复变函数2.3初等多值解析函数ppt课件.ppt

第三节初等多值解析函数 2 3 1根式函数 2 3 2对数函数 2 3 3一般幂函数与一般指数函数 2 3 4具有多个有限支点的情形 2 3 5反三角函数和反双曲函数 2 3 6小结与思考 1 定义2 8 单叶函数 设函数f z 在区域D内有定义 且对D内任意不同的两点z1及z2都有f z1 f z2 则称函数f z 在D内是单叶的 并且称区域D为f z 的单叶性区域 显然 区域D到区域G的单叶满变换w f z 就是D到G的一一变换 f z z2不是C上的单叶函数 f z z3是C上的单叶函数 2 2 3 0幂函数的变换性质及其单叶性区域 设有幂函数 w zn令z rei w ei 则 w zn ei rnein rn n 于是得到幂函数有如下的变换性质 z平面 w平面 射线 0 射线 n 0 圆周r r0 圆周 r0n 3 W zn z平面 w平面 射线 0 射线 n 0 圆周r r0 圆周 r0n 0 n 0 角域0 0 射线0 n 0 4 从原点起沿负实轴剪开的w平面 G0 z平面 w平面 W zn 角域0 0 角域0 n 0 上岸 下岸 5 映射特点 幂函数w zn n 1 单叶性区域是顶点在原点 张度不超过2 n的角形区域 的角形域 但张角变成为原来的n倍 是幂函数的单叶性区域的一种分法 总之 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 6 2 3 1根式函数 定义2 9若z wn 则称w为z的n次根式函数 记为 i e 根式函数 为幂函数z wn的反函数 1 根式函数的多值性 7 2 分出根式函数的单值解析分支 1 产生多值的原因 产生多值的原因是 当z取定后 其辐角不固定 可以连续改变2 的整数倍 对应的函数值连续改变到下一个值 8 2 解决的办法 限制z的辐角的变换 使其辐角的该变量 argz 2 理论上的的做法 从原点O起到点 任意引一条射线将z平面割破 该直线称为割线 在割破了的平面 构成以此割线为边界的区域 记为G 上 argz 2 从而可将其转化为单值函数来研究 常用的做法 从原点起沿着负实轴将z平面割破 z G 9 结论 从原点起沿着负实轴将z平面割破 即可将根式函数 分成如下的n个单值函数 定义域为 wk在Gk上解析 且 10 G1 3 G0 T0 T1 T2 G2 3 5 11 2 3 2对数函数 1 定义 说明 w Lnz是指数函数ew z的反函数 Lnz一般不能写成lnz 2 计算公式及多值性说明 12 由于Argz的多值性导致w Lnz是一个具有无穷多值的多值函数 规定 为对数函数Lnz的主值 于是 z的主辐角 13 特殊地 14 例4 解 注意 在实对数函数中 零和负数无对数 这一点在复对数函数中不再成立 15 例5 解 16 例6 解 17 18 2 性质 19 证 3 证毕 20 3 4 错了 例 错了 同志哥 决不会相等 原因 Bernoulli悖论 Lnz是集合记号 应该理解为两个集合相加 A 0 1 A A 0 1 2 2A 0 2 A A 2A 21 3 分出w Lnz的单值解析分支 从原点起沿着负实轴将z平面割破 就可将 对数函数w Lnz分成如下n个单值解析分支 定义域为 wk在Gk上解析 且 22 2 3 3一般幂函数与一般指函数 1 一般幂函数 称为z的一般幂数函数 2 一般指数函数 称为z的一般指数函数 都是多值函数 适当割破z平面 都可转化为单值函数 23 注意 1 一般幂函数 称为z的一般幂数函数 24 25 特殊情况 26 27 例7 解 答案 课堂练习 28 例8 解 29 2 幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 30 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 31 2 3 4反三角函数和反双曲函数 1 反三角函数的定义 两端取对数得 32 同样可以定义反正弦函数和反正切函数 重复以上步骤 可以得到它们的表达式 2 反双曲函数的定义 33 例14 解 34 2 3 6小结与思考 复