高一数学重要知识点总结

必修 数学知识总结 必修一 一 集合 一 集合有关概念 1 集合的含义 2 集合的中元素的三个特性 1 元素的确定性如 世界 上最高的山 2 元素的互异性如 由 HAPPY 的字母组成的集合 H A P Y 3 元素的无序性 如 a b c 和 a c b 是表示同一个集合 3 集合的表示 如 我校的篮球队员 太平洋 大西洋 印度洋 北冰 洋 1 用拉丁字母表示集合 A 我校的篮球队员 B 1 2 3 4 5 2 集合的表示方法 列举法与描述法 注意 常用数集及其记法 非负整数集 即自然数集 记作 N 正整数集 N 或 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1 列举法 a b c 2 描述法 将集合中的元素的公共属性描述出来 写在大括号内表示集合的方 法 x R x 3 2 x x 3 2 3 语言描述法 例 不是直角三角形的三角形 4 Venn 图 4 集合的分类 1 有限集 含有有限个元素的集合 2 无限集 含有无限个元素的集合 3 空集 不含任何元素的集合 例 x x2 5 二 集合间的基本关系 1 包含 关系 子集 注意 有两种可能 1 A 是 B 的一部分 2 A 与 B 是同一集合 BA 反之 集合 A 不包含于集合 B 或集合 B 不包含集合 A 记作 AB 或 BA 2 相等 关系 A B 5 5 且 5 5 则 5 5 实例 设 A x x2 1 0 B 1 1 元素相同则两集合相等 即 任何一个集合是它本身的子集 A A 真子集 如果 A B 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集 记作 AB 或 BA 如果 A B B C 那么 A C 如果 A B 同时 B A 那么 A B 3 不含任何元素的集合叫做空集 记为 规定 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 有 n 个元素的集合 含有 2n个子集 2n 1个真子集 二 函数 1 函数定义域 值域求法综合 2 函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3 恒成立问题的求解策略 4 反函数的几种题型及方法 5 二次函数根的问题 一题多解 指数函数 y a x a a a b a a b a 0 a b 属于 Q a a b a ab a 0 a b 属于 Q ab a a a b a a 0 a b 属于 Q 指数函数对称规律 1 函数 y a x 与 y a x 关于 y 轴对称 2 函数 y a x 与 y a x 关于 x 轴对称 3 函数 y a x 与 y a x 关于坐标原点对称 对数函数 y loga x 如果 且 那么 0 a1 a0 M0 N 1 M a log NM a logN a log 2 N M a logM a logN a log 3 n aM logn M a log Rn 注意 换底公式 且 且 a b b c c a log log log 0 a1 a0 c1 c0 b 幂函数 y x a a 属于 R 1 幂函数定义 一般地 形如的函数称为幂函数 其中为常 xy Ra 数 2 幂函数性质归纳 1 所有的幂函数在 0 都有定义并且图象都过点 1 1 2 时 幂函数的图象通过原点 并且在区间上是增函数 特别地 0 0 当时 幂函数的图象下凸 当时 幂函数的图象上凸 1 10 3 时 幂函数的图象在区间上是减函数 在第一象限内 当从0 0 x 右边趋向原点时 图象在轴右方无限地逼近轴正半轴 当趋于时 图yyx 象在轴上方无限地逼近轴正半轴 xx 方程的根与函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数 把使成立的实数叫做 Dxxfy 0 xfx 函数的零点 Dxxfy 2 函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根 亦即函数 xfy 0 xf 的图象与轴交点的横坐标 xfy x 即 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数0 xf xfy x 有零点 xfy 3 函数零点的求法 代数法 求方程的实数根 1 0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系 2 xfy 起来 并利用函数的性质找出零点 4 二次函数的零点 二次函数 0 2 acbxaxy 1 方程有两不等实根 二次函数的图象与轴有两个0 2 cbxaxx 交点 二次函数有两个零点 2 方程有两相等实根 二次函数的图象与轴有一个0 2 cbxaxx 交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 3 方程无实根 二次函数的图象与轴无交点 二次函数无零点 0 2 cbxaxx 三 平面向量 向量 既有大小 又有方向的量 数量 只有大小 没有方向的量 有向线段的三要素 起点 方向 长度 零向量 长度为的向量 0 单位向量 长度等于 个单位的向量 1 相等向量 长度相等且方向相同方向相同的向量 向量的运算 加法运算 AB BC AC 这种计算法则叫做向量加法的三角形法则 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA OB 以 OA OB 为邻边作平行四边形 OACB 则以 O 为起点的 对角线 OC 就是向量 OA OB 的和 这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则 对于零向量和任意向量 a 有 0 a a 0 a a b a b 向量的加法满足所有的加法运算定律 减法运算 与 a 长度相等 方向相反的向量 叫做 a 的相反向量 a a 零向量的相反向量仍然是零向量 1 a a a a 0 2 a b a b 数乘运算 实数 与向量 a 的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作 a a a 当 0 时 a 的方向和 a 的方向相同 当 0 时 a 的方向和 a 的方向相反 当 0 时 a 0 设 是实数 那么 1 a a 2 a a a 3 a b a b 4 a a a 向量的加法运算 减法运算 数乘运算统称线性运算 向量的数量积 已知两个非零向量 a b 那么 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积或内积 记作 a b 是 a 与 b 的夹 角 a cos b cos 叫做向量 a 在 b 方向上 b 在 a 方向上 的投影 零向量与任意向量的 数量积为 0 a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 四 三角函数 1 善于用 1 巧解题 2 三角问题的非三角化解题策略 3 三角函数有界性求最值解题方法 4 三角函数向量综合题例析 5 三角函数中的数学思想方法 15 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 sinyx cosyx tanyx 图 象 定 义 域 RR 2 x xkk 值 域 1 1 1 1 R 最 值 当 时 2 2 xk k 当 max 1y 2 2 xk 时 k min 1y 当时 2xkk 当 max 1y 2xk 时 k min 1y 既无最大值也无最小 值 周 期 性 2 2 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2 2 22 kk 上是增函数 k 在 3 2 2 22 kk 上是减函数 k 在 上 2 2kkk 是增函数 在 2 2kk 上是减函数 k 在 22 kk 上是增函数 k 对 称 性 对称中心 0kk 对称中心对称中心 函 数 性 质 对称轴 2 xkk 0 2 kk 对称轴 xkk 0 2 k k 无对称轴 必修四 角的顶点与原点重合 角的始边与轴的非负半轴重合 终边落在第几象限 则称为第几象限 x 角 第一象限角的集合为 36036090 kkk 第二象限角的集合为 36090360180 kkk 第三象限角的集合为 360180360270 kkk 第四象限角的集合为 360270360360 kkk 终边在轴上的角的集合为x 180 kk 终边在轴上的角的集合为y 18090 kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 kk 3 与角终边相同的角的集合为 360 kk 4 已知是第几象限角 确定所在象限的方法 先把各象限均分等份 再从轴的正半 n n nx 轴的上方起 依次将各区域标上一 二 三 四 则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在 n 的区域 5 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度 1 口诀 奇变偶不变 符号看象限 公式一 设 为任意角 终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan cot 2k cot 公式二 设 为任意角 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三 任意角 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四 利用公式二和公式三可以得到 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式五 利用公式一和公式三可以得到 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot 公式六 2 及 3 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan 以上 k Z 其他三角函数知识 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 商的关系 sin cos tan sec csc cos sin cot csc sec 平方关系 sin 2 cos 2 1 1 tan 2 sec 2 1 cot 2 csc 2 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 倍角公式 二倍角的正弦 余弦和正切公式 升幂缩角公式 sin2 2sin cos cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 2tan tan2 1 tan 2 半角公式 半角的正弦 余弦和正切公式 降幂扩角公式 1 cos sin 2 2 2 1 cos cos 2 2 2 1 cos tan 2 2 1 cos 万能公式 万能公式 2tan 2 sin 1 tan 2 2 1 tan 2 2 co