初三数学两圆的位置关系及圆中计算问题华东师大版.docVIP

初三数学两圆的位置关系及圆中计算问题一. 本周教学内容： 两圆的位置关系及圆中计算问题主要内容1、了解圆和圆的五种位置关系的定义；并掌握每种位置关系中圆心距d和两圆半径R和r的数量关系,会用d与R、r之间的数量关系，判断两圆的位置关系。2、掌握相切两圆和相交两圆的性质。通过综合运用圆与圆的位置关系的有关性质解题，进一步提高对前段所学与圆有关知识的应用能力、加深对圆的有关重要性质的理解。3、掌握相交两圆的性质定理；并掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；掌握在解题时适当添置辅助线(连心线、公共弦、连结两交点与圆的线段等)的基本技能。4、要学会巧记和圆相关的计算公式。二. 重点、难点： 重点：1、两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质。它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识。2、相交两圆的性质及应用。3、注意公式中各个量的意义。 难点：1、两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用。由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线。”看成是正确的结。2、应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线 3、对公式的理解与掌握知识梳理：一、两圆位置关系1、两圆位置关系的数量特征。设两圆半径分别为R和r。圆心距为d，则两圆的五种位置关系(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离(图(1)两圆外离 dR+r；(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切这个唯一的公共点叫做切点(图(2)两圆外切 dR+r；(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交(图(3)两圆相交 R-rdR+r(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切这个唯一的公共点叫做切点(图(4)两圆内切 dR-r (Rr)(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)两圆同心是两圆内含的一个特例.(图(6)两圆内含 dR-r(Rr)2、归纳。(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点。(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)。3、相切及相交两圆的性质如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上相交两圆的连心线垂直平分公共弦例1. 已知两个等圆Ol和O2相交于A，B两点，Ol经O2。求OlAB的度数分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又O1与O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，O1AO2构成等边三角形，同时可以推证O l和O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形从而可由OlAO260，推得OlAB30解：O1经过O2，O1与O2是两个等圆OlA= O1O2= AO2O1AO2=60，又ABO1O2OlAB =30例2. 已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?解：设大圆半径R=5x两圆半径之比为5: 3，小圆半径r=3x，两圆内切时圆心距等于6，5x-3x=6，x=3，大圆半径R=15，小圆半径r=9，当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，此时两圆外切；当两圆圆心距d2=5时，有d2R-r, 此时两圆内含；当两圆圆心距d3=20时, 有R-rd3R+r, 此时两圆相交；当两圆圆心距d4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆例3. 已知两相交圆的半径分别为8cm和5cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距解：分两种情况：（1）如图1，设O1的半径为r1=8cm，O2的半径为r2=5cm圆心Ol，02在公共弦的异侧O1 O2垂直平分AB，AD=AB=3cm连O1A、 O2A，则, （cm）（2）如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧， 同理可求 02D=4cm，01D=（cm） 说明：本题要求我们自己作图计算，究竟两圆的圆心在公共弦的同侧，还是异侧，题设中没有交待，需要我们自己去研究因此，凡做到没有图形的几何题时，要特别当心，有可能有几种位置形状的图形二、圆中的计算本节公式较多，而且容易混淆，因此要掌握公式的推导过程，不要死记硬背公式。1. 弧长公式，应这样理解：因为360的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以1的圆心角所对的弧长是，即，于是可得半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为，理解的关键是圆心角为1的弧长等于圆周长的。2. 扇形面积公式的推导应从圆面积中来，在半径为R的圆中，因为圆心角是360的扇形面积就是圆面积，所以圆心角是1的扇形面积是，这样在半径为R的圆中，圆心角为的扇形面积的计算公式是，理解的关键是圆心角为1的扇形面积等于圆面积的，圆心角为的扇形面积等于圆面积的，明白了这个道理，有助于记住公式。扇形面积还有一个计算公式与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，看作高就行了。实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积的和。3. 在应用弧长公式进行计算时，应注意的问题：要注意公式中的意义，表示1的圆心角的倍数，它是不带单位的。例如，圆的半径为，计算100的圆心角所对的弧长时，同学们往往错误的写成（），产生这种错误的根源是还没有真正弄清楚，1的圆心角所对的弧长是圆周长的，100的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长的100倍，所以应为。如果使用度量符号，必须分子、分母同时使用，如。4. 圆锥的有关计算：圆锥侧面是一个曲面，它可以展开在一个平面上，展开图是一个扇形，计算侧面面积时，不要把圆锥底面半径当作扇形的半径，要注意搞清楚这个扇形中各个元素与圆锥各个元素之间的关系，如图：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为R，锥角为，它的侧面展开图为扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为n，则有以下关系式：R（即扇形的半径是圆锥的母线）（即扇形的弧长是圆锥底面圆的周长）（即勾股定理）（即扇形面积计算公式）（即圆锥的表面积等于侧面积加上底面积）（即弧长）（即正切的定义）圆锥的有关计算涉及勾股定理、扇形面积公式、圆周长、弧长公式、三角函数等，容易用错公式，关键在于不要混淆圆锥剖面的直角三角形与圆锥的高、底面半径和母线的关系，以及与展开图中扇形弧长、半径、圆心角之间的关系，搞清楚圆锥的立方体图与其展开图中各元素之间的对应关系，在头脑中建立起圆锥体和其展开后的直观表象和感性认识。5. 如何计算弓形面积：课本中虽没有给出弓形面积的计算方法及公式，但我们完全有能力计算出弓形的面积，如下图，弓形面积可利用扇形与三角形面积的和或差来计算，需根据不同的情况作出不同的处理：当弓形所含弧为劣弧时，当弓形所含弧为优弧时，当弓形所含弧为半圆时，实际应用时，可根据图形的直观确定应用式还是式。例1. 如下图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90。你能求出这段铁轨的长度吗?解： 圆心角铁轨长度是圆周长的例2. 已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60，求此圆弧的长度。解：例3. 填空题如果扇形的圆心角是230，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的_；扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_。240扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_。 例4. 有一圆弧形桥拱,拱的跨度AB=40m，拱形的半径R=29m，求拱形的高。解：如图：由垂径定理得：在直角三角形BOD中：所以拱形的高例5. 圣诞节前夕，聪聪嚷着妈妈给他买个圣诞帽，可店里的帽子戴在聪聪的头上不是大了就是小了。怎么办呢？聪聪的妈妈灵机一动，买了一块小红布，回家后量了量聪聪的头围，剪出一个扇形，马上就做好了。你能说明其中的道理吗？若量得聪聪的头围是58cm，帽子高为18cm，你能算出妈妈裁出的扇形的圆心角吗？这个帽子用了多少料？（精确到个位）思路探讨：圣诞帽是一个圆锥形，因为圆锥的侧面展开图是扇形，所以扇形的布料可以围成一个圆锥侧面。如图23.36：帽子的母线长就是扇形布料的半径，聪聪的头围（圆锥底面圆的周长）就等于扇形布料的弧长，根据这两个结论可以得到扇形布料的半径和弧长，由弧长、扇形面积计算公式不难求出上面两问。你能进一步求出聪聪圣诞帽的锥角吗？例6. 已知：在RtABC，求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。例7. 已知圆锥底面半径为10cm，母线长为40cm求它的侧面展开图的圆心角和全面积若一甲虫从圆锥底面圆上一点A出发，沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B,它所走的最短路程是多少？（答题时间：30分钟）（一）填空1. 已知O1与O2交于A，B两点，连结O1O2交O1于C。若ACB=120，AC=6cm，则AB的长是_2. 已知O1与O2交于A，B两点，若O1的半径为5，AB=6，O1O2=7，则BO2A=_度3. 若三个圆两两外切，圆心距分别是6，8，10，则这三个圆的半径分别是_4. 设O1与O2相交于A，B两点，且O1在O2上，O2在O1上，则AO1B=_度5. 已知两等圆外切，并且都与一个大圆内切若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm则大圆的半径是_cm6. 如果两个圆的一个公共点关于连心线有对称点（对称点不是公共点本身），那么这两圆的位置关系是_7. 如果两个圆有一个公共点在连心线上，则这两个圆的位置关系是_8. 已知O1与O2是等圆，相交于A，B两点若AO1B=60，O1A=1cm，则O1O2的长是_9. 若两个圆有且只有一个公共点，则这个公共点一定在_直线上10. 已知两圆相交于A、B两点，连心线交AB于E，若AE=cm，则AB=_cm11. 相切两圆的_，经过切点12. 相交两圆的连心线_两圆的公共弦（二）计算13. 已知M与N相切时，NM12cm，如果N的半径为5cm，求M的半径 14. 如图所示，有一个马戏帐蓬，它的底面是圆形，其半径为20，从A到B有一笔直的栅栏，其长为30，观众在阴影区域里看马戏，如果每平方米，可以站3名观众，那么大约有多少名观众在看马戏？假设阴影区域站满了观众）。15. 直径为1米的四根管子被一根铁丝紧紧地捆在一起（如图所示），这根铁丝至少长多少米？夹在四根管子中间空隙部分的横截面积是多少？16. 如图所示，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB长为30，贴纸部分的宽BD为20，求贴纸部