高数重要定理(高数上下)

洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则 1 1 1 1 当当当当xaxaxaxa 或或或或x x x x 时时时时 f xf xf xf x及及及及 F xF xF xF x都趋都趋都趋都趋 于零 或无穷大于零 或无穷大于零 或无穷大于零 或无穷大 2 2 2 2 在点在点在点在点a a a a的某去心邻域的某去心邻域的某去心邻域的某去心邻域 或或或或 0 0 0 0 xMxMxMxM 内内内内 fxfxfxfx 及及及及 FxFxFxFx 都存在且都存在且都存在且都存在且 0 0 0 0FxFxFxFx 3 3 3 3 limlimlimlim xaxaxaxa x x x x fxfxfxfx FxFxFxFx 存在存在存在存在 或为无穷大或为无穷大或为无穷大或为无穷大 则则则则 limlimlimlimlimlimlimlim xaxaxaxaxaxaxaxa xxxxxxxx f xfxf xfxf xfxf xfx F xFxF xFxF xFxF xFx 等价无穷小量替换等价无穷小量替换等价无穷小量替换等价无穷小量替换 代换 代换 代换 代换 定理 定理 定理 定理 在同一个极限过程在同一个极限过程在同一个极限过程在同一个极限过程 若若若若 则 则 则 则 limlimlimlim 注注注注 等价无穷小量代换一般只能用在等价无穷小量代换一般只能用在等价无穷小量代换一般只能用在等价无穷小量代换一般只能用在整体整体整体整体乘乘乘乘 除关系除关系除关系除关系 而不能用在而不能用在而不能用在而不能用在局部局部局部局部乘乘乘乘 除关系除关系除关系除关系和整体和整体和整体和整体加加加加 减关系减关系减关系减关系 常用等价无穷小量 常用等价无穷小量 常用等价无穷小量 常用等价无穷小量 1 1 1 1 当当当当0 0 0 0 x x x x 时时时时 1 1 1 1 sin tan arcsin arctansin tan arcsin arctansin tan arcsin arctansin tan arcsin arctanxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2 2 2 2 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 1 x x x x xexxexxexxex 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln x x x x axaaxaaxaaxa 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1cos 1 1 1cos 1 1 1cos 1 1 1cos 2 2 2 2 xxxxxxxxxxxxxxxx 2 2 2 2 1 ln1 1 ln11 ln11 ln1xxxxxxxxxxxx 带皮亚诺余项带皮亚诺余项带皮亚诺余项带皮亚诺余项的的的的泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式 若若若若 f xf xf xf x在在在在 0 0 0 0 x x x x及其附近有直到及其附近有直到及其附近有直到及其附近有直到n n n n阶的导数阶的导数阶的导数阶的导数 则则则则 0 0 0 0 0000000000000000 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n fxfxfxfx f xf xfxxxxxf xf xfxxxxxf xf xfxxxxxf xf xfxxxxx n n n n o xxo xxo xxo xx 特别当特别当特别当特别当 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x 时 称为麦克劳林公式时 称为麦克劳林公式时 称为麦克劳林公式时 称为麦克劳林公式 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 n n n n nnnnnnnn ffffffff f xffxxxo xf xffxxxo xf xffxxxo xf xffxxxo x n n n n 在使用泰勒公式的时候 常用到如下无穷小的在使用泰勒公式的时候 常用到如下无穷小的在使用泰勒公式的时候 常用到如下无穷小的在使用泰勒公式的时候 常用到如下无穷小的 运算 运算 运算 运算 22323 22222 3 xo xo xox o xo x o xo xo xoxo x 常用的麦克劳林展开式 常用的麦克劳林展开式 常用的麦克劳林展开式 常用的麦克劳林展开式 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x x x x x exo xexo xexo xexo x 3 3 3 3 3 3 3 3 sin sin sin sin 3 3 3 3 x x x x xxo xxxo xxxo xxxo x 2 2 2 2 2 2 2 2 cos1 cos1 cos1 cos1 2 2 2 2 x x x x xo xxo xxo xxo x 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2 2 2 2 x x x x xxo xxxo xxxo xxxo x 在自变量同一变化过程下在自变量同一变化过程下在自变量同一变化过程下在自变量同一变化过程下 0 0 0 0 0 0 0 0 xxxxxxxx 1 1 1 1 高阶 若 高阶 若 高阶 若 高阶 若 lim0lim0lim0lim0 x x x x x x x x 记为 记为 记为 记为 xxxxxxxx 2 2 2 2 低阶 若 低阶 若 低阶 若 低阶 若 limlimlimlim x x x x x x x x 记为 记为 记为 记为 xxxxxxxx 3 3 3 3 同阶 同阶 同阶 同阶 若若若若 lim0lim0lim0lim0 x x x x C C C C x x x x 记为记为记为记为 xOxxOxxOxxOx 若若若若1 1 1 1C C C C 称 称 称 称 xxxxxxxx 是等价无穷小 记为是等价无穷小 记为是等价无穷小 记为是等价无穷小 记为 xxxxxxxx 4 4 4 4 无穷小量的阶无穷小量的阶无穷小量的阶无穷小量的阶 若若若若 lim0lim0lim0lim0 k k k k x x x x C C C C x x x x 称 称 称 称 x x x x 是是是是 x x x x 的的的的k k k k阶无穷小量阶无穷小量阶无穷小量阶无穷小量 宝典公式宝典公式 1 1 1 1 lim 0 lim f x g xA g x 则则lim 0f x 2 2 2 2 lim 0 lim0 f x f xA g x 则则lim 0g x 3 3 3 3 已知已知lim f x g xA lim f x 则则lim 0g x 1 1 1 1 连续函数的和 差 积 商 分母不为零 及复合仍连续连续函数的和 差 积 商 分母不为零 及复合仍连续连续函数的和 差 积 商 分母不为零 及复合仍连续连续函数的和 差 积 商 分母不为零 及复合仍连续 2 2 2 2 初等函数在其定义区间内处处连续初等函数在其定义区间内处处连续初等函数在其定义区间内处处连续初等函数在其定义区间内处处连续 3 3 3 3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1 1 1 1 最值性最值性最值性最值性 若若若若 xf在在在在 ba上连续上连续上连续上连续 则则则则 xf在在在在 ba上必有最大值上必有最大值上必有最大值上必有最大值 和最小值和最小值和最小值和最小值 2 2 2 2 有界性有界性有界性有界性 若若若若 xf在在在在 ba上连续上连续上连续上连续 则则则则 xf在在在在 ba上有界上有界上有界上有界 3 3 3 3 介值性介值性介值性介值性 若若若若 xf在在在在 ba上连续上连续上连续上连续 则则则则 xf在在在在 ba上可取到介于上可取到介于上可取到介于上可取到介于 它在它在它在它在 ba上最小值与最大值之间的一切值上最小值与最大值之间的一切值上最小值与最大值之间的一切值上最小值与最大值之间的一切值 4 4 4 4 零 点定 理零 点定 理零 点定 理零 点定 理 或 根的 存在 定理或 根的 存在 定理或 根的 存在 定理或 根的 存在 定理 若若若若 xf在在在在 ba连 续连 续连 续连 续 且且且且 0 bfaf 则必则必则必则必 ba 使 使 使 使0 f 求导法则求导法则求导法则求导法则 1 1 1 1 四则运算法则 四则运算法则 四则运算法则 四则运算法则 2 2 2 2 复合函数求导法 复合函数求导法 复合函数求导法 复合函数求导法 3 3 3 3 隐函数求导法 隐函数求导法 隐函数求导法 隐函数求导法 4 4 4 4 反函数求导数 反函数求导数 反函数求导数 反函数求导数 5 5 5 5 参数方程求导法 参数方程求导法 参数方程求导法 参数方程求导法 6 6 6 6 对数求导法 对数求导法 对数求导法 对数求导法 7 7 7 7 高阶导数 高阶导数 高阶导数 高阶导数 高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数 1 1 1 1 归纳法 归纳法 归纳法 归纳法 求一阶求一阶求一阶求一阶y 二阶 二阶 二阶 二阶y 归纳 归纳 归纳 归纳n阶导数阶导数阶导数阶导数 n y 2 2 2 2 公式法 公式法 公式法 公式法 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 0 knk k n n v n k uCuv 注 注 注 注 1 1 1 1 sin sin 2 n n ax baax b n cos cos 2 n n ax baax b n 2 2 2 2 ln nn xx aaa 3 3 3 3 1 1 1 1 nn xnx 特别地 特别地 特别地 特别地 n n xn 1 0 n n x 1 1 11 1 1 1 n n n n n x xx 1 1 1 1 1 1 n n nn x xx 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ln 1 1 1 n n n nn x xx 一 一 一 一 罗尔定理罗尔定理罗尔定理罗尔定理 设设设设 f xf xf xf x在在在在 a ba ba ba b连续连续连续连续 在在在在 a ba ba ba b内可导 且内可导 且内可导 且内可导 且 f af bf af bf af bf af b 那么至少那么至少那么至少那么至少 a ba ba ba b 使 使 使 使 0 0 0 0f f f f 二 二 二 二 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设设设设 f xf xf xf x在在在在 a ba ba ba b连续连续连续连续 在在在在 a ba ba ba b可导可导可导可导 那么至少存在那么至少存在那么至少存在那么至少存在 一个一个一个一个 a ba ba ba b 使使使使 f bf af bf af bf af bf a f f f f babababa 注 注 注 注 01ab a 有限增量公式 有限增量公式 有限增量公式 有限增量公式 f xxf xfx 三 三 三 三 柯西中值定理柯西中值定理柯西中值定理柯西中值定理 设设设设 f xg xf xg xf xg xf xg x在在在在 a ba ba ba b上连续上连续上连续上连续 在在在在 a ba ba ba b内可导 且内可导 且内可导 且内可导 且 0 0 0 0g xg xg xg x 那么至少存在一个那么至少存在一个那么至少存在一个那么至少存在一个 a ba ba ba b 使 使 使 使 f bf aff bf aff bf aff bf af g bg agg bg agg bg agg bg ag 四 泰勒定理四 泰勒定理四 泰勒定理四 泰勒定理 带拉格朗日余项的泰勒公式 带拉格朗日余项的泰勒公式 带拉格朗日余项的泰勒公式 带拉格朗日余项的泰勒公式 设设设设 f xf xf xf x在区间在区间在区间在区间I I I I上上上上 1 1 1 1 n n n n 阶可导阶可导阶可导阶可导 0 0 0 0 xIxIxIxI 那么那么那么那么 xIxIxIxI 至少存在一个至少存在一个至少存在一个至少存在一个 使使使使 2 2 2 2 0 0 0 0 0000000000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n fxfxfxfx f xf xfxxxxxf xf xfxxxxxf xf xfxxxxxf xf xfxxxxx fxfxfxfx xxRxxxRxxxRxxxRx n n n n 其中其中其中其中 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n f f f f RxxxRxxxRxxxRxxx n n n n 在在在在 0 0 0 0 x x x x与与与与x x x x之间之间之间之间 证明存在两个点证明存在两个点证明存在两个点证明存在两个点 ba 使得使得使得使得 0G ff 方法提示 利用一次或两次中值定理方法提示 利用一次或两次中值定理方法提示 利用一次或两次中值定理方法提示 利用一次或两次中值定理 1 1 1 1 证明在证明在证明在证明在 a b内存在内存在内存在内存在 满足某种关系式的命题满足某种关系式的命题满足某种关系式的命题满足某种关系式的命题 的程序 的程序 的程序 的程序 1 1 1 1 在欲证的等式中在欲证的等式中在欲证的等式中在欲证的等式中 将将将将 和和和和 分离开来分离开来分离开来分离开来 即把包即把包即把包即把包 含含含含 的函数和包含的函数和包含的函数和包含的函数和包含 的函数分别放在等式的两的函数分别放在等式的两的函数分别放在等式的两的函数分别放在等式的两 端端端端 2 2 2 2 选择等式的一端应用一次中值定理或介值选择等式的一端应用一次中值定理或介值选择等式的一端应用一次中值定理或介值选择等式的一端应用一次中值定理或介值 定理得到定理得到定理得到定理得到 再对等式的另一端应用一次中值定再对等式的另一端应用一次中值定再对等式的另一端应用一次中值定再对等式的另一端应用一次中值定 理或介值定理得到理或介值定理得到理或介值定理得到理或介值定理得到 2 2 2 2 证明在证明在证明在证明在 a b内存在内存在内存在内存在 且且且且 满足某种关系式满足某种关系式满足某种关系式满足某种关系式 的命题 的命题 的命题 的命题 1 1 1 1 关键是通过零点定理 介值定理或其他条关键是通过零点定理 介值定理或其他条关键是通过零点定理 介值定理或其他条关键是通过零点定理 介值定理或其他条 件件件件 找出符合题意的分界点找出符合题意的分界点找出符合题意的分界点找出符合题意的分界点 ca b 将区间将区间将区间将区间 a b分分分分 成两个不相交的部分区间成两个不相交的部分区间成两个不相交的部分区间成两个不相交的部分区间 2 2 2 2 在在在在 a c和和和和 c b上分别应用中值定理进行证明上分别应用中值定理进行证明上分别应用中值定理进行证明上分别应用中值定理进行证明 即可即可即可即可 应用泰勒公式 应用泰勒公式 应用泰勒公式 应用泰勒公式 证明等式或者不等式 证明等式或者不等式 证明等式或者不等式 证明等式或者不等式 分四步 分四步 分四步 分四步 1 1 1 1 找找找找 n n n n 2 2 2 2 确定确定确定确定 0 x 将函数 将函数 将函数 将函数 f x在点在点在点在点 0 x处展开成泰勒公式处展开成泰勒公式处展开成泰勒公式处展开成泰勒公式 一般题设中会一般题设中会一般题设中会一般题设中会 提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点 0 x 通常取 通常取 通常取 通常取 0 x为函数值为函数值为函数值为函数值 为零的点为零的点为零的点为零的点 导数值为零的点导数值为零的点导数值为零的点导数值为零的点 区间中点区间中点区间中点区间中点 函数的极值点或题设中函数的极值点或题设中函数的极值点或题设中函数的极值点或题设中 给出的其他特殊的点给出的其他特殊的点给出的其他特殊的点给出的其他特殊的点 3 3 3 3 将区间端点将区间端点将区间端点将区间端点a和和和和b分别代入泰勒展开式分别代入泰勒展开式分别代入泰勒展开式分别代入泰勒展开式 把得到的两个展开式相把得到的两个展开式相把得到的两个展开式相把得到的两个展开式相 加或相减加或相减加或相减加或相减 4 4 4 4 如果欲证等式如果欲证等式如果欲证等式如果欲证等式 则再应用介值定理即可证明则再应用介值定理即可证明则再应用介值定理即可证明则再应用介值定理即可证明 如果欲证不等式如果欲证不等式如果欲证不等式如果欲证不等式 则继续取绝对值放大 缩小即可证明则继续取绝对值放大 缩小即可证明则继续取绝对值放大 缩小即可证明则继续取绝对值放大 缩小即可证明 1 1 1 1 水平渐近线 水平渐近线 水平渐近线 水平渐近线 若若若若Axf x lim 或 或或或Axf x lim或或或或Axf x lim 则则则则Ay 是曲线是曲线是曲线是曲线 xfy 的的的的一条一条一条一条水平渐近线 水平渐近线 水平渐近线 水平渐近线 2 2 2 2 垂直 垂直 垂直 垂直 竖直 铅直 竖直 铅直 竖直 铅直 竖直 铅直 渐近线渐近线渐近线渐近线 若若若若lim xa f x 或或或或lim xa f x 则则则则x a 为曲线为曲线为曲线为曲线 xfy 的一条垂的一条垂的一条垂的一条垂 直渐近线 直渐近线 直渐近线 直渐近线 3 3 3 3 斜渐近线 斜渐近线 斜渐近线 斜渐近线 若若若若 lim0 x f x a x lim x f xaxb 或或或或 lim0 x f x a x lim x f xaxb 则则则则y ax b 是曲线是曲线是曲线是曲线 xfy 的一条斜渐近线 的一条斜渐近线 的一条斜渐近线 的一条斜渐近线 基本积分公式基本积分公式基本积分公式基本积分公式 1 1 1 1 arcsinarcsin 222 1 dxxdx Cx C a axx 2 2 2 2 1arctan arctan 222 1 dxxdx Cx C aa axx 3 3 3 3 11 ln ln 222222 dxaxdxax CC axax aa axxa 4 4 4 4 tanln cos cotln sinxdxxCxdxxC 5 5 5 5 sec dln sectan x xxxC 6 6 6 6 csc dln csccot x xxxC 7 7 7 7 d 22 ln 22 x xxaC xa 常见的凑微分形式常见的凑微分形式常见的凑微分形式常见的凑微分形式 1 1 1 1 baxdbaxf na dxxbaxf nnnn 1 1 0 0 an 2 2 2 2 sincossinsin fxxdxfx dx 3 3 3 3 lnlnln dx fxfx dx x 4 4 4 4 2 dx fxfx dx x 5 5 5 5 cossincoscos fxxdxfx dx 6 6 6 6 2 111 dx ffd xxxx 定积分的性质定积分的性质定积分的性质定积分的性质 1 1 1 1 b a a b dxxfdxxf 2 2 2 2 0 a a f x dx 3 3 3 3 1 1221122 bbb aaa k fxk fxdxkfx dxkfx dx 4 4 4 4 b c c a b a dxxfdxxfdxxf c 也可以在也可以在也可以在也可以在 ba 之外之外之外之外 5 5 5 5 设设设设 ba 若若若若 Mxfm bxa 则则则则 b a m baf x dxM ba 6 6 6 6 不等式 不等式 不等式 不等式 1 1 1 1 若当若当若当若当a xb 时时时时 xgxf 则则则则 d d bb aa f xxg xx 2 2 2 2 d d bb aa f xxf xx ab 7 7 7 7 积分中值定理 积分中值定理 积分中值定理 积分中值定理 若若若若 xf 在在在在 ba 上连续上连续上连续上连续 则则则则 d b a f xxfba ab d b a f xx ba 称为称为称为称为 xf 在在在在 ba 上的平均值上的平均值上的平均值上的平均值 1 1 1 1 平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积 1 1 1 1 直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标 1 1 1 1 由由由由 xyyxyybxax 21 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 21 b Ay xy x dx a 2 2 2 2 由 由 由 由 yxxyxxdycy 21 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 21 d Ax yx y dy c 2 2 2 2 极坐标极坐标极坐标极坐标 cos sin x r y r 其中其中其中其中 为极角为极角为极角为极角 r为极径为极径为极径为极径 1 1 1 1 由 由 由 由 r r 所围成的曲边扇形的面积所围成的曲边扇形的面积所围成的曲边扇形的面积所围成的曲边扇形的面积 drA 2 1 2 2 2 2 2 由 由 由 由 1212 r rr rrr 所围成的所围成的所围成的所围成的 图形的面积图形的面积图形的面积图形的面积为 为 为 为 22 21 1 2 Arrd 2 2 2 2 体积 体积 体积 体积 1 1 1 1 已知横截面面积的体积 已知横截面面积的体积 已知横截面面积的体积 已知横截面面积的体积 b a dxxSV 2 2 2 2 旋转体的体积 旋转体的体积 旋转体的体积 旋转体的体积dxx b a fVx 2 b a dxxxfVy 2 3 3 3 3 曲线弧长 数一 二 曲线弧长 数一 二 曲线弧长 数一 二 曲线弧长 数一 二 1 1 1 1 C y y x a x b dx b a ys 2 1 2 2 2 2 x x t Ct y y t dtyxs 22 3 3 3 3 C r r 22 srr d 4 4 4 4 旋转体侧面积 数一 二 旋转体侧面积 数一 二 旋转体侧面积 数一 二 旋转体侧面积 数一 二 dx b a xfxfS 1 2 2 p表示价格 Q表示需求量 成本函数 C Q 边际成本 C Q 收益函数 R Q 边际成本 R Q 利润函数 L Q 边际成本 L Q 经济意义为 每多销售一件产品 成本 收益 利润的增加量 求弹性 设需求函数 Qf p 则 0 0 0 0 p EQ fp Epf p p 称为在 0 p p 处的需求弹性 注 0fp 时 有极值 0 0 0 0A A A A 00000000 f xyf xyf xyf xy为 极小值 0 0 0 0A A A A 00000000 f xyf xyf xyf xy为极大值 2 当 2 2 2 2 0 0 0 0ACBACBACBACB 或或或或 222 R DDx yxyR R 0 作为从无界区域作为从无界区域作为从无界区域作为从无界区域D中分割出来的有界区域 不难发现 当中分割出来的有界区域 不难发现 当中分割出来的有界区域 不难发现 当中分割出来的有界区域 不难发现 当b 时有 时有时有时有 b DD 而当 而当 而当 而当 R 时有时有时有时有 R DD 一般原理 用有界区域上的二重积分取极限来定义无界区域上的二重积分一般原理 用有界区域上的二重积分取极限来定义无界区域上的二重积分一般原理 用有界区域上的二重积分取极限来定义无界区域上的二重积分一般原理 用有界区域上的二重积分取极限来定义无界区域上的二重积分 四 伯努利微分方程四 伯努利微分方程四 伯努利微分方程四 伯努利微分方程 数一数一数一数一 1 1 1 1 方程形式 方程形式 方程形式 方程形式 0 1 n yP x yQ x yn 2 2 2 2 解法 令 解法 令 解法 令 解法 令 1n yz 则 则 则 则 1 1 xQnzxPn dx dz 五 全微分方程五 全微分方程五 全微分方程五 全微分方程 数一 数一 数一 数一 注注注注 全微分方程有时会和曲线积分与路径无关结合在一起出题 在 全微分方程有时会和曲线积分与路径无关结合在一起出题 在 全微分方程有时会和曲线积分与路径无关结合在一起出题 在 全微分方程有时会和曲线积分与路径无关结合在一起出题 在 曲线曲面积分会介绍曲线曲面积分会介绍曲线曲面积分会介绍曲线曲面积分会介绍 1 1 1 1 方程形式 方程形式 方程形式 方程形式 0P x y dxQ x y dy 其中 其中 其中 其中 x Q y P 2 2 2 2 解法 解法 解法 解法 1 1 1 1 00 0 xy xy u x yP x y dxQ xy dyC 2 2 2 2 凑微分凑微分凑微分凑微分 可降阶微分方程 数一 二 可降阶微分方程 数一 二 可降阶微分方程 数一 二 可降阶微分方程 数一 二 1 1 1 1 方程形式 方程形式 方程形式 方程形式 xfy 解法 两边积分解法 两边积分解法 两边积分解法 两边积分 2 2 2 2 次次次次 2 2 2 2 方程形式 方程形式 方程形式 方程形式 yxfy 不显含不显含不显含不显含 y 解法 令解法 令解法 令解法 令 dx dP yPy 3 3 3 3 方程形式方程形式方程形式方程形式 yyfy 不显含不显含不显含不显含 x 解法解法解法解法 令令令令 dy dP PyPy 二阶线性微分二阶线性微分二阶线性微分二阶线性微分方程解的性质和结构方程解的性质和结构方程解的性质和结构方程解的性质和结构 xfyxqyxpy 0 yxqyxpy 1 1 1 1 21 yy 为为为为 的解 则的解 则的解 则的解 则 1122 c yc y 为为为为 的解的解的解的解 2 2 2 2 21 yy 为为为为 两线性无关解两线性无关解两线性无关解两线性无关解 1 2 y C y 则则则则 1122 c yc y 为为为为 的通解的通解的通解的通解 3 3 3 3 21 yy 为为为为 的解 则的解 则的解 则的解 则 12 yy 为为为为 的解的解的解的解 4 4 4 4 21 yy 为为为为 两线性无关解 两线性无关解 两线性无关解 两线性无关解 y 为为为为 的特解 则的特解 则的特解 则的特解 则 1122 yc yc y 为为为为 的通解的通解的通解的通解 5 5 5 5 如果如果如果如果 1 xy 是是是是 1 xfyxqyxpy 的特解 的特解 的特解 的特解 2 xy 是是是是 2 xfyxqyxpy 的特解 的特解 的特解 的特解 则则则则 2 1 xyxy 是是是是 21 xfxfyxqyxpy 的特解的特解的特解的特解 二阶欧拉方程 数一 二阶欧拉方程 数一 二阶欧拉方程 数一 二阶欧拉方程 数一 1 1 1 1 方程形式 方程形式 方程形式 方程形式 2 x yaxybyf x 2 2 2 2 解法 解法 解法 解法 若若若若 0 x 令 令 令 令 t ex 若若若若 0 x 令 令 令 令 t xe 一 一阶常系数线性齐次差分方程一 一阶常系数线性齐次差分方程一 一阶常系数线性齐次差分方程一 一阶常系数线性齐次差分方程 1 1 1 1 方程形式方程形式方程形式方程形式 1 0 t t yay 2 2 2 2 解法解法解法解法 c t y tCa 二 一阶常系数线性非齐次差分方程二 一阶常系数线性非齐次差分方程二 一阶常系数线性非齐次差分方程二 一阶常系数线性非齐次差分方程 1 1 1 1 方程形式 方程形式 方程形式 方程形式 1 t t yayf t 2 2 2 2 解法 解法 解法 解法 yy ty c tt 其中其中其中其中 t y是非齐次差分方程是非齐次差分方程是非齐次差分方程是非齐次差分方程 的特解的特解的特解的特解 f x 的形式 取待定特解 的条件 试取特解的形式 m f tP t 01 m m bbtb t 1a 01 tm yQ tBBt m m B t 01 m BBB 为待定 常数 1a tm ytQt t m f tdPt d为非零常数 0ad t tm ydQt 0ad t tm yt dQt 级数的级数的级数的级数的性质性质性质性质 1 1 1 1 1n n u与与与与 1n n ku同敛散性 其中同敛散性 其中同敛散性 其中同敛散性 其中0k 2 2 2 2 若若若若 1n n u和和和和 1n n v分别收敛于分别收敛于分别收敛于分别收敛于 s 则 则 则 则 1 n n n vu 收敛于收敛于收敛于收敛于 s 注注注注 一个收敛一个发散一个收敛一个发散一个收敛一个发散一个收敛一个发散 orororor 两个都发散 级数的敛散性两个都发散 级数的敛散性两个都发散 级数的敛散性两个都发散 级数的敛散性 3 3 3 3 改变级数前有限项不影响级数的敛散性改变级数前有限项不影响级数的敛散性改变级数前有限项不影响级数的敛散性改变级数前有限项不影响级数的敛散性 4 4 4 4 收敛级数加括号仍收敛且和不变收敛级数加括号仍收敛且和不变收敛级数加括号仍收敛且和不变收敛级数加括号仍收敛且和不变 注注注注 加加加加括号收敛括号收敛括号收敛括号收敛 不加不加不加不加括号不一定收敛括号不一定收敛括号不一定收敛括号不一定收敛 加括号发散加括号发散加括号发散加括号发散 不加括不加括不加括不加括 号一定发散号一定发散号一定发散号一定发散 5 5 5 5 1n n u收敛收敛收敛收敛 则则则则0lim n n u 反之不一定成立 反之不一定成立 反之不一定成立 反之不一定成立 正项级数敛散性的判别 设正项级数敛散性的判别 设正项级数敛散性的判别 设正项级数敛散性的判别 设 1n n u和和和和 1n n v为正项级数为正项级数为正项级数为正项级数 1 1 1 1 比较判别法一般形式 设比较判别法一般形式 设比较判别法一般形式 设比较判别法一般形式 设 nn vu 则则则则 1n n v收敛收敛收敛收敛 1n n u收敛收敛收敛收敛 1n n u发散发散发散发散 1n n v发散发散发散发散 2 2 2 2 比较法极限形式 设比较法极限形式 设比较法极限形式 设比较法极限形式 设 n lim 0 n n u ll v 1 1 1 1 若若若若 l0 则则则则 1n n u与与与与 1n n v同敛散同敛散同敛散同敛散 2 2 2 2 若若若若0 l 则则则则 1n n v收敛收敛收敛收敛 1n n u收敛 收敛 收敛 收敛 1n n u发散发散发散发散 1n n v发散发散发散发散 3 3 3 3 若若若若 l 则则则则 1n n v发散发散发散发散 1n n u发散 发散 发散 发散 1n n u收敛收敛收敛收敛 1n n v收敛收敛收敛收敛 3 3 3 3 比值法比值法比值法比值法 设设设设 n lim 1n n u l u 则则则则 1n n u 1 1 1 收敛 发散 不一定 4 4 4 4 根值法根值法根值法根值法 数一数一数一数一 设设设设 n n ulim 则则则则 1n n u 1 1 1 收敛 发散 不一定 注 两个重要级数注 两个重要级数注 两个重要级数注 两个重要级数 1 1 1 1 等比级数 几何级数 等比级数 几何级数 等比级数 几何级数 等比级数 几何级数 1 01 1 1 1 nn nn a q q aqaq q 收敛 发散 阿贝尔定理阿贝尔定理阿贝尔定理阿贝尔定理 1 1 1 1 若若若若 1n n u在在在在 0 00 xxx时收敛时收敛时收敛时收敛 则当则当则当则当 0 xx时 时 时 时 1n n u发散发散发散发散 2 2 2 2 若存在常数若存在常数若存在常数若存在常数0 R 使当使当使当使当Rx 时 幂级数时 幂级数时 幂级数时 幂级数 1n n u发散 则称该常数发散 则称该常数发散 则称该常数发散 则称该常数R为幂级数为幂级数为幂级数为幂级数 1n n u的收敛半的收敛半的收敛半的收敛半 径径径径 R R 称为收敛区间称为收敛区间称为收敛区间称为收敛区间 把所有收敛点的集合称为收敛域把所有收敛点的集合称为收敛域把所有收敛点的集合称为收敛域把所有收敛点的集合称为收敛域 将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数 1 1 1 1 泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 设函数设函数设函数设函数 xf在点在点在点在点 0 xx 处的某邻域内有任意阶导数 则称处的某邻域内有任意阶导数 则称处的某邻域内有任意阶导数 则称处的某邻域内有任意阶导数 则称 0 0 0 n n fx n x x n 为函数为函数为函数为函数 xf在在在在 0 xx 处的泰勒级数处的泰勒级数处的泰勒级数处的泰勒级数 当当当当 0 0 x 时 称为麦克劳林级数时 称为麦克劳林级数时 称为麦克劳林级数时 称为麦克劳林级数 2 2 2 2 设设设设 xf在在在在 0 xx 处任意阶可导处任意阶可导处任意阶可导处任意阶可导 则则则则 0 0 0 n n fx n x x n 收敛于收敛于收敛于收敛于 xf lim n n R x 0 3 3 3 3 几个常见函数的麦克劳林级数几个常见函数的麦克劳林级数几个常见函数的麦克劳林级数几个常见函数的麦克劳林级数 2 1 2 0 n xx x n x e n n n x x 12 1 5 3 12 1 sin 1253 0 12 n xxx x n x x n n n n n x 2 1 4 2 1 2 1 cos 242 0 2 n xxx n x x n n n n n x 1 1 321 1 1ln 132 0 1 n xxx x n x x n n n n n 1 1 x n n n xxxx x 2 0 1 1 1 1 1 x 求幂级数的和函数求幂级数的和函数求幂级数的和函数求幂级数的和函数 方法提示 方法提示 方法提示 方法提示 求幂级数的和函数主要涉及到如下几个方法 求幂级数的和函数主要涉及到如下几个方法 求幂级数的和函数主要涉及到如下几个方法 求幂级数的和函数主要涉及到如下几个方法 1 1 1 1 0 11 1 1 n x x n xxS 2 2 2 2 1 1 n n nxxS 型 采用先积分后求导的方法求和 型 采用先积分后求导的方法求和 型 采用先积分后求导的方法求和 型 采用先积分后求导的方法求和 得得得得 1 2 11 1 11 n x x n nxxS 3 3 3 3 1 n n n x xS 型 采用先求导后积分的方法求和 型 采用先求导后积分的方法求和 型 采用先求导后积分的方法求和 型 采用先求导后积分的方法求和 得得得得 1 11 1ln n xx n n x xS 4 4 4 4 利用微分方程求幂级数的和函数利用微分方程求幂级数的和函数利用微分方程求幂级数的和函数利用微分方程求幂级数的和函数 将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数 数一 数一 数一 数一 方法提示方法提示方法提示方法提示 将函数展开成幂级数的方法主要有两种将函数展开成幂级数的方法主要有两种将函数展开成幂级数的方法主要有两种将函数展开成幂级数的方法主要有两种 直接展开法直接展开法直接展开法直接展开法 和间接展开法和间接展开法和间接展开法和间接展开法 直接展开法指的是直接展开法指的是直接展开法指的是直接展开法指的是 利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要 条件 将函数在某个区间直接展开成指定点的泰勒级数的方法条件 将函数在某个区间直接展开成指定点的泰勒级数的方法条件 将函数在某个区间直接展开成指定点的泰勒级数的方法条件 将函数在某个区间直接展开成指定点的泰勒级数的方法 间接展开法是将函数展开成幂级数的主要方法间接展开法是将函数展开成幂级数的主要方法间接展开法是将函数展开成幂级数的主要方法间接展开法是将函数展开成幂级数的主要方法 间接展开法指的间接展开法指的间接展开法指的间接展开法指的 是是是是 通过一定运算将函数转化为其他函数通过一定运算将函数转化为其他函数通过一定运算将函数转化为其他函数通过一定运算将函数转化为其他函数 进而利用新函数的幂进而利用新函数的幂进而利用新函数的幂进而利用新函数的幂 级数展开式将原来函数展开为幂级数的方法级数展开式将原来函数展开为幂级数的方法级数展开式将原来函数展开为幂级数的方法级数展开式将原来函数展开为幂级数的方法 所用运算主要是加所用运算主要是加所用运算主要是加所用运算主要是加 法运算法运算法运算法运算 数乘运算数乘运算数乘运算数乘运算 逐项逐项逐项逐项 积分运算和积分运算和积分运算和积分运算和 逐项逐项逐项逐项 求导运算求导运算求导运算求导运算 利用利用利用利用 的幂级数展开公式主要是一些简单函数的麦克劳林展开公式的幂级数展开公式主要是一些简单函数的麦克劳林展开公式的幂级数展开公式主要是一些简单函数的麦克劳林展开公式的幂级数展开公式主要是一些简单函数的麦克劳林展开公式 设函数设函数设函数设函数 xf是周期为是周期为是周期为是周期为2l的周期函数 且在的周期函数 且在的周期函数 且在的周期函数 且在 l l 上可积 则称上可积 则称上可积 则称上可积 则称 1 cos 0 1 2 l n af xxdx n ln ll 1 sin l n bf xxdx n ln ll 1 2 3 为为为为 xf的傅里叶系数 称级数的傅里叶系数 称级数的傅里叶系数 称级数的傅里叶系数 称级数 0 1 cossin 2 nn n a nn ax bx ll 为为为为 xf的傅里叶级数 记作的傅里叶级数 记作的傅里叶级数 记作的傅里叶级数 记作 0 1 cossin 2 nn n a nn f xax bx ll 收敛定理收敛定理收敛定理收敛定理 设设设设 xf是周期为是周期为是周期为是周期为2l的周期函数 如果它满足 的周期函数 如果它满足 的周期函数 如果它满足 的周期函数 如果它满足 1 1 1 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2 2 2 2 在一个周期内至多只有有限个极值点 在一个周期内至多只有有限个极值点 在一个周期内至多只有有限个极值点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则则则则 xf的傅里叶级数收敛 且收敛于的傅里叶级数收敛 且收敛于的傅里叶级数收敛 且收敛于的傅里叶级数收敛 且收敛于 1 1 1 1 xf 当当当当x为为为为 xf的连续点的连续点的连续点的连续点 2 2 2 2 2 0 0 xfxf 当当当当x为为为为 xf的间断点的间断点的间断点的间断点 3 3 3 3 0 0 2 flf l 当当当当xl 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 数一数一数一数一 1 1 1 1 曲面的切法向量 曲面的切法向量 曲面的切法向量 曲面的切法向量 曲面曲面曲面曲面 0F x y z 法向量法向量法向量法向量 nFFFz xy 2 2 2 2 曲面的切平面和法线方程 曲面的切平面和法线方程 曲面的切平面和法线方程 曲面的切平面和法线方程 1 1 1 1 切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程 000000000000 0Fx y zx xFx y zy yF x y zz z zxy 2 2 2 2 法线方程法线方程法线方程法线方程 000 000000000 x xy yz z Fx y zFx y zF x y z zxy 曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面 数一数一数一数一 1 1 1 1 曲线的切向量 曲线的切向量 曲线的切向量 曲线的切向量 曲线曲线曲线曲线 x x t y y t z y t 切向量切向量切向量切向量 000 x ty tz t 2 2 2 2 曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面 1 1 1 1 切线方程 切线方程 切线方程 切线方程 000 000 x xy yz z x ty tz t 2 2 2 2 法平面方程 法平面方程 法平面方程 法平面方程 000000 0 x tx xy ty yz tz z 三重积分的三重积分的三重积分的三重积分的简化运算简化运算简化运算简化运算 1 1 1 1 利用奇偶性利用奇偶性利用奇偶性利用奇偶性 若积分域若积分域若积分域若积分域 关于关于关于关于xoy坐标面对称坐标面对称坐标面对称坐标面对称 f x y z关于关于关于关于z有奇偶性有奇偶性有奇偶性有奇偶性 则则则则 0 2 d d 0 z f x y z Vf x yzf x y z f x y z V f x yzf x y z 注注注注 类