高一数学必修2立体几何概念定理公理整理

一一 平平面面的的三三大大基基本本公公理理和和推推论论 公公理理 1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 即这条直线在这个面内 如图 A B 公公理理 2 2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 如图 A A 公公理理 3 3 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 如图 A B C 为不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 使 推推论论 1 1 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 如图 B C a A a 有且只有一个平面 使 已已知知 有一条直线 a 和直线外一点 A 求求证证 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 证证明明 在直线 a 上取任意不重合两点 B C 又 A a A B C 不在同一直线上 即过 A B C 三点有且只有一平面 公理 3 B C a 又 B C 所以 a 公理 1 所以经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 AB a 且 A a A B C A a 推推论论 2 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 如图 a b A 有且只有一个平面 使 已已知知 直线 a b A 求求证证 经过两条相交直线 有且只有一个平面 证证明明 在a b上分别取不同于点 A 的点 B 和点 C 则过这不在同一直线上的三个点有且只有一个平面 公理 3 A B b 又 A B A C a 又 A C a b 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那 么这条直线就在这个平面内 因此平面 是过相交直线 a b 的平面 假设过直线 a b 还有一个平面 则 A B C 则过 A B C 有两个平面 和 与公理 3 矛盾 原假设错误 过直线 a b 的平面有且只有一个 经过两条相交直线 有且只有一个平面 注意不仅要证明 有 还要证明 只有一个 证明 只 有一个 时使用的是反证法 反证法一般程序 1 假设结论错误 2 据理推出假设矛盾 3 否定原假设 4 肯定结论为真 a b 推推论论 3 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 如图 a b 有且只有一个平面 使 已已知知 直线 a b 求求证证 经过两条平行直线 有且只有一个平面 证证明明 根据平行线的定义 同一平面内 不相交的两条直线叫做平行 线 a b 在同一平面内 a b 在直线 a 上取一点A A a 假设经过直线 a b 有另一平面 则 过点 A 和直线 b 与推论 1 矛盾 原假设错误 经过两条平行直线 有且只有一个平面 有 表示存在 只有 表示唯一 且 表示联立命题 所以此问题的证明即要证明 存在性 又要证明 唯一性 a b 立体几何的概念 公理 定理 推论整理 1 2 高一八单 郭祺整理 1 纠正与补充 A B 公公理理 4 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的传递性 如图 a b b c 二二 空空间间两两条条直直线线的的位位置置关关系系 平平行行 相相交交 异异面面 a c 等等角角定定理理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角相等 如图 AC A C AB A B 推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等 补 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反 那么这两个角互补 CAB C A B 异异面面直直线线的的定定义义 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 异异面面直直线线判判定定定定理理 过平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 如图 A B a A B L 已已知知 直线 a 在平面 内 a 直线 L 与平面 交于 B 点 L B 在直线 L 上有不同于 B 点的一个 A 点 A B 且点 A 在平面 外 A a 求求证证 直线 L 与直线 a 异面 证证明明 假设直线 L 与直线 a 共面 过 B 点和直线 a 有且只有一个平面 推论 1 直线 a 和直线 L 都在平面 内 又 A L L 所以 A 与点 A 在平面 外相矛盾 原假设错误 直线 L 与直线 a 不共面 直线 a 与直线 L 为异面直线 异面直线的定义 A B L 与 a 异面 证证明明 CAB C A B 分别在 CAB 和 C A B 的两边上截取 AC A C AB A B 连结 AA CC BB CB C B AB A B AB A B 四边形 ABB A 是平行四边形 AA BB 同理 AA CC BB CC 四边形 CBB C 是平行四边形 AC A C AB A B CB C B ABC A B C CAB C A B 我们把直线 L 与直线a 所成的锐角 或直角 叫做异面直线L a 所成的角 0 90 若若异异面面直直线线 L L a a 所所成成的的角角是是直直角角 则则称称异异面面 直直线线 L L a a 互互相相垂垂直直 记记作作 L L a a 线线线线垂垂直直 一般异面直线求角度我们通过平移至相交求其 所成的夹角大小 在一个三角形内解决异面直 线所成的角度是一种常用的方法 两两异异面面直直线线间间距距离离 公垂线段 公公垂垂线线段段 和两条异面直线都垂直相交的直线 叫做这两条异面直线的公垂线 两条异面直 线 有且只有一条公垂 线 初初中中有有关关知知识识回回顾顾 简简略略 平平行行线线判判定定方方法法 1 1 同位角相等 两直线平行 2 2 内错角相等 两直线平行 3 3 同旁内角互补 两直线平行 4 4 平行于同一直线的两条直线互相平行 5 5 同一平面内 垂直于同一直线的两条直线互相平行 6 6 同一平面内 永不相交的两条直线平行 平平行行线线的的性性质质 如图 已知直线 m n 直线 L 与直线 m n 分别相交于点 A 点 B 1 两直线平行 同位角相等 如图 1 2 2 两直线平行 内错角相等 如图 2 3 3 两直线平行 同旁内角互补 如图 2 4 180 平平行行四四边边形形的的判判定定定定理理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 5 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6 对角分别相等的四边形是平行四边形 菱菱形形的的判判定定定定理理 1 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3 邻边相等的平行四边形是菱形 矩矩形形的的判判定定定定理理 1 对角线相等的平行四边形是矩形 2 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 有三个角是直角的四边形是矩形 正正方方形形的的判判定定定定理理 1 有一个角是直角的菱形是正方形 2 对角线互相垂直的矩形是正方形 3 四边相等的矩形是正方形 立立体体几几何何的的学学习习离离不不开开平平面面几几何何的的基基础础 2 纠正与补充 例例 图图中中直直线线 A AB B 是是异异面面直直线线 a a b b 的的公公垂垂线线 3 平平行行线线分分线线段段成成比比例例定定理理 三条平行线截两条直线 所得对应线段成比例 如图 AD BE CF AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF 也可以说 AB DE BC EF AB DE AC DF BC EF AC DF 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得对应线段成比例 一一条条直直线线和和一一个个平平面面的的位位置置关关系系有有且且只只有有以以下下三三种种 1 如果一条直线 a 和一个平面 没有公共点 我们就说直线 a 与平面 平行 a 2 如果直线 a 与平面 有且只只有有一一个个公共点 我们就说直线 a 与平面 相交 a A 3 如果直线 a 与平面有无数个公共点 我们就说直线 a 在平面 内 a 三三 直直线线和和平平面面的的位位置置关关系系 a a A a 直直线线与与平平面面平平行行的的判判定定定定理理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 如图 a b a b a 直直线线和和平平面面平平行行的的性性质质定定理理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线就和交线平行 如图 a a b a b 已已知知 a a b 如图 求求证证 a b 证证明明 a 本题还可以用反证法证明 略 直线 a 与平面 没有公共点 b 直线 a 和 b 没有公共点 a b a b 求求证证 如果三个平面两两相交于三条直线 并且其中两条直线平行 那么第三条直线也和它们平行 平平行行线线等等分分线线段段定定理理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 如图 L1 L2 L3 L4 L5 L6 为任意三条截这组平行线的直线 若 a a 则 b b c c 推推论论 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边 经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰 证明略 L1 L2 L3 L4 L5 L6 m n L 已已知知 平面 为图中三棱柱的三个侧面 n m L 且 m n 求求证证 L m L n 证证明明 m n n m n n L L n 同理 L m 如果三个平面两两相交于三条直线 并且其中 两条直线平行 那么第三条直线也和它们平行 可可当当作作一一个个结结论论或或定定理理来来用用 纠正与补充 4 P P3 31 1 思思考考题题 如果三个平面两两相交于三条直线 并且其中两条直线相交 那么第三条直线和这两条直线有怎么样的位置关系 答答 第三条线过这两条直线的交点 如如图图 已已知知 b c a a b s 求求证证 a b c s 证证明明 c c 为平面 和 的交线 又 b a a b s s c 两两个个相相交交平平面面内内的的两两条条直直线线交交于于一一点点 则则这这一一点点必必定定在在这这两两个个面面的的交交线线上上 a b c s a b c 如果三个平面两两相交于三条直线 并且其中两条直线相交 那么第三条直线和这两条直 线交于同一点 证明略 可可当当作作一一个个结结论论来来用用 直直线线与与平平面面的的垂垂直直 如果一条直线 a 与一个平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直直线线 a 与平平面面 互互相相垂垂直直 记作 a 直线 a 叫做平平面面 的垂垂线线 平面 叫做直直线线 a 的垂垂面面 垂线和平面的交点称为垂垂足足 重重要要的的两两个个结结论论 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 证明方法参考 钥匙 P38 直直线线与与平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直 那么这条直线垂直于这个平面 直直线线与与平平面面垂垂直直的的性性质质定定理理 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 如图 已已知知 a b 求求证证 a b 证证明明 假设 b 不平行于 a 设 a b P b 是经过点P与直线 a 平行的直线 直线 b 与 b 确定平面 设 c a b a c b c 又 b a b c 这样在平面 内 经过直线 c 上同一点P 有两条直线 b b 与 c 垂直 与平面几何中经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾 原假设错误 a b a b a b P P b b 纠正与补充 本定理的证明在我们现在的知识范围内解决很麻烦 在此就不做详细证明 以后学习向量时可轻松解决 你你有有办办法法证证明明吗吗 试试一一下下吧吧 定定理理 1 1 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面 那么另一条直线也垂直这个平面 如如图图 已已知知 a b a 求求证证 b 证证明明 设 m 为 任意一条直线 b m a a b a b a m a m b a b m 由 m 的任意性可知 直线 b 垂直于 内任意一条直线 所以 b 5 定定理理 2 2 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 那么它也垂直于另一个平面 如如图图 已已知知 a 求求证证 a 证证明明 设 a A a B 在平面 内取任意一条直线 b 过 b 做截面 b c 又因为 所以 b 则 b c 直线和平面平行的性质定理 又 a b 所以 a b 所以 a c 一条直线垂直于一组平行线中的任意一条 则这条直线也将垂直另一条 由于 b 直线在平面 内具有任意性 则 c 直线在 平面内也具有任意性 所以 a 垂直 中的任意直线 所以 a 可作为直线和平面垂直的判定定理直接使用 a a 直直线线与与平平面面所所成成的的角角 一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫做这个平面的斜斜线线 斜线与平面的焦点叫做斜斜足足 斜线上一点与斜足间的线 段叫做这个点到平面的斜斜线线段段 如图 过平面外一点 P 向向平平面面 引引斜斜线线和和垂垂线线 那么过斜足 Q 和垂足 P 的直线就是斜线在平面 内的正投影 简称投影 线段 P Q 就是斜线段 PQ 在平面内的射影 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐锐角角 叫做这这条条直直线线与与这这个个平平面面所所成成的的角角 P PQ Q 与与平平面面 内内经经过过点点 Q Q 的的直直线线所所成成的的所所有有角角中中 P PQ QP P 最最小小 可证明 略 直线和平面所成的角 的范围 0 90 而斜线和平面所成的角 的范围 0 90 当直线与平面平行或直线在平面内时 直线与平面成 0 角 当直线与平面垂直时 直线与平面成 90 课外补充 射射影影定定理理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 垂线段比任何一条斜线段都短 P P Q c b A B 三三垂垂线线定定理理及及其其逆逆定定理理 很重要哦 三三垂垂线线定定理理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 已已知知 直线 a在平面 内 直线AB 是平面 的斜线 CB为 AB在平面 内的射影 且a垂直 CB 求求证证 a AB 证证明明 a AC a AC a BC AC BC C a ABC AB 平面 ABC a AB 三三垂垂线线定定理理的的逆逆定定理理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 已已知知 直线a 在平面 内 直线AB是平面 的斜线 CB为AB在平面 内的射影 且a垂直 AB 求求证证 a CB 证证明明 a AC a AC a AB AB BC B a ABC AB 平面 ABC a CB 三三垂垂线线定定理理及及其其逆逆定定理理的的互互相相转转换换在在考考试试中中特特别别常常用用 它它是是解解题题过过程程中中的的一一个个 中中转转站站 运运用用熟熟练练对对我我们们解解决决许许多多空空间间几几何何问问题题有有极极大大的的帮帮助助 纠正与补充 6 证证明明题题 如图 已知 BAC 在平面 内 P PAB PAC 求求证证 点点 P P 在在平平面面 内内的的射射影影在在 B BA AC C 的的平平分分线线上上 证证明明 作 PO PE AB PF AC 垂足分别为 O E F 连结 OE OF OA P A B E O F C 此题所证明的问题是一个非常重要的结论 需留意 PE AB PF AC PAB PAC PA PA Rt PAE Rt PAF AAS AE AF PO AB AB PO AB PE AB 平面 PEO AB OE 这是个重要的结论 在选择填空题可帮助 我们迅速解决问题 线线与与面面垂垂直直还还有有面面与与面面垂垂直直的的问问题题较较为为复复杂杂 因因为为在在空空间间里里垂垂直直不不再再能能够够直直接接看看出出来来 缺缺少少直直观观会会让让我我们们思思路路不不明明确确 故故解解决决垂垂直直问问题题时时 大大家家要要注注意意 四四 平平面面和和平平面面的的位位置置关关系系 空间两个平面不外乎有两种位置关系 平平行行或相相交交 平平行行 如果两个平面没有公共点 那么就说这两个平面互相平行 相相交交 如果两个平面有一个公共点 那么由公理 2 可知 它们相交于经过这个点的一条直线 两两个个平平面面平平行行的的判判定定定定理理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 如如图图 1 1 已已知知 在平面 内有两条相交直线 a b a b A 且直线 a b 都平行平面 求求证证 证证明明 假设平面 不平行于平面 则它们必相交于一条直线 设这条直线为 c 假设直线 a b 同时平行 c 则 a b 平行与同一直线的两直线平行 与已知条件中 a b 相交矛盾 故 a b 直线不可能同时平行 c 所以 a b 直线必与 c 直线存在交点 且交点在平面 和 的交线 c 上 与已知条件中 a b 同时平行平面 相矛盾 所以原假设平面 不平行于平面 是错的 所以 你知道为什么 如果一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 是假命题吗 答答 如图 2 平面 和 相交于 a 我们可以在平面 内作出无数条直线与平面 平行 也就是说即即使使在在一一个个平平面面内内有有无无数数条条直直线线和和另另一一 个个平平面面平平行行 也也不不能能保保证证这这两两个个平平面面平平行行 更不用说两条平行线了 a b a b A a b 此此定定理理推推论论 如如果果一一个个平平面面内内有有两两条条相相交交直直线线 与与另另一一个个平平面面的的两两条条相相交交直直线线分分别别平平行行 那那么么这这 两两个个平平面面平平行行 因因为为两两条条相相交交直直线线确确定定唯唯一一一一个个平平面面 这这是是重重要要的的推推论论哦哦 给给你你解解题题带带来来很很大大的的方方便便 a b A 图 1 定定理理 垂直于同一直线的两个平面平行 a a b b A A 证明两个平面平行的方法目前有且仅有 两种 1 定定义义法法 需借反证法证明 2 判判定定定定理理法法 其中 一个平面内有 两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 是目前最好的 方法 使用该方法必须在一个平面内 构造出相交直线与另一个平面平行 如图 已已知知 平面 和 都垂直于直线 AA 求求证证 证证明明 设经过直线 AA 的两个平面 读作 delta 分别与平面 相交于直线 b b 和 a a AA AA AA a AA a AA a a 都在平面 内 由平面几何的 知识 在同一平面内 垂直同一直线的两直 线平行 a a a 线面平行的判定定理 同理 b 又 a b A a b 该该题题可可以以作作为为两两个个平平面面的的判判定定定定理理 纠正与补充 同理 AC OF 在 Rt AOE 和 Rt AOF 中 AE AF OA OA 所以 Rt AOE Rt AOF 于是 EAO FAO 因此 点 P 在 内的射影 OA 在 BAC 的平分线上 图 2 a 7 定定理理 平行于同一平面的两个平面平行 a 如如图图 已已知知 求求证证 证证明明 任作一条直线 a 使得 a 由于 则 a a 定理 补补充充几几个个结结论论 1 经过平面外一点 一条直线 有且只有一个平面和已知平面平行 2 夹在两个平面内的平行线段相等 3 夹在两个平面内的平行线与平面所成的角度相等 4 一条直线平行于两个平行平面中的任意一个 则它也平行于另一个 5 一条直线垂直于两个平行平面中的任意一个 则它也垂直于另一个 证明略 还还有有 你你还还能能想想到到什什么么 请请写写下下来来吧吧 6 7 8 两两个个平平面面平平行行的的性性质质定定理理 如如图图 已已知知 a b 求求证证 a b 证证明明 因为 所以 和 没有公共点 因而交线 a b 也没有公共点 又因为 a b 都在平面 内 所以 a b a b 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么所得的两条交线平行 a b a b 平平行行平平面面间间距距离离 与两个平面都垂直的直线 叫做这平面的公公垂垂线线 它夹在这两个平面内的线段 叫做这两个平面的公公垂垂线线段段 两个平面的公垂线都相等 我们把公垂线的长度叫做两两个个平平面面间间的的距距离离 用用 面面面面平平行行 的的性性质质证证明明线线面面平平行行 线线线线平平行行的的方方法法 一一 两两个个平平面面平平行行有有如如下下性性质质 1 两个平行平面中 一个平面内的直线必平行于另一个平面 简言之 面面面面平平行行 线线面面平平行行 2 如果两个平行平面和第三个平面相交 那么它们的交线平行 简言之 面面面面平平行行 线线线线平平行行 因此 面面平行的性质可以解决 线线平行 和 线线平行 的问题 二二 利用性质解决问题的关键是构造出性质定理的应应用用背背景景 三 转转换换是解决立体几何问题中的一个非常重要的思想 有时要证明面面平行必须先证明线线平行 有时要证明线线平行又必须先证明面面平行 二二面面角角的的概概念念 平面内一条直线把这个平面分成两部分 其中的每一个部分都叫做平平面面角角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二二面面角角 二二面面角角的的大大小小 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二二面面角角的的平平面面角角 注注意意 二面角的大小是通过转化成二面角的平面角来度量的 二面角的平面角是多大 就是这个二面角是多大 我们规定 二面角 的大小范围 是 0 0 1 18 80 0 直直二二面面角角 平平面面角角是是直直角角的的二二面面角角叫叫做做直直二二面面角角 两两个个平平面面垂垂直直的的定定义义 两个平面相交 如果所成的二面角是直二面角 则称这两个平面互相垂直 如如图图 已已知知 直线 AB 垂直平面 平面 过直线 AB MN 求求证证 证证明明 在平面 内找一点 C 连结 CB 使得 CB MN AB MN AB MN 又 CB MN ABC 是二面角 MN 的平面角 又 BC AB BC ABC 90 即平面 和 的二面角是直二面角 两两个个平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 A AB AB BC M N 纠正与补充 8 两两个个平平面面垂垂直直的的性性质质定定理理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 A B C 如如图图 已已知知 m AB AB m B 为垂足 求求证证 AB 证证明明 在平面 内作 BC m 则 ABC 是二面角 m 的平面角 由 可知 AB BC 又 AB m BC m B AB m 求求证证 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内的一点且垂直第二个平面的直线必在第一个平面内 P b a c P b a c 如如图图 已已知知 P P a a 求求证证 a 证证明明 设 c 过点 P 在平面 内作直线 b c 根据平面与平面垂直的性质定理 有