命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系 充分条件与必要条件命题及其关系 充分条件与必要条件 导学目标 导学目标 1 能写出一个命题的逆命题 否命题 逆否命题 会分析四种命题的相互关系 2 理解必要条件 充分条件与充要条件的含义 自主梳理自主梳理 1 命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真的语句叫 做真命题 判断为假的语句叫做假命题 2 四种命题及其关系 1 四种命题 一般地 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论 用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定 于是四种命题的形式就是 原命题 若 p 则 q p q 逆命题 若 q 则 p q p 否命题 若綈 p 则綈 q 綈 p 綈 q 逆否命题 若綈 q 则綈 p 綈 q 綈 p 2 四种命题间的关系 3 四种命题的真假性 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题 它们的真假性没有关系 3 充分条件与必要条件 若 p q 则 p 叫做 q 的充分条件 若 q p 则 p 叫做 q 的必要条件 如果 p q 则 p 叫做 q 的充要条件 自我检测自我检测 1 2010 湖南 下列命题中的假命题是 A x R lg x 0 B x R tan x 1 C x R x3 0 D x R 2x 0 答案 C 解析 对于 C 选项 当 x 0 时 03 0 因此 x R x3 0 是假命题 2 2010 陕西 a 0 是 a 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a 0 a 0 a 0a 0 a 0 是 a 0 的充分不必要条件 3 2009 浙江 x 0 是 x 0 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 对于 x 0 x 0 反之不一定成立 因此 x 0 是 x 0 的充分而不必要条 件 4 若命题 p 的否命题为 r 命题 r 的逆命题为 s 则 s 是 p 的逆命题 t 的 A 逆否命题 B 逆命题 C 否命题 D 原命题 答案 C 解析 由四种命题逆否关系知 s 是 p 的逆命题 t 的否命题 5 2011 宜昌模拟 与命题 若 a M 则 bM 等价的命题是 A 若 aM 则 bM B 若 bM 则 a M C 若 aM 则 b M D 若 b M 则 aM 答案 D 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题 所以只需写出原命题的逆否命题即可 探究点一 四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 1 实数的平方是非负数 2 等底等高的两个三角形是全等三角形 3 弦的垂直平分线经过圆心 并平分弦所对的弧 解题导引 给出一个命题 判断其逆命题 否命题 逆否命题等的真假时 如果直接判断 命题本身的真假比较困难 则可以通过判断它的等价命题的真假来确定 解 1 逆命题 若一个数的平方是非负数 则这个数是实数 真命题 否命题 若一个数不是实数 则它的平方不是非负数 真命题 逆否命题 若一个数的平方不是非负数 则这个数不是实数 真命题 2 逆命题 若两个三角形全等 则这两个三角形等底等高 真命题 否命题 若两个三角形不等底或不等高 则这两个三角形不全等 真命题 逆否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形不等底或不等高 假命题 3 逆命题 若一条直线经过圆心 且平分弦所对的弧 则这条直线是弦的垂直平分线 真 命题 否命题 若一条直线不是弦的垂直平分线 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧 真 命题 逆否命题 若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧 则这条直线不是弦的垂直平分 线 真命题 变式迁移 1 有下列四个命题 若 x y 0 则 x y 互为相反数 的逆命题 全等三角形的面积相等 的否命题 若 q 1 则 x2 2x q 0 有实根 的逆否命题 不等边三角形的三个内角相等 的逆命题 其中真命题的序号为 答案 解析 的逆命题是 若 x y 互为相反数 则 x y 0 真 的否命题是 不全等的 三角形的面积不相等 假 若 q 1 则 4 4q 0 所以 x2 2x q 0 有实根 其逆否 命题与原命题是等价命题 真 的逆命题是 三个内角相等的三角形是不等边三角形 假 探究点二 充要条件的判断 例 2 给出下列命题 试分别指出 p 是 q 的什么条件 1 p x 2 0 q x 2 x 3 0 2 p 两个三角形相似 q 两个三角形全等 3 p m 2 q 方程 x2 x m 0 无实根 4 p 一个四边形是矩形 q 四边形的对角线相等 解 1 x 2 0 x 2 x 3 0 而 x 2 x 3 0 x 2 0 p 是 q 的充分不必要条件 2 两个三角形相似两个三角形全等 但两个三角形全等 两个三角形相似 p 是 q 的必要不充分条件 3 m 2 方程 x2 x m 0 无实根 方程 x2 x m 0 无实根m 2 p 是 q 的充分不必要条件 4 矩形的对角线相等 p q 而对角线相等的四边形不一定是矩形 qp p 是 q 的充分不必要条件 变式迁移 2 2011 邯郸月考 下列各小题中 p 是 q 的充要条件的是 p m6 q y x2 mx m 3 有两个不同的零点 p 1 q y f x 是偶函数 f x f x p cos cos q tan tan p A B A q UB UA A B C D 答案 D 解析 q y x2 mx m 3 有两个不同的零点 q m2 4 m 3 0 q m6 p 当 f x 0 时 由 qp 若 k k Z 时 显然 cos cos 但 tan 2 tan p A B A p A B q UA UB 故 符合题意 探究点三 充要条件的证明 例 3 设 a b c 为 ABC 的三边 求证 方程 x2 2ax b2 0 与 x2 2cx b2 0 有 公共根的充要条件是 A 90 解题导引 有关充要条件的证明问题 要分清哪个是条件 哪个是结论 由 条件 结论 是证明命题的充分性 由 结论 条件 是证明命题的必要性 证明要分两 个环节 一是充分性 二是必要性 证明 1 必要性 设方程 x2 2ax b2 0 与 x2 2cx b2 0 有公共根 x0 则 x 2ax0 b2 0 x 2cx0 b2 0 2 02 0 两式相减可得 x0 将此式代入 x 2ax0 b2 0 b2 c a2 0 可得 b2 c2 a2 故 A 90 2 充分性 A 90 b2 c2 a2 b2 a2 c2 将 代入方程 x2 2ax b2 0 可得 x2 2ax a2 c2 0 即 x a c x a c 0 将 代入方程 x2 2cx b2 0 可得 x2 2cx c2 a2 0 即 x c a x c a 0 故两方程有公共根 x a c 所以方程 x2 2ax b2 0 与 x2 2cx b2 0 有公共根的充要条件是 A 90 变式迁移 3 已知 ab 0 求证 a b 1 的充要条件是 a3 b3 ab a2 b2 0 证明 1 必要性 a b 1 a b 1 0 a3 b3 ab a2 b2 a b a2 ab b2 a2 ab b2 a b 1 a2 ab b2 0 2 充分性 a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b 1 a2 ab b2 0 又 ab 0 a 0 且 b 0 a2 ab b2 a 2 b2 0 b 2 3 4 a b 1 0 即 a b 1 综上可知 当 ab 0 时 a b 1 的充要条件是 a3 b3 ab a2 b2 0 转化与化归思想的应用 例 12 分 已知两个关于 x 的一元二次方程 mx2 4x 4 0 和 x2 4mx 4m2 4m 5 0 且 m Z 求两方程的根都是整数的充要条件 答题模板答题模板 解 mx2 4x 4 0 是一元二次方程 m 0 2 分 另一方程为 x2 4mx 4m2 4m 5 0 两方程都要有实根 Error 解得 m 1 6 分 5 4 两根为整数 故和与积也为整数 Error m 为 4 的约数 8 分 m 1 或 1 当 m 1 时 第一个方程 x2 4x 4 0 的根为非整数 而当 m 1 时 两方程均为整数根 两方程的根均为整数的充要条件是 m 1 12 分 突破思维障碍突破思维障碍 本题涉及到参数问题 先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单 熟悉的问题解决 两 方程有实根易想 0 求出 m 的范围 要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两 根之积都是整数 易错点剖析易错点剖析 易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m 0 不易把方程的根都是整数转化为两根之和 与两根之积都是整数 1 研究命题及其关系时 要分清命题的题设和结论 把命题写成 如果 那 么 的形式 当一个命题有大前提时 必须保留大前提 只有互为逆否的命题才有相同的 真假性 2 在解决充分条件 必要条件等问题时 要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断 同时还要弄清是 p 对 q 而言 还是 q 对 p 而言 还要分清否命题与命题的否定的区别 3 本节体现了转化与化归的数学思想 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2010 天津模拟 给出以下四个命题 若 ab 0 则 a 0 或 b 0 若 a b 则 am2 bm2 在 ABC 中 若 sin A sin B 则 A B 在一元二次方程 ax2 bx c 0 中 若 b2 4ac 0 则方程有实数根 其中 原命题 逆命题 否命题 逆否命题全都是真命题的是 A B C D 答案 C 解析 对命题 其原命题和逆否命题为真 但逆命题和否命题为假 对命题 其原 命题和逆否命题为假 但逆命题和否命题为真 对命题 其原命题 逆命题 否命题 逆否 命题全部为真 对命题 其原命题 逆命题 否命题 逆否命题全部为假 2 2010 浙江 设 0 x 则 xsin2x 1 是 xsin x 1 的 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 0 x 0 sin x 1 2 xsin x 1 xsin2x 1 而 xsin2x 1xsin x 1 故选 B 3 2009 北京 2k k Z 是 cos 2 的 6 1 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 2k k Z 可得到 cos 2 6 1 2 由 cos 2 得 2 2k k Z 1 2 3 k k Z 6 所以 cos 2 不一定得到 2k k Z 1 2 6 4 2011 威海模拟 关于命题 若抛物线 y ax2 bx c 的开口向下 则 x ax2 bx c 0 的逆命题 否命题 逆否命题 下列结论成立的是 A 都真 B 都假 C 否命题真 D 逆否命题真 答案 D 解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断 对于原命题 若抛物线 y ax2 bx c 的开口向下 则 x ax2 bx c 0 这是一 个真命题 所以其逆否命题也为真命题 但其逆命题 若 x ax2 bx c 0 则抛物线 y ax2 bx c 的开口向下 是一个假命题 因为当不等式 ax2 bx c0 即抛物线的开口可以向上 因此否命题也是假命题 5 2011 枣庄模拟 集合 A x x 4 x R B x x5 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 A x 4 x 4 若 A B 则 a 4 a 4a 5 但 a 5 a 4 故选 B 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 x1 0 且 x2 0 是 x1 x2 0 且 x1x2 0 的 条件 答案 充要 7 2011 惠州模拟 已知 p x 1 y 2 0 q x 1 2 y 2 2 0 则 p 是 q 的 条件 答案 必要不充分 解析 由 x 1 y 2 0 得 x 1 或 y 2 由 x 1 2 y 2 2 0 得 x 1 且 y 2 所 以由 q 能推出 p 由 p 推不出 q 所以填必要不充分条件 8 已知 p x x2 2x m 0 如果 p 1 是假命题 p 2 是真命题 则实数 m 的取值范 围为 答案 3 8 解析 因为 p 1 是假命题 所以 1 2 m 0 解得 m 3 又因为 p 2 是真命题 所以 4 4 m 0 解得 m 8 故实数 m 的取值范围是 3 m 8 三 解答题 共 38 分 9 12 分 2011 许昌月考 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它 们的真假 1 若 q 1 则方程 x2 2x q 0 有实根 2 若 ab 0 则 a 0 或 b 0 3 若 x2 y2 0 则 x y 全为零 解 1 逆命题 若方程 x2 2x q 0 有实根 则 q 1 为假命题 否命题 若 q 1 则方程 x2 2x q 0 无实根 为假命题 逆否命题 若方程 x2 2x q 0 无实根 则 q 1 为真命题 4 分 2 逆命题 若 a 0 或 b 0 则 ab 0 为真命题 否命题 若 ab 0 则 a 0 且 b 0 为真命题 逆否命题 若 a 0 且 b 0 则 ab 0 为真命题 8 分 3 逆命题 若 x y 全为零 则 x2 y2 0 为真命题 否命题 若 x2 y2 0 则 x y 不全为零 为真命题 逆否命题 若 x y 不全为零 则 x2 y2 0 为真命题 12 分 10 12 分 设 p 实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0 其中 a0 且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件 求 a 的取值范围