题 解决此类问题一般有两类方法 一是几何方法 1 由几何定理或性质找到取最值的点或线 或范围问题的边界点 线 2 由几何定理或性质进行运算求最值或取值范围 二是代数方法 1 不等式法 即建立含要求最值或取值范围的量的不等式 通过解不等式 求得最 值或取值范围 常用来建立不等式的有 判别式 椭圆 双曲线的离心率 曲线上点 的坐标 题中所给的范围等 2 函数法 选取参数 将要求最值或取值范围的量表示为这个参数的函数 然后用 求函数值域或最值的方法 求最值或取值范围 常用参数有直线的斜率 截距 曲kb 线上点的横坐标或纵坐标等 注意不要忘了导数及均值不等式 对勾函数等的应用 湖北 2011 2012 解几试题 2012 湖北理 21 21 本小题满分 13 分 设A是单位圆 22 1xy 上的任意一点 l是过点A与x轴垂直的直线 D是直线l与 x 轴的交点 点M在直线l上 且满足 0 1 DMm DAmm 且 当点A在圆上 运动时 记点 M 的轨迹为曲线C 求曲线C的方程 判断曲线C为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 过原点且斜率为k的直线交曲线C于P Q两点 其中P在第一象限 它在 y轴上的射影为点N 直线QN交曲线C于另一点H 是否存在m 使得对任 意的0k 都有PQPH 若存在 求m的值 若不存在 请说明理由 2011 湖北数学理 20 平面内与两定点1 0 Aa 2 0 A a 0 a 连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹 加上1A 2A两点所成的曲线C可以是圆 椭圆成双曲线 求曲线C的方程 并讨论C的形状与m值得关系 当1m 时 对应的曲线为 1 C 对给定的 1 0 0 mU 对应的曲线为 2 C 设 1 F 2 F是 2 C的两个焦点 试问 在 1 C上 是否存在点N 使得 1 FN 2 F的面积 2 Sm a 若存在 求tan 1 FN 2 F的值 若不存在 请说明理由 解析几何命题 湖北近两年都给出了轨迹的讨论问题 2011 年为直接法求 可归 9 结为圆锥曲线的第三定义 2012 年是相关点法求轨迹 然后再讨论 都是课本题改编 而得 第二问是直线与曲线的位置关系问题 注意关注第三定义及由此给出的定值问 题 两年主要是椭圆问题 多关注直线与抛物线问题 3 立体几何 以空间几何体 如棱柱 棱锥 棱台 正方体 长方体 球等 为背景考查空间 位置关系的论证 空间角与距离及面积 体积的计算 要求学生具有较强的空间想象 能力 命题注重通性通法 探究性问题 一般是考查根据条件确定几何元素 如点 的具体位置 判断符合 条件的图形是否存在等 在平面图形折叠中 考查空间想象能力和分析问题解决问题的能力 解决立体几何问题要注意几点 1 传统方法在论证 解答中的严谨性 2 向量法解题时 要注意坐标系的选取 强调右手系 没有直接给出两两垂直 的三条直线时 还需适当的证明 3 动点在线上 在面上 在体内的设法 湖北 2012 年的立几问题 2012 湖北理 19 如图 1 45ACB 3BC 过动点 A 作ADBC 垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B 连接 AB 沿AD将 ABD折起 使90BDC 如图 2 所示 当BD的长为多少时 三棱锥ABCD 的体积最大 当三棱锥ABCD 的体积最大时 设点E M分别为棱BC AC的中点 试 在 棱CD上确定一点N 使得EN BM 并求EN与平面BMN所成角的大小 2011 湖北理 18 如图 已知正三棱柱的各棱长都是 4 是的中点 动点在侧棱 111 CBAABC EBCF 上 且不与点重合 1 CCC 当时 求证 1 CFCAEF 1 设二面角的大小为 的最小值 EAFC tan D A BC A C D B 图 2 图 1 M E A B C E A1 C1 B1 10 湖北 2012 年的立体几何问题是通过一个平面图形的折叠得到三棱锥 以此三棱锥 为背景 探究线段的长度及点的位置 再计算线面角 2011 的立几问题是以三棱锥为 背景 探究二面角的最值 两年均给出了线上的动点问题 要引起我们的重视 背景 几何体似乎是柱 锥为主 因此我们平时训练时对各个几何体为背景 各种设问方式 尤其是探究性问题如何应答 要作充分的训练 以使此类问题能够拿满分 4 应用问题 应用问题的考查 各地仍以概率统计为主 主要是以现实中的实际问题为背景来 设置试题 主要是通过排列组合或二项分布等求概率 继而求随机变量的分布列 计 算随机变量的期望与方差 求回归直线方程 并由此进行预报 频率分布直方图 列 联表与独立性检验亦有省市的考题中出现在解答题中 应引起我们的重视 此类题的 关键是考查学生的阅读能力 抽象出关键元素从而作答 只要平时有训练 一般较为 简单 应用题考查的另一方面是传统应用题 即函数的应用题 数列应用题 不等式应 用题 三角应用题 解析几何应用题等 尤其是函数应用题 主要是一次 二次 三 次函数 分式函数 无理函数 指数对数函数 需要学生根据题意 列出函数式 从 而研究最值 范围等 及数列应用题和不等式应用题或它们的综合 平时专题训练与 综合训练中应广泛涉猎此类问题 从而训练学生阅读能力 分析问题解决问题的能力 不要忘了导数的应用 湖北 2021 降水题 2012 湖北理 20 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量 X 单位 mm 对工期的影响如下表 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量 X 小于 300 700 900 的概率分别为 0 3 0 7 0 9 求 工期延误天数Y的均值与方差 在降水量 X 至少是300的条件下 工期延误不超过 6 天的概率 2011 湖北理 17 17 本小题满分 12 分 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的 车流速度 单位 千米 小时 是车流密度 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车vx 流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当时 车流速度 是车流20020 xv 密度的一次函数 x 降水量 X300X 300700X 700900X 900X 工期延误天数 Y 02610 11 当时 求函数的表达式 2000 x xv 当车流密度为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单x 位 辆 小时 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 xvxxf 湖北高考命题中 2012 年通过降水量对工程工期影响的实际背景 考查随机变量 的均值与方差 及求条件概率这个新增知识 2011 年则是通过一个城市交通状况这一 实际背景 考查分段函数 一次 二次函数的最值问题 属传统应用题 因此对于应用题问题专题复习 我们要两者兼顾 5 数列与不等式 数列问题主要考查等差 等比数列的定义 通项公式 前项和公式以及运用公式n 推理 运算能力 一般是给出几个条件 求证数列是等差 等比数列 或求通项 前 项和 研究最值项等 考查数学建模与运用数列知识解决实际问题的能力 考查数n 列与函数 不等式等的综合 且常以简单的递推数列为背景进行设问 此类问题在新 课标中有所降温 2012 年湖北省考查数列降温幅度较大 但不能忽视它的反弹 不等 式问题单独命题的较少 往往是与应用问题 数列问题 函数导数问题等综合考查 注意数列求和方法 分解求和 倒序求和 裂项求和 错位相减求和等方法的训 练与落实 注意 数列的几种常见放缩的技巧 一般放缩的目的是为了可用特殊数列 等差 等比 求和或用特殊方法求和 注意 数列问题不要忘了数学归纳法及二项式定理的应用 湖北高考题 2012 湖北 18 已知等差数列 n a前三项的和为3 前三项的积为8 求等差数列 n a的通项公式 若 2 a 3 a 1 a成等比数列 求数列 n a的前n项和 2011 湖北 19 已知数列 na的前n项和为nS 且满足 1aa 0 a n N nn rSa 1 1 rR r 求数列的通项公式 n a 若存在k N 使得 成等差数列 试判断 对于任意的m N 1 k S k S 2 k S 且2m 是否成等差数列 并证明你的结论 1 m a m a 2 m a 湖北省高考题中 2012 年文理是同一道题 为简单的求等差数列的通项公式及前 项绝对值的和的问题 2011 年为给出了一个简单的递推公式 求通项公式及等差数n 列的判断问题 12 6 函数 导数与不等式 在代数中 以函数为主干 不等式与函数的结合是 热点 此类题往往是试卷中 的压轴题 某命题常见为 给出含参数的函数式及其某些性质 求其解析式 或直接 给出函数 文科给出的函数往往较为简单 理科常见为指数 对数函数 分式函数等 再根据函数式研究其性质 如单调性 极值 最值等 并由此解决其它较难的问题 如证不等式 求零点或其个数 恒成立问题等等 解决此类问题的关键是前面研究所得结论与后面一问的内在联系 找到此联系 然后用此结论解决后面的问题 找 联系 就是一个难点 另一方面 有时需要自己根据要证明的不等式构建一 个函数 通过研究函数的性质证明不等式 这里构建函数是一个难点 湖北高考题 2012 湖北数学文 22 设函数 n 为正整数 a b 为常数 曲线 y f x 在 1 f 1 0 1 xbxaxxf n 处的切线方程为 x y 1 1 求 a b 的值 2 求函数 f x 的最大值 3 证明 f x 1 ne 2011 湖北数学文 20 设函数 32 2f xxaxbxa 2 32g xxx 其中xR a b 为常数 已知曲 线 yf x 与 yg x 在点 2 0 处有相同的切线 l I 求 a b 的值 并写出切线 l 的方程 II 若方程 f xg xmx 有三个互不相同的实根 0 1 x 2 x 其中 12 xx 且对任 意的 12 xx x 1 f xg xm x 恒成立 求实数 m 的取值范围 2012 湖北数学理 22 已知函数 1 0 r f xrxxrx 其中r为有理数 且01r 求 f x的 最小值 试用 的结果证明如下命题 设 12 0 0aa 12 b b为正有理数 若 12 1bb 则 12 121 122 bb a aa ba b 请将 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 1 xx 13 2011 湖北数学理 21 已知函数 1f xInxx 0 x 求函数 f x 的最大值 设 11 a b 1 2k n均为正数 证明 1 若 1 122 aba b nn a b 12 bb n b 则 1 1 b a 2 2 b a n b n a1 2 若 12 bb n b 1 则 1 n 1 1 a b 2 2 a b n a n b 2 1 b 2 2 b 2 n b 湖北近两年高考命题中都以此类问题作为压轴题 文科 2012 年给出含参数函数及 性质确定函数解析式 从而研究其最大值 再构造一个函数研究其性质 证明一个不 等式 2011 年命题的切入点类似 只是函数式不同 最后研究一个恒成立问题 题型 较为常规 理科均是直接给出一个函数 利用其导数研究其性质 从而利用这一性质解决一 个不等式的证明问题 找内在联系是关键 上面分析了几个主干知识的命题 切入 点 设问 方式及 应答 的策略 这 些主干知识解题方法与策略的形成 需要我们通过专题复习形成一个完整的知识网络 才能形成 并通过综合训练不断检查 深化与完善 它不是一个局部的孤立的知识能 够完成 这就是我们第二轮复习的主要任务之一 二 通过专题复习 使学生把握好几个主要的数学思想方法二 通过专题复习 使学生把握好几个主要的数学思想方法 函数与方程的思想 数形结合的思想 分类讨论的思想 化归与转化的思想是整 个中学数学最重要的数学思想方法 因此在第二轮专题复习中 要进一步巩固和深化 这些思想方法 自始至终贯穿这些思想方法 为形成解题能力服务 下面以 数形结 合思想 为例加以说明 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来 借助图形来研究数量关系或者利用 数量关系来研究图形的性质 是一种重要的数学思想方法 它可以使抽象的问题具体 化 复杂的问题简单化 数缺形时少直观 形少数时难入微 利用数形结合的思想 方法可以深刻提示数学问题的本质 数形结合的思想 包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用大致可分 为两种情形 一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系 即以形作为手段 数作为目的 二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 即以数作为 手段 形作为目的 函数的图像 方程的曲线 集合的文氏图或数轴表示等 是 以形示数 而解析 几何的方程 斜率 距离公式 向量的坐标表示则是 以数助形 还有导数更是数形 结合的产物 这些都为我们提供了 数形结合 的知识平台 以形助数常用的有 借助数轴 借助函数图像 借助单位圆 借助数式的结构特 征 借助于解析几何方法 以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系 借助于运算结果与几何 定理的结合 1 数形结合的途径 14 1 通过坐标系形题数解 借助于直角坐标系 复平面可以将图形问题代数化 这一方法在解析几何中体现 的相当充分 在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的 值得强调的是 形题数解时 通过辅助角引入三角函数也是经常运用的技巧 这是因为三角函数公式 的使用 可以大大缩短代数推理 实现数形结合 常与以下内容有关 实数与数轴上的点的对应关系 函数与 图像的对应关系 曲线与方程的对应关系 以几何元素和几何条件为背景 建立 起来的概念 如复数 三角函数等 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意 义 常见方法有 解析法 建立适当的坐标系 直角坐标系 极坐标系 引进坐标将几何图形变 换为坐标间的代数关系 三角法 将几何问题与三角形沟通 运用三角代数知识获得探求结果的途径 向量法 将几何图形向量化 运用向量运算解决几何中的平行 垂直 夹角 距离等问题 把抽象的几何推理化为代数运算 特别是空间向量法使解决立体几何中 平行 垂直 夹角 距离等问题变得有章可循 2 通过转化构造数题形解 许多代数结构都有其对应的几何意义 据此 可以将数与形进行巧妙地转化 例 如 将与距离互化 将与面积互化 将且中的0 a 2 a0 cbaacb 与三角形的三边沟通 将有序实数对 或复数 与点沟通 将二元一次方程与cba 直线 将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等 这种代数结构向几何结构的转化 常常表现为构造一个图形 平面的或立体的 另外 函数的图象也是实现数形转化的 有效工具之一 正是基于此 函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥 作用 常见的转换途径有 方程或不等式问题常可转化为两个图像的交点位置关系的问题 并借助函数的 图象和性质解决相关的问题 利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式的性质 构造几何模型 通过代数式的结构分析 构造出符合代数式的几何图形 如将 与正方形的面积互化 将与体积互化 将 0 2 aa 0 0 0 0 3 cbaabcaa 与勾股定理沟通等 0 0 0 222 cbacba 利用解析几何中的曲线与方程的关系 重要的公式 如两点间的距离 点到直 线的距离 直线的斜率 直线的截距 定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质 2 数形结合的原则 1 等价性原则 在数形结合时 代数性质和几何性质的转换必须是等价的 否则解题将会出现漏 洞 有时 由于图形的局限性 不能完整的表现数的一般性 这时图形的性质只能是 一种直观而浅显的说明 但它同时也是抽象而严格证明的诱导 2 双向性原则 在数形结合时 既要进行几何直观的分析 又要进行代数抽象的探索 两方面相 辅相成 仅对代数问题进行几何分析 或仅对几何问题进行代数分析 在许多时候是 15 很难行得通 例如 在解析几何中 我们主要是运用代数的方法来研究几何问题 但 是许多时候 若能充分地挖掘利用图形的几何特征 将会使得复杂的问题简单化 3 简单性原则 就是找到解题思想之后 至于用几何方法还是代数方法 或者兼用两种方法来叙 述解题过程 则取决于哪种方法更为简单 而不是去刻意追求一种流行的模式 代 数问题运用几何方法以 几何问题寻找代数方法 数形结合思想解决的问题常有以下几种 构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围 构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围 构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式 构建立体几何模型研究代数问题 构建解析几何中的斜率 截距 距离等模型研究最值问题 构建方程模型 求根的个数 研究图形的形状 位置关系 性质等 各种思想方法在解题中 专题复习中要引导学生思考 掌握 以便更好地在解题 中应用这些思想 更好地形成解题方法与策略 组成完整的知识网络体系 三 通过专题复习与综合训练使学生形成解题策略 完善应试技巧 三 通过专题复习与综合训练使学生形成解题策略 完善应试技巧 通过第一轮复习 学生已具备一定的解题能力 为使解题能力转化为得分能力 还需要有一定的解题策略和应试技巧 因此 第二轮复习的另一重要目的就是训练学 生的解题策略和一流的应考方法与技巧 只有一流的数学能力 一流的应考方法与技巧 才能取得顶尖的数学成绩 在备考复习的综合训练及专题复习中 可以引导学生实现以下几个转化 1 充分了解自己 实现从漫无目标或眼高手低到合理定位的转化 合理定位是学生形成解题策略的前提 有一些学生对数学考试漫无目标 有些学 生眼高手低 有些学生过于悲观 缺乏自信 这就要求教师根据学生实际与学生一道 确定每个学生的数学定位 其合理定位主要依据两个方面 第一 学生从高一到现在各次大考的数学成绩 第二 数学成绩的优劣对总分的影响程度 2 了解各种题型的解题策略 实现从形成思维到优化思维的转化 客观题 不择手段 防止不必要的小题大做 特殊法 排除法 数形结合 逻辑 推理 合理猜想等 解选择题 要充分利用题干和选择支两方面所提供的信息量作出判断 一般来说 能定性判断的 就不再使用复杂的定量计算 16 能使用特殊判断的 就不必采用常规解法 能使用间接解法的 就不必采用直接解法 对于明显可以否定的选项 应及早排除 缩小选择的范围 对于具有多种解题思路的 则宜于选择最简捷的解法等等 解填空题 答案要完整规范 因为没有过程分 填空题答案完整规范就显得更加重要 在高考数学中 绝大多 数是计算型 尤其是推理计算型 和概念 性质 判断型试题 应答时必须按规则进 行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断 适度考虑用间接法解题 在高考的数学填空题中 有少量开放型试题 它包括探索型填空题 组合型填空 题和多选型填空题等 如填正确命题的序号 题目所给为 则不要写 1 2 3 区间结论的两端 点的开闭等要规范 例如 2011 浙江卷理 17 题 采用数形结合的方法解决较容易 设分别为椭圆的焦点 点在椭圆上 若 则点的坐标是 12 F F 2 2 1 3 x y A B 12 5F AF B A 2011 辽宁卷理 13 题 填空 采用定义法较简单 已知点 2 3 在双曲线 C a 0 b 0 上 C 的焦距为 4 则它的离心1 b y a x 2 2 2 2 率为 2011 山东卷理 9 文 10 函数的图象大致是2sin 2 x yx 抓住函数特征排除 函数图像过原点 舍 A 求导知有无穷多极值点 舍 B 奇函数舍 D 故选 C 2010 全国卷 向量题 选择坐标运算 很简单 11 已知圆O的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 那么的最小值PA PB 为 A B C D 42 32 42 2 32 2 17 解答题解题策略 审清题意 发掘隐含 按步思维 程序解答 探求解法 注意化归 回归定义 分析转化 数形结合 函数思想 分类讨论 反面入手 特征突破 重视通法 及时检验 完整表述 例 2011 年四川卷理 21 题的定值问题 思想的形成到优化 只求 不需求 x y 且通过特殊法 极限思想 知 变形目的明确 kx 又如 有些利用导数证不等式 形成了构造函数求最值来证明的思想 如何设函 数存在一个优化问题 如 2012 年山东理 22 题 第三问分 ln1 1 xxx e x xg x 别研究及而非直接研究 又如有些应用导数解有关问题最值 x e x 1 ln1 xxx xg 只设其中一部分或换元后再设来求 再回到原题中 如 2012 浙江卷文 21 题 2 求 面积的最大值 算出求其最值 令换元ABP 22 21mmmmS 2 mmt 后再求导 则较简单 3 注重板书规范 注重过程 完成从粗犷思维到完善细节 完备解答的转化 对于主观题的解答 我们形成了解题思维即会做后 还要完成能得分 得高分 这就需要我们抓住关键步骤 完善细节 学会踩点得分 分步得分 跳步得分等应试 技巧 例如 递推数列中对的升 降时的条件的变化 错位相减时 对应项的注意等nn 等这些细节直接影响着解题的正确性 如襄阳四中等几校元月考题中的数列题 求 变形中条件的变化 显 2 1 32 1 13211 Nna n naaaaa nn n an 性的变化一般没问题 中间存在一个隐性降阶问题 的变化这一细节 应特别注意 n 另外 解析几何中直线与圆锥曲线的差别式的讨论 斜率不存在或为 0 的讨论等 这些细节 都是需要我们解题中完善的 4 综合训练中 要引导学生应用考前几分钟浏览试卷 完成从从头做到尾到合理 定序的转化 合理定序 一般遵循六先六后的原则 1 先易后难 2 先熟后生 3 先同后异 先做同科同类型的题目 18 4 先小后大 先做信息量少 运算量小的题目 为解决大题赢得时间 5 先点后面 解答题多呈现为多问渐难式的 梯度题 解答时不必一气审到 底 应走一步解决一步 步步为营 由点到面 6 先高后低 5 综合训练中 通过对自己的合理定位 引导学生完成从一题不舍到合理取舍的 转化 考试中 要坚决避免出现 难题久攻不下 容易题无暇顾及 的被动局面 具体 地说 就是 1 熟悉考试题型 合理安排时间 一般来说 选择题 填空题不宜超过 50 分钟 力争高效地完成选填题 避免在一 道试题上花大量时间 防止隐性丢分 留下一个多小时来处理后面的大题 因为大题 不仅要思考 还要写出推理 运算过程 2 学会取舍 敢于放弃 要根据自己的情况进行取舍 这样做的目的是 确保会做的题一定能够拿分 部 分会做的题或不太会做的题尽量多拿分 一定不可能做出的题目 或短时间内一定不 可能做出的题目 尽量少投入时间 甚至根本就不去想 以防隐性丢分 3 学会跳步作答 可以应用前面的结论 完成后面的问题 4 树立 少失分就是多得分 的理念 高考中真正拉开考生档次的不是难题 而是中低档题 难题得分少是共同的 容