哈尔滨市双城区兆麟中学张琦

哈尔滨市双城区 兆麟中学 张琦 微课题微课题 解题教学与知识网络的形成解题教学与知识网络的形成 高考数学命题从知识立意转化为问题立意进而转化为能力立意 正是社会发展对人的 素质需求的反映 本着提高学生素质并发展其能力的宗旨出发 对知识网络点上的教学会 引起足够的重视 一个好的数学问题对知识网络的形成有着积极的作用 本文就此问题谈 点粗浅看法 一 重视发挥课本例习题的作用 源于课本 高于课本 的要求 会使学生 重视对 课本例习题的思考与挖掘 对形成 知识网络有积极的激励作用 并会激发学生 的学习兴趣 例如高中代数下册 P15习题十五第 6 题 已知 ad bc 求证 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 本题 首先可利用作差比较法进行证明 证明 a2 b2 ac bd 2 a2b2 b2c2 2acbd ad bc 2 ad bc ad bc 0 ad bc 2 0 从而命 题获证 然后思考本题 的求证模式是 AC B2 如果我们构作函数 f x Ax2 2Bx C A 0 要证 B2 AC 即是证 0 据上可设 f x a2 b2 x2 2 ac bd x c2 d2 a2 b2 0 故要证 0 只须证 f x 0 而 f x ax c 2 bx d 2 ad bc f x 0 于是 0 即 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 进一步思考考问题 ai bi R i 1 2 3 求证 ai2 a22 a32 bi2 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2 本题易从上面获得证题思路 再进一步推广提出问题 ai bi R i 1 2 n 求证 ai2 a22 an2 bi2 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn 2 经过上述过程的解题 对巩固基本方法 探索现象与本质 巩固二次函数的知识点 是有 深刻启发意义的 二 精选数学问题 选择好题进行纵横联系 对知识网络的形成非常重要 例如证明 对于任意不等实数 a b 总 有丨 丨 丨 a b 丨 2 1a 2 1b 本题可利用丨 M 丨 2 M2 M R 并结合分析法获证 然后至少可寻找出下列证题思路 1 复数法 记 z1 a i z2 b i a b 则丨 丨 2 1a 2 1b 丨丨 z1 丨 丨 z2丨丨 丨 z1 z2丨 丨 a b 丨 2 构造几何图形法 分别表示 1 a 1 b 到原点的距离 2 1a 如图所示 丨 OA 丨 丨 OB 丨 丨 AB 丨 丨 a b 丨 2 1a 2 1b 由三角形两边之差小于第三边知命题得证 3 三角法 令 a tg b tg 2 2 丨 丨 2 丨 a b 丨2 2 1a 2 1b sec sec 2secsec tg tg 2 tg tg 2 2 2 2 2 2 0 coscos 2 coscos sinsin2 coscos 1 cos 从而 丨 丨 2 丨 a b 丨2 2 1a 2 1b 丨 丨 丨 a b 丨 2 1a 2 1b 4 函数法 记 f x x 证明此函数在 R 上单调递减 2 1x 由题意不妨设 a b 则 f a f b a b 0 2 1a 2 1b 从而得 0 a b 2 1a 2 1b 丨 丨 丨 a b 丨 2 1a 2 1b 上述的解题教学 使函数 复数 不等式 三角 数形思想交汇于一题 有利于知识网 络的形成 三 高考数学命题的立意之一是在知识交汇处 事实也是如此 高考数学问题的内涵 往往是丰富多彩的 因此重视高考数学试题的解题教学 无疑有益于知识网络的形成 我们知道利用二次函数的极值 三角函数的极值 基本不等式是解最值问题的三种基 本方法 例如 93 年高考数学试题文科第五大题 在圆心为 O 半径为常数 R 半圆内画内接矩 形 当矩形长和宽多少时 矩形面积最大 并求这个最大面积 简解一 设内接矩形的长为 2x 则宽为 22 xR 矩形面积 S 2x 2 x 0 22 xR 222 xxR 2 则当 x2 时 即可得长为R 2 2 2 4 2 4 R x R 2 2 R 2 宽 为时 Smax R2R 2 2 简解二 S 2x 2 x 0 22 xR 222 xxR O y A x B x2 2 R2 2 222 xRx 当 x2 R2 x2时取等号 简解三 S