线性代数习题2

第 2 章 线性方程组 练习题 1 已知 1 1 1 0 1 T 2 2 1 3 1 T 3 1 1 0 0 T 4 0 1 1 1 T 0 0 0 1 T 1 求向量组 1 2 3 4 的秩 2 判定 是否可以表为 1 2 3 4 的线性组合 说明理由 4 可以 2 设向量组 1 1 1 1 T 2 1 2 3 T 3 1 3 t T 求 1 当 t 为何值时 1 2 3 线性无关 2 当 t 为何值时 1 2 3 线性相关 此时将 3 表为 1 与 2 的线性组合 t 5 时 1 2 3 线性无关 t 5 时 1 2 3 线性相关 且 3 1 2 2 3 确定 为何值时 向量 0 1 T 可以表为向量组 1 1 2 3 T 2 2 1 1 T 3 1 1 2 T 4 2 1 1 T 的线性组合 并求出一个具体表达式 1 1 2 3 4 4 设 讨论 k 为何值时 1 不能由 1 1 1 1 k 1 1 2 k k 1 1 3 2 2 3k 2 3 线性表出 2 能由 1 2 3 线性表出 且表示法唯一 3 能由 1 2 3 线性表出 且表示法不唯一 并求出一个具体表示 1 2 2 k 1 且 k 2 3 1 2 1 5 已知向量组 1 1 0 2 3 T 2 1 1 3 5 T 3 1 1 a 2 1 T 4 1 2 4 a 8 T 及 1 1 b 3 5 T 求 1 a b 为何值时 不能表示成 1 2 3 4 的线性组合 2 a b 为何值时 有 1 2 3 4 的唯一线性表示式 写出该 表示式 当 a 1 且 b 0 时 不可以 当 a 1 时 有唯一的线性表示式 4321 0 1a1a 1a 1a 2 bbb 6 已知 1 1 2 3 1 T 2 5 5 a 11 T 3 1 3 6 3 T 2 1 3 b T 问 1 a b 取何值时 不能由 1 2 3 线性表示 2 a b 取何值时 可 以由 1 2 3 线性表示 并写出表示式 b 4 时 不能 b 4 且 a 12 时 唯一表示 1 0 2 3 b 4 且 a 12 时 表示不唯一 1 2c 1 c 2 1 3c 3 c 为任意常数 7 设向量组 1 2 k 1 T 2 k 1 1 2 T 3 4 1 4 T 线性相关 求 k 值 k 1 或 k 9 4 8 设 n 维 n 1 向量组 1 0 1 1 1 1 T 2 1 0 1 1 1 T n 1 1 1 1 0 T 试判断该向量组是否线性相关 线性无关 9 已知向量组 1 2 s s 2 线性无关 设 1 1 2 2 2 3 s 1 s 1 s s s 1 讨论向量组 1 2 s 的线性相关性 s 为奇数时 线性无关 s 为偶数时 线性相关 10 设向量组 1 2 3 线性无关 问常数 l m 满足什么条件时 向量组 l 2 1 m 3 2 1 3 线性无关 l m 1 11 设向量组 1 1 2 1 1 T 2 2 0 t 0 T 3 0 4 5 2 T 的秩为 2 求 t 的值 t 3 12 设向量组 1 2 3 4 5 其中 1 1 1 2 4 T 2 0 3 1 2 T 3 3 0 7 14 T 4 1 2 2 0 T 5 2 1 5 10 T 求 1 向量组 1 2 3 4 5 的秩 2 找出向量组的一个极大无关组 并将其余向量用此极大无关组线性表示 3 1 2 4 为其一个极大无关组 3 3 1 2 0 4 5 2 1 2 0 4 13 已知向量组 1 1 1 1 3 T 2 1 3 5 1 T 3 3 2 1 p 2 T 4 2 6 10 p T 问 1 p 取何值时 向量组 1 2 3 4 线性无关 试将向量 4 1 6 10 T 用 1 2 3 4 线性表出 2 p 取何值时 向量组 1 2 3 4 线性相关 求出 1 2 3 4 的一个 极大无关组 并将其余向量用极大无关组线性表示 p 2 时 线性无关 P 2 时 线性相关 极大无关 4321 2 1 2 43 2 p p p p 组 1 2 3 且 4 0 1 2 2 0 3 14 已知齐次线性方程组 有非零解 求 k 的值 2 或 3 02 0 02 21 321 321 kxx xxx xxkx 15 设 3 4 矩阵 A 为一齐次线性方程组的系数矩阵 且 r A 2 又已知 1 1 1 3 1 T 2 1 1 1 3 T 3 5 2 8 9 T 4 1 3 1 7 T 均为该齐次线性方程 组的解 试求它的一个基础解系 并将其余解表为该基础解系的线性组合 基础解系 1 2 且 4 1 2 2 213 2 7 2 3 16 已知向量组 1 1 2 1 0 0 T 2 1 2 0 1 0 T 3 0 0 1 1 0 T 4 1 2 3 2 0 T 都是下面齐次线性方程组的解 判 03345 0622 0323 0 54321 5432 54321 54321 xxxxx xxxx xxxxx xxxxx 断 1 2 3 4 是否为该方程组得一个基础解系 若是 说明理由 若不是 在此向量组 的基础上进行适当增减后 构成一个基础解系 不是 基础解系为 1 2 其中 5 6 0 0 1 T 17 用基础解系表示下列方程组的全部解 223 3473 12 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx c1 c2 为任意常数 1 0 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 21 cc 18 设 试就 a b 的各种取值情况 讨论 b bA 2a 2 1 a3 2a 1 0 2 1 3 3 1 B 3 2 1 x x x X 线性方程组 AX B 的解 如果有解 求出其解 当 a 0 时 无解 当 a 0 且 a b 时 有唯一解 当 a 0 a 1 a 1 1 321 xxx 0 且 a b 时 有无穷多解 c 为任意常数 cxcxx 321 a 1 a 1 1 19 已知非齐次线性方程组 AX B 的增广矩阵 A 经初等行变换化为如下形式 讨论 k t 取何值时方程组无解 有解 当有解 2 0 1 1 0 0 2 1 0 8 2 4 0 0 1 0 0 0 0 1 t k BAA 时 写出它的全部解 当 t 2 时 无解 当 t 2 且 k 8 时 全部解为 c1 1 0 2 1 0 1 2 4 0 0 1 1 21 cc c2 为任意常数 当 t 2 且 k 8 时 全部解为 c 为任意常数 1 0 2 1 0 0 1 1 c 20 当 a b 为何值时 线性方程组 无解 有唯一解和无穷 1a23 2 3a 122 0 4321 432 432 4321 xxxx bxxx xxx xxxx 多解 在方程组有无穷多解时 用其导出组的基础解系表示出线性方程组的全部解 a 1 且 b 1 时 无解 a 1 时 唯一解 a 1 且 b 1 时 无穷多解 c1 c2 为任意常数 1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 21 cc 21 讨论 k 为何值时线性方程组 无解 有唯一解 有无穷多解 在有无 42 4 321 2 321 321 xxx kxkxx kxxx 穷多解的情况下 用基础解系表示其全部解 当 k 1 时 无解 当 k 1 且 k 4 时 唯一解 当 k 4 时 无穷多解 c 为任意常数 1 1 3 0 4 0 c 22 设四元非齐次线性方程组 AX B 的系数矩阵的秩为 3 已知 1 2 3 为它的 三个解向量 其中 1 2 0 5 1 T 2 3 2 0 2 6 T 试求该方程组的全部解 c 为任意常数 8 12 0 2 1 5 0 2 c 23 已知矩阵 A 是 4 元非齐次方程组的系数矩阵 且 r A 3 1 2 3 是该 方程组的三个不同解向量 其中 1 2 2 3 2 4 6 8 T 1 2 3 1 3 5 7 T 试 求 4 元非齐次方程组的全部解 c 为任意常数 TT c 4 2 0 2 2 2 3 1 2 1 24 设 A 为 3 4 矩阵 r A 2 且已知非齐次线性方程组 AX b 的三个解为 1 1 1 0 2 T 2 2 1 1 4 T 3 4 5 3 11 T 求 1 齐次线性方程组 AX 0 的通解 2 用基础解系表示出 4 元非齐次线性方程组 AX b 的全部解 c1 2 1 c2 3 2 c1 1 2 1 2 T c2 2 4 2 7 T c1 c2 为任意 常数 1 1 1 0 2 T c1 1 2 1 2 T c2 2 4 2 7 T c1 c2 为任意常数 25 已知 1 1 2 0 T 2 1 a 2 3a T 3 1 b 2 a 2b T 1 3 3 T 当 a b 为何值时 1 2 3 是 R3 的一组基 并求 在这组基下的坐标 a 0 且 a 5b 12 0 0 a 1 a 1a 26 在 R3 中给定两组基 1 1 1 0 T 2 0 1 1 T 3 1 1 2 T 1 1 0 1 T 2 0 1 1 T 3 1 1 4 T 求非零向量 使它在上述两组基下有相同的坐 标 c 0 1 1 T c 为任意非零常数 27 设齐次线性方程组 求其解空间的一组正交基 0 02 0 5432 531 5421 xxxx xxx xxxx 1 1 1 0 0 T 1 0 1 0 1 T T 01 3 1 3 2 3 1 28 设 1 1 2 2 T 2 2 4 4 T 3 1 0 1 T 4 2 2 3 T 5 5 3 7 T R3 求 1 R3 的子空间 L 1 2 3 4 5 的维数和一组标 准正交基 2 1 2 3 4 5 在这组标准正交基下的坐标 dim L 1 2 3 4 5 3 T 3 2 3 2 3 1 T 3 1 3 2 3 2 3 0 0 6 0 0 1 1 0 4 1 0 1 1 9 T 3 2 3 1 3 2 29 设向量组 1 2 3 其中 1 1 1 0 T 2 1 0 1 T 3 1 1 1 T 并且 1 与 2 线性无关 3 与 1 2 相互正交 1 试判断 1 2 3 是否为 R3 上的一组基 2 如果是 将其化为 R3 上的一组标准正交基 是 T 0 2 1 2 1 T 6 2 6 1 6 1 T 3 1 3 1 3 1 30 证明题 1 设方程组 的系数矩阵为 A 三阶矩阵 B 0 且满足 A B 0 03 02 022 321 321 321 xxx xxx xxx 求 参数 该方程组的全部解 证明行列式 B 0 1 c 0 1 1 T c 为任意常数 2 设实矩阵 Am n n m 且线性方程组 A X B 有唯一解 证明 AT A 是可逆矩 阵 并求其解矩阵 X 的表达式 X AT A 1 AT B 3 设 A 为 n 阶非零矩阵 求证 若存在一个 n 阶非零矩阵 B 使 A B 0 则 A 0 4 设 A 为 m n 矩阵 B 为 n m 矩阵 m n E 是 m 阶单位矩阵 若 A B E 求证 A 的行向量组线性无关 5 设向量组 1 2 3 线性无关 证明 向量组 1 2 3 2 2 3 1 2 2 3 线性无关 6 求证 n 维向量组 1 2 n 线性无关的充要条件是 n 维标准向量组 1 2 n 可以由 1 2 n 线性表示 7 设 1 2 s 为一组 n 维向量 s 2 且向量组 121 312 321 ss s s 求证 向量组 1 2 s 线性无关的充分必要条件是 1 2 s 线性无关 8 设 1 2 m 为一个 n 维向量组 已知 r 1 2 s r 1 2 s s 1 m 求证 1 2 s 1 2 s s 1 m 9 已知向量组 1 2 m 1 m 1 线性无关 向量组 1 2 m 可 表为 i i t i m 1 i 1 2 m 其中 t i i 1 2 m 是数 证明 向量组 1 2 m 线性无关 10 设向量组 1 2 3 n 的前 n 1 个向量线性相关 后 n 1 个向量线 性无关 证明 1 能由 2 3 n 1 线性表示 n 不能由 1 2 n 1 线性表出 11 设向量 可由向量组 1 2 r 1 r 线性表示 但向量 不可由向量 组 1 2 r 1 线性表示 试证 向量组 1 2 r 1 r 与 1 2 r 1 有相同的秩 12 设 1 2 3 是某个向量组的极大无关组 1 2 3 是此向量组的部分组 并且 1 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 证明 1 2 3 也是此向 量组的极大无关组 13 设向量组 1 2 m 线性无关 向量 1 可由该向量组线性表示 而向量 2 不能由该向量组线性表示 证明 m 1 个向量 1 2 m l 1 2 l 为常数 线性无关 14 在线性方程组 242 131 243 121 bxx bxx axx axx 中 2121 bbaa 求证 方程组有解 并用其导出组 的基础解系表示其全部解 a1 b2 b2 a 2 0 T c 1 1 1 1 T c 为任意常数