矩阵的逆及其求法ppt课件.ppt

一 逆矩阵的概念 二 方阵可逆的判别定理 第六节 矩阵逆及其求法 第二章 三 逆矩阵的基本性质 四 用矩阵的初等变换求逆矩阵 1 设 n元线性方程组 线性方程组的矩阵表示法 2 2 则求 1 的解的问题归结为求 2 的解矢量问题 而后者即求 中未知矩阵X的问题 这需要用到 逆矩阵的问题 代数方程 的解 问矩阵方程 的解是否为 若可以 那么 的含义是什么呢 3 定义1 设A为n阶方阵 如有n阶方阵B 使 AB BA E 则称A为可逆阵 B为A的逆阵 记作 又称可逆阵为非奇异阵 不可逆阵为奇异阵 例 设 因为AB BA E 所以B是A的一个逆矩阵 一 逆矩阵的概念 4 若方阵A可逆 则其逆矩阵唯一 证明 设B和C都是A的逆矩阵 则由定义 有AB BA E AC CA E B BE B AC BA C EC C 所以逆矩阵唯一 单位矩阵的逆为其本身 对角矩阵的逆为 如果它可逆的话 5 方阵的可逆满足性质 3 A B均是同阶可逆阵 则 3 AB B 1A 1 A BB 1 A 1 AEA 1 AA 1 E 4 AT A 1 T A 1A T E T E 证明只证 3 和 4 6 矩阵可逆的条件 设矩阵 中元素aij的代数余子式Aij 定义 称为A的伴随矩阵 7 例2 16 求二阶方阵 的伴随矩阵 解 所以 8 定理2 1 证明 由第一章行列式展开定理及其推论知 类似有 9 定理2 2矩阵A可逆充分必要条件是 且当 时 证明 必要性 设A可逆 于是有 两边取行列式有 因此 充分性 设 由定理2 1知 故有 10 由逆矩阵定义知 A可逆 且其逆为 定理2 2不仅给出了判断矩阵可逆的方法 还给出了求解逆矩阵的一种方法 A可逆 A是非奇异矩阵 A是满秩矩阵 11 逆矩阵的求法一 伴随矩阵法 例2 15 设 判断A是否可逆 如果可逆 求出其逆矩阵 解 因为 故A可逆 且 12 推论若方阵A B有AB E 则A B均可逆 证明 因为 故 于是A B均可逆 13 例2 17 求解线性方程组 解 方法一 Cramer法则 由于 于是有 14 方法二 逆阵法 因为方程可写成矩阵形式Ax b 其中 由于 故A可逆 因此 其中 15 于是 16 利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量 个数等于方程个数的一种方法 第一章给出了行列式 法 但对于n较大时 两种方法都不适用 我们将 在余下的章节讨论第三种方法 17 例2 18 设 求A B 解 由于AB A B 于是 A E B A 又 于是 而 18 所以 故 19 例2 19 设A为3阶矩阵 且 求 解 由于 于是 20 解 例6 21 二 逆矩阵求解方法二 初等变换法 初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 为了 充分发挥其作用 有必要对它进一步探讨 定理3 A可逆 22 例7求下列矩阵的逆矩阵 解 23 24 解2 不存在 25 设A B为n阶方阵 且A可逆 则 A B E A 1B 定理3 26 例8求解下列矩阵方程 解 27 设 例10 求X 解 28 29 例12 已知 求 解 30 例13 31 例14 并求其逆 解 可逆 且 1 2 32 则 设A B分别是m阶 n阶可逆矩阵 求 解 D可逆 设 例15 33 关于分块对角矩阵有下列运算性质 4 5 可逆时 则A可逆 且 34 定理4 方阵A可逆的充分必要条件是它能表示 成一些初等矩阵的乘积 定理5 则以下三个