考研高数数学讲义

1 第一篇 第一篇 高等数学高等数学 第一章 函数 极限与连续 一 大纲内容与要求 大纲内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 复合函数 反函数 分段函 数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的 定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及 无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 单调有界准则和夹逼准则 两个重要极 限 0 sin lim1 x x x 1 lim 1e x x x 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭 区间上连续函数的性质 大纲要求 1 理解函数的概念 掌握函数的表示法 并会建立应用问题的函数关系 2 了解函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 3 理解复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数的概念 4 掌握基本初等函数的性质及其图形 了解初等函数的概念 5 理解极限的概念 理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左 右极限之间 的关系 6 掌握极限的性质及四则运算法则 7 掌握极限存在的两个准则 并会利用它们求极限 掌握利用两个重要极限求极限的方法 8 理解无穷小量 无穷大量的概念 掌握无穷小量的比较方法 会用等价无穷小量求极限 9 理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 会判别函数间断点的类型 10 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 理解闭区间上连续函数的性质 有界性 最大 值和最小值定理 介值定理 并会应用这些性质 2 二 知识网络 极限概念 N 定义 X 定义 定义 极限性质 唯一性 有界性 保号性 数列整体有界 函数局部有界 极限存在准则 两个重要的极限 函数的连续性 用导数的定义 带皮亚诺余项的泰勒公式 用函数极限求数列极限 用定积分定义求某些和式的极限 利用级数相关理论求极限 数一 三 洛必达法则 等价无穷小替换 0 0 型 型 型 0 型 1 0 00型 初等函数的连续性 分段函数连续性的判定 闭区间上连续函数的性质 第一类 左右极限都存在 第二类 左右极限中至少有一个不存在 跳跃间断点 可去间断点 求极限的 主要方法 无穷小量 无穷小量与无穷大量的定义 关系 无穷小量的运算性质 无穷小量与极限的关系 无穷小量的比较 连续的概念 间断点的分类 转换 极限 连续性 函数 有界性定理 零点定理 最值定理 介值定理 有界性 单调性 奇偶性 周期性 极限四则运算法则 变量替换 1 lim 1 n n e n 0 sin lim1 x x x 单调有界数列有极限 夹逼定理 3 三 基本内容 一一 函数函数 1 定义 定义 设x与y是两个变量 D是实数集的某个子集 若对于D中的每个值x 变量y 按照一定的法则有一个确定的值y与之对应 称变量y为变量x的函数 记作 yf x 数集D 称为函数的定义域 由函数对应法则或实际问题的要求来确定 相应的函数值的全体称为函数的 值域 对应法则和定义域是函数的两个要素 2 几种特性 几种特性 1 有界性 设函数 yf x 在数集X上有定义 若存在正数M 使得对于每一个xX 都有 f xM 成立 称 yf x 在X上有界 否则 即这样的M不存在 称 f x在X上 无界 所以函数在X上无界 是对任何0M 总存在 0 xX 使 0 f xM 2 单调性 设函数 yf x 在区间I上有定义 若对于I上任意两点 1 x与 2 x 当 12 xx 时 均有 12 f xf x 或 12 f xf x 称函数 f x在区间I上单调增加 或单调减少 如果 其中的 改为 或 称函数 f x在I上单调不减 或单调不增 3 奇偶性 设函数 yf x 的定义域为 0 a a a 若对于任一x a a 都有 fxf x 称 f x为偶函数 如常数 2 cosC xx等 其图像关于y轴对称 若对于任一 xa a 都有 fxf x 称 f x为奇函数 如 3 sinx xx等 其图像关于坐标原点对 称 4 周期性 对函数 yf x 若存在常数0T 使得对于定义域内的每一个 x xT 仍在 定义域内 且有 f xTf x 称函数 yf x 为周期函数 T称为 f x的周期 3 复合函数 反函数 隐函数与分段函数 复合函数 反函数 隐函数与分段函数 1 基本初等函数与初等函数 基本初等函数 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 初等函数 由基本初等函数经过有限次的加 减 乘 除和复合所得到且能用一个解析式表 示的函数 2 复合函数 设函数 yf u 的定义域为 f D 函数 ux 的值域为z 若集合 f D与 z 的交集非空 称函数 yfx 为函数 yf u 与 ux 复合而成的复合函数 u为中 4 间变量 对复合函数 重要的是会把它分解 即知道它是由哪些 简单 函数复合而成的 3 反函数 设函数 yf x 的值域为 f z 定义域为 f D 则对于每一个 f yz 必存在 f xD 使 yf x 若把y作为自变量 x作为因变量 便得一个函数 xy 且 fy y 称 xy 为 yf x 的反函数 但习惯上把 yf x 的反函数记作 1 yfx y f x 与其反函数 1 yfx 的图像是关于直线yx 对称的 4 隐函数 设有方程 0F x y 若当x在某区间内取任一值 便总有满足该方程唯一的 值y存在时 称由方程 0F x y 在上述区间内确定了一个隐函数 yy x 5 分段函数 若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应规律 如 x axb f x x cxd 称为分段函数 二二 极限极限 1 概念 概念 1 定义定义 1 设 yf x 在 0 x的一个去心邻域 010001 xxx x 内有定义 若对于 任意给定的0 总存在0 使得当上述去心邻域内任意x满足 0 0 xx 时 不等 式 f xa 恒成立 则称常数a为函数 f x在 0 xx 的极限 记作 0 lim xx f xa 或 f xa 当 0 xx 直观地说 即当x无限趋近 0 x时 函数 f x无限趋近常数a 定义定义 2 设 f x在区域0 xE 内有定义 若对于任意给定的0 存在0M 使 得当xME 时 不等式 f xa 恒成立 则称a为当x 时函数 f x的极限 记 作lim x f xa 直观地说 即当x无限增大时 函数无限趋近常数a 2 左极限与右极限 在定义 1 中 若把 0 0 xx 改为 00 xxx 即自 变量x从 0 x的左侧趋近于 0 x 则称a为函数 f x当 0 xx 时的左极限 记作 0 0 lim 0 xx f xaf xa 或 相应把定义 1 中的 0 0 xx 改为 00 xxx a便是函数 f x当 0 xx 时 5 的右极限 记作 0 0 lim 0 xx f xaf xa 或 极限存在的充分必要条件 当 0 xx 时 函数 f x的极限存在的充分必要条件为其左 右 极限存在并相等 即 00 0 0 f xf x 在定义 2 中 把xM 改为xM 便得到x 时函数 f x的极限的定义 即 lim x f xa 以及把 xM 改为xM 便得到lim x f xa 的定义 注注 把数列 n x看作整数函数即 n xf n 1 2 n 则数列极限的概念lim n n xa 便是 f x在x 时极限的特殊情况 自变量x取正整数 即对于任意给定的0 总存在正整 数N 使当nN 时 不等式 n xa 恒成立 则称常数a为数列 n x的极限 也称此数列 收敛于a 2 性质性质 1 唯一性 在自变量的一个变化过程中 0 xx 或x 函数的极限存在 则此极限唯一 2 有界性 若 0 lim lim xxx f xaf xa 或 则存在 0 x的某去心邻域 或0 xM f x在此邻域 或0 xM 内有界 3 保号性 设 0 lim xx f xa x 0 lim xx x g xb 若在 0 x的某去心邻域 或0 xM 内恒有 f xg x 或 f xg x 则ab 3 极限存在准则极限存在准则 夹逼准则 若在x的某去心邻域 或0 xM 内恒有 g xf xh x 且 000 lim lim lim xxxxxx xxx g xh xaf xa 则 单调有界准则 单调有界数列必收敛 4 两个重要极限两个重要极限 1 0 sin lim1 x x x 2 1 lim 1 x x e x 或 1 0 lim x x xe 1 5 极限的运算极限的运算 设在自变量的同一变化过程中 0 xx 或x lim lim f xag xb 则有 6 1 和差 lim lim lim f xg xf xg xab 2 积 lim lim lim f xg xf xg xa b 特别地 lim lim cf xcf x ca 其中c为常数 lim lim kk k f xf xa 其中k为正整数 3 商 若lim 0g xb 则 lim lim lim f xf xa g xg xb 4 复合函数的运算法则 已知 00 0 lim lim uuxx f uAxu 在有意义的情况下 0 lim xx fx A 6 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 1 无穷小量的概念 若 0 lim 0 xx x x 称 x 为 0 xx x 时的无穷小 即极限为 0 的变量为无穷小量 以下简称无穷小 常数 0 也是无穷小 2 无穷小量的性质 0 lim xx f xa x 的充分必要条件为 f xax 其中 x 为 0 xx x 的无穷小 3 无穷小量的运算 1 加法 有限多个无穷小的和仍为无穷小 2 乘法 有限多个无穷小的积仍为无穷小 3 有界变量与无穷小的乘积亦为无穷小 4 无穷小量的比较 设 x 与 x 都是在同一个自变量变化过程中的无穷小 且 lim x x 也是在此变化过程 中的极限 若 lim0 x x 称 x 是比 x 高阶的无穷小 记作 xox 若 lim x x 称 x 是比 x 低阶的无穷小 若 lim0 x c x 其中 c 为常数 称 x 与 x 是同阶的无穷小 7 特别 lim1 x x 称 x 与 x 是等价无穷小 记作 xx 在求极限过程中 有时利用等价无穷小代换可以化简计算 所以应掌握几个常见的等价无穷 小 当0 x 时 sin tanxxx ln 1 xx 1 x ex 1 11 n xx n 2 1 1 cos 2 xx 等等 5 无穷大量的概念 设函数 f x在 0 x的某一去心邻域内有定义 或x大于某一正数时有定 义 如果对于任意给定的正数M 不论它多么大 总存在正数 或正数X 只要x适合不 等式 0 0 xx 或xX 对应的函数值 f x总满足不等式 f xM 则称函数 f x 为当 0 xx 或x 时的无穷大量 以下简称无穷大 6 无穷小量与无穷大量之间的关系 在自变量的同一变化过程中 若 f x为无穷大 则其倒数 1 f x 必为无穷小 反之 若 f x 为无穷小 且 0f x 则其倒数 1 f x 必为无穷大 7 洛必达洛必达 L Hospital 法则法则 1 0 0 型 fxg x在点 0 x的某去心邻域内可导 0g x 若 0 lim xx f x 0 lim xx g x 0 且 0 lim xx fx g x 存在或为 则有 00 limlim xxxx f xfx g xg x 2 型 fxg x在点 0 x的某去心邻域内可导 0g x 若 0 lim xx f x 0 lim xx g x 且 0 lim xx fx g x 存在或为 则有 00 limlim xxxx f xfx g xg x 三三 连续连续 1 函数的连续性函数的连续性 1 连续性的概念 设函数 yf x 在点 0 x某邻域内有定义 若当自变量增量x 0 xx 0 时 对应的函数值增量 00 0yf xxf x 即 0 lim0 x y 或 0 0 lim xx f xf x 则称函数 f x在 0 x处连续 若 0 0 lim xx f xf x 称函数 f x在 0 x处左 8 连续 0 0 lim xx f xf x 称函数 f x在 0 x处右连续 显然 函数 f x在 0 x处连续的充分必要条件是 f x在 0 x处既左连续又右连续 若函数 f x在区间 a b内每一处都连续 称 f x在开区间 a b内连续 也称 f x是 a b内的连续函数 若 f x在 a b内连续 又在a点处右连续 b点处左连续 则称 f x在 闭区间 a b上连续 2 运算 1 加法 有限多个在同一点连续的函数之和 仍在该点处连续 2 乘法 有限多个在同一点连续的函数之积 仍在该点处连续 3 除法 若 f x与 g x均在点 0 x处连续 且 0 0g x 则 f x g x 在点 0 x处连续 3 复合函数与初等函数的连续性 设函数 ux 在点 0 xx 处连续 且 00 xu 若函数 yf u 在点 0 uu 处连续 则复合函数 yfx 在点 0 xx 处连续 一切初等函数在其定义区间上都是连续的 2 函数的间断点函数的间断点 1 函数间断点的概念 设函数 f x在点 0 x的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f x有下列三种情形之一 1 在 0 xx 没有定义 2 虽在 0 xx 有定义 但 0 lim xx f x 不存在 3 虽在 0 xx 有定义 且 0 lim xx f x 存在 但 0 0 lim xx f xf x 则函数 f x在点 0 x不连续 而点 0 x称为 f x的不连续点或间断点 2 函数间断点的类型 设 0 xx 为函数 yf x 的间断点 若 0 lim xx f x 与 0 lim xx f x 都存 在 称 0 x为函数 f x的第一类间断点 其他均称为第二类间断点 在第一类间断点中 左 右极限相等的称为可去间断点 不相等的称为跳跃间断点 无穷间 断点与振荡间断点都是第二类间断点 9 3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1 最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值 2 有界性定理 闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界 3 介值定理 设函数 f x在闭区 a b上连续 且 f af b 则对于 f a与 f b之间 的任一常数C 必在开区间 a b内至少存在一点 使得 fC 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 4 零点定理 设函数 f x在闭区间 a b上连续 且 f a与 f b异号 则在开区间 a b内 至少存在函数 f x的一个零点 即至少有一点 a b 使 0f 四 典型例题 题型一 函数及相关性质 例 1 1 设函数 11 01 x f x x 则 f f x 例 1 2 已知 2 sin 1 f xx fxx 则 x 其定义域为 例 1 3 设函数 2 sin ln tan x f xxx e 则 f x是 A 偶函数 B 无界函数 C 周期函数 D 单调函数 例 1 4 设对任意 x有 1 f xf x 则 f x一定是 A 奇函数 B 偶函数 C 周期函数 D 单调函数 例 1 5 设函数 2 1 tan 3 1 2 3 xx f x xxx 则 f x在下列哪个区间内有界 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 题型二 求极限 例 1 6 设数列 n x与 n y 满足lim0 nn n x y 则下列叙述正确的是 A 若 n x发散 则 n y必发散 B 若 n x无界 则 n y必有界 C 若 n x有界 则 n y必为无穷小量 D 若 1 n x 为无穷小量 则 n y必为无穷小量 例 1 7 下列极限正确的是 10 A sin lim1 x x x B 1 limsin1 x x x C 11 limsin1 x xx D sin lim1 x x x 例 1 8 设 nn xay 且lim 0 nn n yx a为常数 则数列 n x和 n y A 都收敛于a B 都收敛 但不一定收敛于a C 可能收敛 也可能发散 D 都发散 例 1 9 设 nnn xay 且lim 0 nn n yx n x n y和 n a均为数列 则lim n n a A 存在且等于0 B 存在但不一定等于0 C 一定不存在 D 不一定存在 例 1 10 222 12 lim 12 n n nnnnnnn 例 1 11 3 0 arctansin lim x xx x 例 1 12 求极限 2 2 411 lim cos x xxx xx 例 1 13 求下列极限 2 0 11 lim tan x xxx 例 1 14 设 2 lim8 x x xa xa 则a 例 1 15 2 1 ln 1 0 lim cos x x x 例 1 16 当0 x 时 2 11 sinf x xx 是 A 无穷小量 B 无穷大量 C 有界量非无穷小量 D 无界但非无穷大量 例 1 17 设 2 2 0 ln 1 lim2 x xaxbx x 则 A 1a 5 2 b B 0a 2b C 0a 5 2 b D 1a 2b 例 1 18 设当0 x 时 2 1 cosln 1xx 是比sin n xx高阶的无穷小 而sin n xx是比 11 2 1 x e 高阶的无穷小 则正整数n等于 A 1 B 2 C 3 D 4 例 1 19 当0 x 时 求常数 c k使得 I 3sinsin3 k xxcx II ln 1 k xxcx 例 1 20 设 1 10 x 1 6 nn xx 1 2 n 试证数列 n x极限存在 并求此极限 例 1 21 下列各式中正确的是 A 0 1 lim 1 1 x xx B 0 1 lim 1 e x x x C 1 lim 1 e x x x D 1 lim 1 e x x x 例 1 22 求极限 2 1 limln 1 x xx x 题型三 函数的连续性问题 例 1 23 f x在 0 x点连续是 f x在 0 x点连续的 A 充分条件 但不是必要条件 B 必要条件 但不是充分条件 C 充分必要条件 D 既不是充分条件 也不是必要条件 例 1 24 函数 1 tan x x eex f x x ee 在 上的第一类间断点是x A 0 B 1 C 2 D 2 例 1 25 设函数 2 1 lim 1 n n x f x x 讨论函数 f x的间断点 其结论为 A 不存在间断点 B 存在间断点1x C 存在间断点0 x D 存在间断点1x 例 1 26 设 2 1 lim 1 n nx f x nx 则 f x的间断点为x 12 例 1 27 设函数 tan 2 1 e 0 arcsin 2 e 0 x x x x f x ax 在0 x 处连续 则 a 例 1 28 设 xf在 内有定义 且lim x f xa 1 0 0 0 fx g xx x 则 A 0 x必是 xg的第一类间断点 B 0 x必是 xg的第二类间断点 C 0 x必是 xg的连续点 D xg在点0 x处的连续性与a的取值有关 例 1 29 设函数 f x在 a b上连续 且 12n axxxb 证明 存在 a b 使得 12 n f xf xf x f n 例 1 30 设 f x是 0 1 上非负连续函数 且 0 1 0 ff 证明 对任意实数r 01r 必存在 0 0 1 x 使得 0 0 1 xr 且 00 f xf xr 例 1 31 设 f x在 0 1 上连续 0 1 ff 且 1 证明 存在 0 1 使 1 2 ff 2 证明 存在 0 1 使 1 ff n 2n 且n为正整数 五 经典习题 1 求 xx x sin 1 1ln 1 lim 0 答案 2 1 2 求 xx ee xx x sin lim tan 0 13 答案 2 3 已知 01lim 2 baxxx x 则 ba 答案 2 1 1 4 极限 2 lim x x x xaxb A 1 B e C a b e D b a e 答案 C 5 求 2 22 0 1cos lim sin x x xx 答案 4 3 6 求 1 4 0 2sin lim 1 x x x ex x e 答案 1 7 若 3 0 sin6 lim0 x xxf x x 则 2 0 6 lim x f x x 为 A 0 B 6 C 36 D 答案 C 8 12 lim1 cos1 cos1 cos n n nnnn 答案 2 2 9 设 1 03x 1 3 nnn xxx n 1 2 证明数列 n x的极限存在 并求此极 限 答案 证明 n x单调增加且有上界 3 lim 2 n n x 10 设函数 f x在0 x 的某邻域内具有一阶连续导数 且 00f 00 f 若 20af hbfhf 在0h 时是比h高阶的无穷小 试确定 a b的值 14 答案 2 1ab 11 设函数 f x在 内连续 且 f f xx 证明在 内至少有一个 0 x满 足 00 f xx 答案 利用反证法 第二章 一元函数微分学 导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念 在高等数学中占有重要地位 其内涵丰富 应用广泛 是研究生入学考试的主要内容之一 应深入加以理解 同时应熟练掌握导数的各种计 算方法 中值定理与导数的应用在高等数学中占有极为重要的位置 内容多 影响深远 是复习 的重点也是难点 而且具有承上启下的作用 应熟练掌握 一 大纲内容与要求 大纲内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲 线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数 反函数 隐函数以及 参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达 L Hospital 法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 函数图形的 描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径 数学三不要求 大纲要求 1 理解导数和微分的概念 理解导数与微分的关系 理解导数的几何意义 会求平面曲线 的切线方程和法线方程 了解导数的物理意义 会用导数描述一些物理量 数学一 二要求了解导数的物理意义 会用导数描述一些物理量 数学一 二要求 理解函数的可导性与连续性之间的关系 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 掌握基本初等函数的导数公式 了解 微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性 会求函数的微分 3 了解高阶导数的概念 会求简单函数的高阶导数 4 会求分段函数的导数 会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 5 理解并会用罗尔 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理和泰勒 Taylor 定理 了解并会 用柯西 Cauchy 中值定理 6 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 7 理解函数的极值概念 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法 掌握函数最 大值和最小值的求法及其简单应用 8 会用导数判断函数图形的凹凸性 注 在区间 a b内 设函数 f x具有二阶导数 当 0fx 时 f x的图形是凹的 当 0fx 时 f x的图形是凸的 会求函数图形的拐点 以及水平 铅直和斜渐近线 会描绘函数的图形 9 了解曲率 曲率圆和曲率半径的概念 会计算曲率和曲率半径了解曲率 曲率圆和曲率半径的概念 会计算曲率和曲率半径 数学一 二要求数学一 二要求 15 二 知识网络 三 基本内容 一一 导数概念导数概念 1 导数定义 导数定义 设函数 yf x 在点 0 x的某邻域内有定义 若自变量从 0 x变到 0 xx 时 导数的定义 左 右导数 基本初等函数的导数 导数的四则运算 复合函数的导数 反函数的导数 隐函数的导数 参数方程求导 数一 二 2 阶导数 n 阶导数 高阶导数 导数的概念 导数的计算 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 中值定理 应用 洛必达法则求极限 研究函数性质 及几何应用 单调性定理 函数的单调区间 函数的极值 最值 曲线的凹凸性及拐点 渐近线 函数作图 边际 弹性 经济中的最大值和最小值应用 经济应用 数学三要求 微分概念 微分的计算 一阶微分形式不变性 微分 导数 泰勒定理 曲率 数学一 二要求 费马引理 切线 法线方程 16 函数的增量 00 yf xxf x 与自变量增量x 之比的极限 00 00 limlim xx f xxf xy xx 存在 则称 yf x 在 0 x处可导 此极限值称为 f x在 0 x处的导数 记作 0 fx 或 0 0 x x x x dy y dx 等 令 0 xxx 可得导数的等价定义 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 2 左导数左导数 若 00 0 lim x f xxf x x 存在 则称此极限值为 f x在x 0 x处的左导数 记作 0 fx 3 右导数右导数 若 00 0 lim x f xxf x x 存在 则称此极限值为 f x在x 0 x处的右导数 记作 0 fx 4 若函数 f x在区间 a b内任意点x处的导数 fx 都存在 则称 f x在 a b内可导 5 若函数 f x在 a b内可导 且 fa 及 fb 都存在 称 f x在闭区间 a b上可导 二二 函数可导的条件函数可导的条件 1 f x在x 0 x处可导的必要 非充分 条件是 f x在x 0 x处连续 2 f x在x 0 x处可导的充分与必要条件是 0 fx 与 0 fx 存在且相等 三三 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义 1 设函数 f x可导 则 0 fx 等于曲线y f x在点 00 xf x处切线的斜率 曲线 y f x在点 00 xf x处的切线与法线方程分别是 000 yf xfxxx 和 00 0 1 yf xxx fx 其中 0 0fx 2 设一质点作变速直线运动 若其位移s随时间t的变化规律为函数 ss t 则导数 0 s t 表示该质点在时刻 0 t的瞬时速度 注注 导数的物理意义有多种 如细棒状物质的线密度 电路中的电流强度 转动物体的角速 度等 17 四四 导数的计算导数的计算 1 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 1 0 cc 为常数 2 1 xx 为实数 3 ln 01 xx aaa aa 4 xx ee 5 1 log 0 1 ln a xaa xa 6 1 ln x x 7 sin cos xx 8 cos sin xx 9 2 tan sec xx 10 2 cos cscxx 11 sec sec tan xxx 12 csc csc cot xxx 13 2 1 arcsin 1 x x 14 2 1 arccos 1 x x 15 2 1 arctan 1 x x 16 2 1 arccot 1 x x 2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 设函数 u x v x都可导 则 1 uvuv 2 uvuvuv 特别 cucu c为常数 3 2 0 uu vuv v vv 3 复合函数求导法复合函数求导法 设 ux 在x处可导 yf u 在对应的 ux 处可导 则复合函数 yfx 在x 处可导 且 fxf ux 即 d ydy du dxdu dx 4 反函数的导数反函数的导数 若 xy 在某区间内单调 可导 且 0y 则其反函数 yf x 在对应的区间内 也可导 且 1 fx y 5 隐函数的导数隐函数的导数 设 yf x 是由方程 0F x y 所确定的可导函数 注意到x是自变量 y是x的函数 18 y的函数是x的复合函数 在方程的两边同时对x求导 可得到一个含有 y 的方程 从中解出 y 即可 注注 y 也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式 x y Fdy dxF 得到 这里 y x是由方程 0F x y 确定的函数 6 高阶导数高阶导数 1 函数 yf x 导数的导数 称为函数 f x的二阶导数 即 yy 记作 yfx 或 2 2 2 d y y dx 一般地 函数 yf x 的n阶导数为 1 nn yy 也可写作 n n n d y fx dx 或 2 设 u x v x具有n阶导数 则有 nnn au xbv xauxbvx a b为常数 1 1 nnnkn kkn nn u x v xux v xC ux v xC ux vxu x vx 7 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 数学一 二要求数学一 二要求 设 yy x 是由参数方程 xt t yt 确定的函数 1 若 t 和 t 都可导 且 0t 则 dyt dxt 2 若 tt 二阶可导 且 0t 则 2 23 1 t d yttttt dxttt 五五 微分微分 1 微分定义微分定义 设函数 yf x 在点x的某邻域内有定义 若对应于自变量的增量x 函数 的增量y 可以表示为 yA xox 其中A与x 无关 ox 是x 的高阶无穷小 则 称函数 yf x 在点x处可微 并把Ax 称为 f x在点x处的微分 记作dy或 df x 即 dy Ax 19 2 函数 yf x 在点x处可微的充分必要条件是 f x在x处可导 此时 Afx 即有 dyfx dx 3 一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性 设 yf u 可微 则微分 dyf u du 其中u不论是自变量 还是中间变量 以上微分形式保持不变 六六 微分中值定理微分中值定理 1 费马费马 fermat 引理引理 若 f x在 0 x的某邻域 0 U x内有定义 且在 0 x处可导 如果对任意 0 xU x 有 0 f xf x 或 0 f xf x 则 0 0fx 2 罗尔罗尔 Rolle 定理定理 若函数 f x在闭区间 a b上连续 在开区间 a b内可导 并且f a f b 则在开区间 a b内至少存在一点 使得 0f 3 拉格朗日拉格朗日 Lagrange 中值定理中值定理 若函数 f x在闭区间上连续 在开区间 a b内可导 则 在开区间 a b内至少存在一点 使得 f bf afba 4 柯西柯西 Cauchy 中值定理中值定理 若函数 f x和 g x在闭区间 a b上连续 在开区间 a b内可 导 且 0g x 则在开区间 a b内至少存在一点 使得 f bf af g bg ag 5 泰勒泰勒 Taylor 定理定理 1 假设函数 f x在含有 0 x的开区间 a b内具有直到1n 阶的导数 则 2 00 00000 2 n n n fxfx f xf xfxxxxxxxR x n 其中 1 1 0 1 n n n f R xxx n 是 0 x与x之间的某个值 此公式称为带有拉格朗日型余项 的泰勒公式 2 假设函数 f x在含有 0 x的开区间 a b内具有直到n阶的导数 则 2 00 000000 2 n nn fxfx f xf xfxxxxxxxoxx n 此公式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式 注 当 0 0 x 时 以下两公式称为麦克劳林 Maclaurin 公式 即 20 21 0 0 1 0 0 01 2 1 n nn fff nx f xffxxxx nn 和 2 0 0 0 0 2 n nn ff f xffxxxo x n 七七 洛必达洛必达 L Hospital 法则法则 1 0 0 型型 0 0 f xg xxg x 设 在点 的某去心邻域内可导 若 00 lim lim xxxx f xg x 0 且 0 lim xx fx g x 存在或为 则有 00 limlim xxxx f xfx g xg x 2 型型 设 f xg x 在点 0 x的某去心邻域内可导 0g x 若 0 lim xx f x 0 lim xx g x 且 0 lim xx fx g x 存在或为 则有 00 limlim xxxx f xfx g xg x 八八 利用导数研究函数及平面曲线的性态利用导数研究函数及平面曲线的性态 1 单调性定理单调性定理 设函数 f x在 a b上连续 在 a b内可导 若对任一x a b 有 0 0 fx 则 f x在 a b上单调增加 减少 注注 若将上面的不等式 0 0 fx 改为 0 0 fx 且使 0fx 的点 驻点 只有 有限个 则结论仍成立 2 极值极值 1 极值的定义 若 f x在 0 x的某邻域 0 U x内有定义 且对该邻域内任意异于 0 x的点x 都有 0 f xf x 或 0 f xf x 则称 0 x的极大 或小 值点 0 f x称为 f x的极大 或小 值 2 判断极值的第一充分条件判断极值的第一充分条件 设函数 f x在点 0 x的某邻域 00 xx 内连续 0 x是 f x的驻点或不可导点 在 00 xx 及 00 x x 内 f x均可导 1 若在 00 xx 内 0 0 fx 而在 00 x x 内 0 0 fx 则 f x在 0 x处取 21 极小值 极大值 2 若在 00 xx 和 00 x x 内 fx 符号相同 则 f x在 0 x处不取得极值 3 判断极值的第二充分条件判断极值的第二充分条件 设函数 f x在x 0 x处 一阶导数 0 0fx 二阶导数 0 fx 存在且不等于零 则当 0 0fx 时 f x在 0 x处取得极小值 当 0 0fx 时 f x在 0 x处取得极大值 3 取到极值的唯一性定理取到极值的唯一性定理 若 f x在区间I上可导 驻点唯一 且该驻点是极值点 则该 驻点一定是最值点 4 曲线凹凸性及拐点曲线凹凸性及拐点 1 凹凸性的定义凹凸性的定义 设 xf在区间I上连续 若对任意不同的两点 21 x x 恒有 1212 1212 11 2222 xxxx ff xf xff xf x 或 则称 xf在I上是凸 凹 的 2 凹凸性的判断凹凸性的判断 若函数 f x在区间I上 0 0 fx 则曲线 yf x 在I上凹 凸 的 3 拐点的定义拐点的定义 在连续曲线上 凹凸部分的分界点 00 xf x称为曲线的拐点 4 拐点的第一充分条件拐点的第一充分条件 设函数 f x在点 0 x的某邻域内连续且在该去心邻域内二阶可导 若 f x在 0 x的左右两边 fx 的符号相反 则点 00 xf x是曲线 xfy 的拐点 5 拐点的第二充分条件 拐点的第二充分条件 设函数 f x在点 0 x的某邻域内连续 0 0fx 而 0 0fx 则点 00 xf x是曲线 xfy 的拐点 5 曲线的渐近线曲线的渐近线 1 若lim x f xC 或x 或x C为常数 则yC 是曲线 yf x 的一条水 平渐近线 2 若 0 lim xx f x 或 0 xx 或 0 xx 则 0 xx 是曲线 yf x 的一条铅直渐近线 3 若 lim 0 x f x a a x 且lim x f xaxb 则yaxb 是曲线 yf x 的斜渐近线 22 九九 平面曲线的曲率平面曲线的曲率 数学一 二要求数学一 二要求 1 弧微分弧微分 设 yf x 是平面内的光滑曲线 则弧微分 2 1 dsy dx 若曲线方程为 xx t yy t 则弧微分为 22 dsx ty tdt 2 曲率曲率 1 设M和N是曲线上不同的两点 弧MN的长为s 当M点沿曲线到达 点时 点 处的切线所转过角为 则称极限 0 lim s K s 为该曲线在点M处的曲率 2 曲率计算公式 若曲线方程为 yf x 则曲率 2 3 2 1 y K y 若曲线由参数方程 xx t yy t 给出 则曲率 22 3 2 tttt tt x yy x K xy 3 曲率半径 1 0 RK K 三 典型题型 题型 与导数概念有关的命题 例 2 1 已知 3 2 f 则 0 3 3 lim 2 h fhf h 例 2 2 设函数 f x在0 x 处连续 且 2 0 1 lim 1 cos 1 h fh h 则 A 0 1 f B 0 2 f C 0 1 f D 0 2 f 例 2 3 设函数 f x可导 sin2 x F xex f x 则 0 0f 是 F x在0 x 处可 导的 条件 A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 非充分非必要 例 2 4 设周期函数 f x在 内可导 周期为 4 0 1 1 lim 2 x ffx x 1 则曲线 y f x 在点 5 5 f处的法线斜率为 A 2 1 B 0 C 1 D 2 例 2 5 设函数 f x在区间 内有定义 若当x 时 恒有 2 f xx 则 23 x0 必是 f x的 A 间断点 B 连续而不可导的点 C 可导的点 且 0 0 f D 可导的点 且 0 0 f 例 2 6 设 1 2 f xx xxxn 则 0 f 例 2 7 设函数 0 yf xxx 在处可导 0 1fx 则 0 lim x ydy dy 例 2 8 设函数 f x处处可微 且有 01 f 且对任何 x y恒有 x f xye f y x e f y 求 f x 例 2 9 设函数 f x在 上有定义 对任意 x y f x满足关系式 1 f xyf xf xyy 其中 0 lim0 y y y 又已知 0 2 f 则 1 f 例 2 10 设 F xg xxx 在xa 连续 但不可导 又 g a 存在 则 0g a 是 F x在xa 可导的 条件 A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 非充分非必要 例 2 11 函数 32 2 arctanf xxxxx 的不可导点的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 例 2 12 设函数 11 0 1 0 x x f xxe kx 连续 求常数k的值 并求 fx 题型二 导数与微分 例 2 13 求下列函数的导数 1 2 2 arctanln 1 x x x e ye e 2 2 2222 ln 22 xa f xxaxxa 24 例 2 14 设 2 sin yf x 其中f具有二阶导数 求 2 2 dy d y dx dx 例 2 15 设函数 ln 1 21 1 x x f x xx yff x 则 x e dy dx 例 2 16 设函数 f u可导 2 yf x 当自变量x在1 x处取得增量0 1x 时 相应 的函数增量y 的线性主部为 0 1 则 1 f 例 2 17 数一 二 设 2 arctan 25 t xt yy x ytye 由所确定 求 dy dx 例 2 18 设 2 2 41 1 x y x 求 100 y 例 2 19 设函数 yf x 由方程 23 ln sin xyx yx确定 则 0 x dy dx 例 2 20 设 n f xxax 其中 x 在xa 处具有1n 阶连续导数 试求 n fa 2 n 题型三 利用导数研究函数的性态 例 2 21 设当axb 时函数 f x g x是大于零的可导函数 且 fx g x f x 0gx 则当axb 时 有 A f x g bf b g x B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf a g a 25 例 2 22 设函数 xf在闭区间 ba上有定义 在开区间 ba内可导 则 A 当0 bfaf时 存在 ba 使0 f B 对任何 ba 有0 lim fxf x C 当 bfaf 时 存在 ba 使0 f D 存在 ba 使 f bf afba 例 2 23 设 yf x是微分方程 sin 0 x yye 的解 且 0 0fx 则 f x在 A 0 x某邻域内单调增加 B 0 x某邻域内单调减少 C 0 x处取得极大值 D 0 x处取得极小值 例 2 24 已知 0fxx 在的某个邻域内连续 且 0 lim2 1 cosx f x x 则在点0 x 处 f x A 不可导 B 可导 且 00 f C 取得极大值 D 取得极小值 例 2 25 设函数 f x满足关系式 2 fxfxx 且 0 0 f 则 A 0ff x是的极大值 B 0ff x是的极小值 C 点 0 0fyf x 是曲线的拐点 D 0f不是 f x的极值 点 0 0f也不是曲线 yf x 的拐点 例 2 26 设 2 2 0 x t f xedt 则 f x的极值为 例 2 27 求曲线 1 ln yxe x 的渐近线 例 2 28 讨论曲线4lnyxk 与 4 4ln yxx的交点个数 26 题型四 等式与不等式的证明 例 2 29 证明 当2 x时 3 6 1 2 1ln 1 xxxx 例 2 30 设ba 求证 2 ln bba aba 例 2 31 设 f x在 0 c上连续 且 0 xc 时 0 fx 0 0 f 证明 当0 ababc 时 f abf af b 题型五 中值定理证明题 例 2 32 设函数 xf在 ba上连续 在 ba内可导 且 0f a f b 0 2 ab f a f 试证 对任意实数k 至少存在一点 a b 使等式 fkf 成立 例 2 33 设0 2121 xxxx且 试证在 1 x与 2 x之间存在一点 使 2121 1 12 xxeexex xx 例 2 34 若 xf在 0 a上连续 在 0 a内可导 0a 且 0 1 f 0f a 证明 I 至少存在一点 0 a 使 f a II 在 0 a内必存在 12 xx 使 12 2 1 fxfx a 27 题型六 导数的应用题 例 2 35 当参数a为何值时 抛物线 2 axy 与曲线32 xy相切 并求两条曲线在切点 处的公共切线 例 2 36 某企业的总成本C关于产量Q的函数 0003 075 610485 2 QQQC 求该 企业的边际成本函数 求生产 5000 个产品时的边际成本并说明其经济意义 例 2 37 某厂生产一种电子产品 总成本函数为 2 1 3100 25 C xxx 百元 已知需求 函数为 375px p为每件产品的价格 单位 百元 问生产多少件产品时 总利润最大 此 时每件产品的价格为多少 例 2 38 设函数 1 sin 0 0 0 xx f xx x 问 常数 为何值时 f x在0 x 处 I 连续 II 可导 III 导函数连续 五 经典习题 1 设 f x在xa 处可导 则 0 lim x f axf ax x 等于 A fa B 2fa C 0 D 2fa 答案 选 B 2 设 f xx xa 其中 x 在 xa处连续 则 0a 是 f x在xa 处可导的 A 充分但不是必要条件 B 必要但不是充分条件 C 既不是充分 也不是必要条件 D 充分必要条件 答案 选 D 3 已知 32 32 x yf x 2 arcsinfxx 则 0 x dy dx 28 答案 3 2 4 设函数 yy x 由参数方程 32 ln 1xtt ytt 所确定 则 2 2 d y dx 答案 1 65tt t 5 已知函数 yy x 由方程 2 610 y exyx 确定 则 0 y 答案 2 6 设 1 1 x f x x 则 n fx 答案 1 21 1 n n n x 7 设函数 f x在 内连续 其导函数的图形如图所示 则 f x有 A 一个极小值点和两个极大值点 B 两个极小值点和一个极大值点 C 两