2020高考数学二轮总复习 课时跟踪检测（十七）圆锥曲线的方程与性质 理

1 课时跟踪检测课时跟踪检测 十七十七 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 一 选择题 1 2019 咸阳二模 中心在坐标原点 对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂 直 则双曲线的离心率为 a b 2 3 c d 2 3 32 解析 选 d 中心在坐标原点 对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直 a b c a a2 b22 e 故选 d c a2 2 2019 成都模拟 已知双曲线c x2 1 b 0 的焦距为 4 则双曲线c的渐近 y2 b2 线方程为 a y x b y 2x 15 c y 3x d y x 3 解析 选 d 双曲线c x2 1 b 0 的焦距为 4 则 2c 4 即c 2 y2 b2 1 b2 c2 4 b 3 双曲线c的渐近线方程为y x 故选 d 3 3 2019 山东模拟 已知双曲线c 1 a 0 b 0 的两条渐近线互相垂直 x2 a2 y2 b2 焦距为 8 则c的方程为 a 1 b 1 x2 7 y2 9 x2 4 y2 4 c 1 d 1 x2 16 y2 16 x2 8 y2 8 解析 选 d 双曲线c 1 a 0 b 0 的两条渐近线互相垂直 则a b x2 a2 y2 b2 由 2c 8 可得c 4 由a2 b2 c2 16 可得a2 b2 8 故选 d 4 2019 云南一模 已知m是抛物线c y2 2px上的任意一点 以m为圆心的圆与 直线x 1 相切且经过点n 1 0 设斜率为 1 的直线与抛物线c交于p q两点 则线段 pq的中点的纵坐标为 2 a 2 b 4 c 6 d 8 解析 选 a 设m x0 y0 以m为圆心的圆与直线x 1 相切且经过点n 1 0 x0 1 x0 1 2 y2 0 又y 2px0 p 2 2 0 即可得抛物线方程为y2 4x 由error y2 4y 4b 0 y1 y2 4 线段pq的中点的纵坐标为 2 故选 a y1 y2 2 5 2019 江西模拟 如图所示 a1 a2是椭圆c 1 的短轴端点 点m在椭 x2 9 y2 4 圆上运动 且点m不与a1 a2重合 点n满足na1 ma1 na2 ma2 则 s ma1a2 s na1a2 a b 3 2 2 3 c d 9 4 4 9 解析 选 c 由题意以及选项的值可知 是常数 s ma1a2 s na1a2 取m为椭圆的左顶点 由椭圆的性质可知n在x的正半轴上 如图 则a1 0 2 a2 0 2 m 3 0 由 om on oa1 2 可得 on 4 3 则 故选 c s ma1a2 s na1a2 1 2 om a1a2 1 2 on a1a2 om on 3 4 3 9 4 3 6 2019 郑州二模 已知抛物线c y2 4x的焦点为f 直线l过焦点f与抛物线c 分别交于a b两点 且直线l不与x轴垂直 线段ab的垂直平分线与x轴交于点t 5 0 则s aob a 2 b 23 c d 3 66 解析 选 a 如图所示 f 1 0 设直线l的方程为y k x 1 k 0 a x1 y1 b x2 y2 线段ab的中点e x0 y0 线段ab的垂直平分线的方程为y x 5 1 k 联立error 化为ky2 4y 4k 0 y1 y2 y1y2 4 4 k y0 y1 y2 x0 1 1 1 2 2 k y0 k 2 k2 把e代入线段ab的垂直平分线的方程y x 5 2 k2 1 2 k 1 k 可得 解得k2 1 2 k 1 k 2 k2 1 5 s oab 1 y1 y2 1 2 1 2 y1 y2 2 4y1y2 2 故选 a 1 2 16 k2 162 二 填空题 7 2019 合肥二模 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 p x2 a2 y2 b2 为椭圆c上一点 且 f1pf2 若f1关于 f1pf2平分线的对称点在椭圆c上 则该椭 3 圆的离心率为 解析 如图 f1关于 f1pf2平分线的对称点在椭圆c上 p f2 m三点共线 设 pf1 m 则 pm m mf1 m 又 pf1 pm mf1 4a 3m pf1 a pf2 a 4 3 2 3 4 由余弦定理可得 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos 60 f1f2 2 a2 3c2 e c a 3 3 答案 3 3 8 2019 全国卷 设f1 f2为椭圆c 1 的两个焦点 m为c上一点且在 x2 36 y2 20 第一象限 若 mf1f2为等腰三角形 则m的坐标为 解析 设f1为椭圆的左焦点 分析可知点m在以f1为圆心 焦距为半径的圆上 即在 圆 x 4 2 y2 64 上 因为点m在椭圆 1 上 x2 36 y2 20 所以联立方程可得error 解得error 又因为点m在第一象限 所以点m的坐标为 3 15 答案 3 15 9 2019 凉山州模拟 已知抛物线c y2 2x的焦点为f 过点f分别作两条直线 l1 l2 直线l1与抛物线c交于a b两点 直线l2与抛物线c交于d e两点 若l1与 l2的斜率的平方和为 2 则 ab de 的最小值为 解析 设直线l1 l2的倾斜角分别为 利用焦点弦弦长公式可得 ab de 2p 2 1 sin2 1 sin2 sin2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 2 2 1 1 k2 1 1 1 k2 2 2 k2 1 k2 2 k2 1 k2 2 2 2 8 当且仅当k1 k2 时取等号 2 2 k2 1 k2 2 2 2 k2 1 k2 2 2 2 则 ab de 的最小值为 8 答案 8 三 解答题 5 10 2019 洛阳模拟 已知短轴的长为 2 的椭圆e 1 a b 0 直线n的横 x2 a2 y2 b2 纵截距分别为a 1 且原点o到直线n的距离为 3 2 1 求椭圆e的方程 2 直线l经过椭圆e的右焦点f且与椭圆e交于a b两点 若椭圆e上存在一点c 满足 2 0 求直线l的方程 oa 3 ob oc 解 1 椭圆e的短轴的长为 2 故b 1 依题意设直线n的方程为 y 1 由 x a 1 1 a2 1 3 2 解得a 故椭圆e的方程为 y2 1 3 x2 3 2 设a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 当直线l的斜率为 0 时 显然不符合题意 当直线l的斜率不为 0 或直线l的斜率不存在时 f 0 设直线l的方程为 2 x ty 2 由error 得 t2 3 y2 2ty 1 0 2 y1 y2 y1y2 2 2t t2 3 1 t2 3 2 0 oa 3ob oc x3 x1 x2 y3 y1 y2 1 2 3 2 1 2 3 2 又点c在椭圆e上 y 2 2 x2 3 32 3 1 3 1 2x1 3 2 x2 1 2y1 3 2 y2 1 1 4 x2 1 3 y2 1 3 4 x2 2 3 y2 2 3 2 1 3x1x2 y1y2 又 y 1 y 1 x2 1 32 1 x2 2 32 2 x1x2 y1y2 0 1 3 将x1 ty1 x2 ty2 及 代入 得t2 1 22 即t 1 或t 1 故直线l的方程为x y 0 或x y 0 22 6 11 2019 胶州模拟 已知椭圆 1 a b 0 且a b均为整数 过点 x2 a2 y2 b2 且右顶点到直线l x 4 的距离为 2 2 6 2 1 求椭圆 的方程 2 过椭圆的右焦点f作两条互相垂直的直线l1 l2 l1与椭圆 交于点a b l2与 椭圆 交于点c d 求四边形acbd面积的最小值 解 1 由题意 得 1 且 4 a 2 若a 2 则b2 3 若a 6 则b2 2 a2 3 2b2 舍去 所以椭圆 的方程为 1 27 17 x2 4 y2 3 2 由 1 知 点f的坐标为 1 0 当l1 l2中有一条直线的斜率不存在时 可得 ab 4 cd 3 或者 ab 3 cd 4 此时四边形acbd的面积s 4 3 6 1 2 当l1 l2的斜率均存在时 设直线l1的斜率为k 则k 0 且直线l2的斜率为 1 k 直线l1 y k x 1 l2 y x 1 1 k 联立error 得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 由直线l1过椭圆内的点 知 0 恒成立 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 8k2 3 4k2 4k2 12 3 4k2 ab x1 x2 1 k21 k 2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 8k2 3 4k2 2 4 4k2 12 3 4k2 12 k2 1 3 4k2 以 代替k 得 cd 1 k 12 k2 1 4 3k2 所以四边形acbd的面积 s ab cd 1 2 72 k2 1 2 3 4k2 4 3k 2 72 k2 1 2 3 4k2 4 3k 2 2 2 72 k2 1 2 7 k2 1 2 2 288 49 当且仅当k2 1 即k 1 时等号成立 由于b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 且 x2 a2 y2 b2 f1f2 6 直线y kx与椭圆交于a b两点 1 若 af1f2的周长为 16 求椭圆的标准方程 2 若k 且a b f1 f2四点共圆 求椭圆离心率e的值 2 4 3 在 2 的条件下 设p x0 y0 为椭圆上一点 且直线pa的斜率k1 2 1 试求直线pb的斜率k2的取值范围 解 1 由题意得c 3 根据 2a 2c 16 得a 5 结合a2 b2 c2 解得a2 25 b2 16 所以椭圆的标准方程为 1 x2 25 y2 16 2 由error 得x2 a2b2 0 b2 1 8a2 设a x1 y1 b x2 y2 所以x1 x2 0 x1x2 a2b2 b2 1 8a2 由ab f1f2互相平分且共圆 易知af2 bf2 因为 x1 3 y1 x2 3 y2 所以 x1 3 x2 3 y1y2 f2a f2b f2a f2b x1x2 9 0 1 1 8 即x1x2 8 所以有 8 a2b2 b2 1 8a2 结合b2 9 a2 解得a2 12 所以离心率e 3