抽屉原理各题型解析

抽屉原理 一 抽屉原理 一 专题简析 专题简析 如果给你 5 盒饼干 让你把它们放到 4 个抽屉里 那么可以肯定有一个抽屉里至少有 2 盒饼干 如果把 4 封信投到 3 个邮箱中 那么可以肯定有一个邮箱中至少有 2 封信 如 果把 3 本联练习册分给两位同学 那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册 这 些简单内的例子就是数学中的 抽屉原理 基本的抽屉原理有两条 1 如果把 如果把 x k k 1k 1 个元素放到 个元素放到 x x 个抽屉里 那么至少个抽屉里 那么至少 有一个抽屉里含有有一个抽屉里含有 2 2 个或个或 2 2 个以上的元素 个以上的元素 2 2 如果把 如果把 m x km x k x x k 1k 1 个元素放到 个元素放到 x x 个抽屉里 那么至少有一个抽屉里含有个抽屉里 那么至少有一个抽屉里含有 m 1m 1 个或更多个元素 个或更多个元素 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是 抽屉 哪些是 元素 然后按以下步骤然后按以下步骤 解答 解答 a 构造抽屉 指出元素 构造抽屉 指出元素 b 把元素放入 或取出 抽屉 把元素放入 或取出 抽屉 C 说明理由 得出结 说明理由 得出结 论 论 本周我们先来学习第 1 条原理及其应用 例题例题 1 某校六年级有学生 367 人 请问有没有两个学生的生日是同一天 为什么 把一年中的天数看成是抽屉 把学生人数看成是元素 把 367 个元素放到 366 个抽屉 中 至少有一个抽屉中有 2 个元素 即至少有两个学生的生日是同一天 平年一年有 365 天 闰年一年有 366 天 把天数看做抽屉 共 366 个抽屉 把 367 个 人分别放入 366 个抽屉中 至少在一个抽屉里有两个人 因此 肯定有两个学生的生日是 同一天 练习练习 1 1 某校有 370 名 1992 年出生的学生 其中至少有 2 个学生的生日是同一天 为什么 2 某校有 30 名学生是 2 月份出生的 能否至少有两个学生生日是在同一天 3 15 个小朋友中 至少有几个小朋友在同一个月出生 例题例题 2 某班学生去买语文书 数学书 外语书 买书的情况是 有买一本的 二本的 也有 三本的 问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书 每种书最多买一本 首先考虑买书的几种可能性 买一本 二半 三本共有 7 种类型 把 7 种类型看成 7 个抽屉 去的人数看成元素 要保证至少有一个抽屉里有 2 人 那么去的人数应大于抽屉 数 所以至少要去 7 1 8 个 学生才能保证一定有两位同学买到相同的书 买书的类型有 买一本的 有语文 数学 外语 3 种 买二本的 有语文和数学 语文和外语 数学和外语 3 种 买三本的 有语文 数学和外语 1 种 3 3 1 7 种 把 7 种类型看做 7 个抽屉 要保证一定有两位同学买到相同的书 至 少要去 8 位学生 练习练习 2 1 某班学生去买语文书 数学书 外语书 美术书 自然书 买书的情况是 有买一 本的 二本的 三本或四本的 问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的 书 每种书最多买一本 2 学校图书室有历史 文艺 科普三种图书 每个学生从中任意借两本 那么至少要 几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种 3 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子 颜色有绿 红 黄三种 问最 少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的 例题例题 3 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套 颜色有黑 红 蓝 黄四种 问最少 要摸出多少只手套才能保证有 3 副同色的 把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉 把手套看成是元素 要保证有 1 副同色的 就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套 根据抽屉原理 最少要摸出 5 只手套 这时拿出 1 副同色的 后 4 个抽屉中还剩下 3 只手套 再根据抽屉原理 只要再摸出 2 只手套又能保证有一副 手套是同色的 以此类推 把四种颜色看成是 4 个抽屉 要保证有 3 副同色的 先考虑保证有一副就要摸出 5 只 手套 这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩下 3 只手套 根据抽屉原理 只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的 以此类推 要保证有 3 副同色的 共摸出的手套 有 5 2 2 9 只 答 最少要摸出 9 只手套才能保证有 3 副同色的 练习练习 3 1 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套 颜色有黑 红 蓝 黄四种 问最 少要摸出多少只手套才能保证有 4 副同色的 2 布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只 颜色有白 黑 蓝三种 问 最少要 摸出多少只袜子 才能保证有 3 双同色的 3 一个布袋里有红 黄 蓝色袜子各 8 只 每次从布袋中拿出一只袜子 最少要拿出 多少只才能保证其中至少有 2 双不同袜子 例题例题 4 任意 5 个不相同的自然数 其中至少有两个数的差是 4 的倍数 这是为什么 一个自然数除以 4 的余数只能是 0 1 2 3 如果有 2 个自然数除以 4 的余数相同 那么这两个自然数的差就是 4 的倍数 一个自然数除以 4 的余数可能是 0 1 2 3 所以 把这 4 种情况看做时个抽屉 把 任意 5 个不相同的自然数看做 5 个元素 再根据抽屉原理 必有一个抽屉中至少有 2 个数 而这两个数的余数是相同的 它们的差一定是 4 的倍数 所以 任意 5 个不相同的自然数 其中至少有两个数的差是 4 的倍数 练习练习 4 1 任意 6 个不相同的自然数 其中至少有两个数的差是 5 的倍数 这是为什么 2 任意取几个不相同的自然数 才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数 3 证明在任意的 n 1 个不相同的自然数中 必有两个数之差为 n 的倍数 例题例题 5 能否在图 29 1 的 5 行 5 列方格表的每个空格中 分别填上 1 2 3 这三个数中的任一 个 使得每行 每列及对角线 AD BC 上的各个数的和互不相同 由图 29 1 可知 所有空格中只能填写 1 或 2 或 3 因此每行 每列 每条对角线上的 5 个数的和最小是 1 5 5 最大是 3 5 15 从 5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值 把 这 11 个值看承 11 个抽屉 把每行 每列及每条对角线上的各个数的和看承元素 只要考 虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的 因为每行 每列 每条对角线上的 5 个数 的和最小是 5 最大是 15 从 5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值 而 5 行 5 列及两条 对角线上的各个数的和共有 12 个 所以 这 12 条线上的各个数的和至少有两个是相同的 练习练习 5 5 1 能否在 6 行 6 列方格表的每个空格中 分别填上 1 2 3 这三个数中的任一个 使 得每行 每列及对角线上的各个数的和互不相同 为什么 2 证明在 8 8 的方格表的每个空格中 分别填上 3 4 5 这三个数中的任一个 在 每行 每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的 3 在 3 9 的方格图中 如图 29 2 所示 将每一个小方格涂上红色或者蓝色 不论 如何涂色 其中至少有两列的涂色方式相同 这是为什么 答案 答案 练练 1 1 1992 年共有 366 天 把它看成是 366 个抽屉 把 370 个人放入 366 个抽屉中 至少有 一个抽屉里有两个人 因此其中至少有 2 个学生的生日是同一天的 2 2 月份最多有 29 天 把它看作 29 个抽屉 把 30 名学生放入 29 个抽屉 至少有一个 抽屉里有两个人 因此这 30 名学生中至少有两个学生的生日是在同一天 3 一年有 12 个月 把 12 个月看作 12 个抽屉 把 15 个小朋友放入 12 个抽屉中 至少有 一个抽屉里有两个小朋友 因此至少有 2 个小朋友是才同一个月出生 练练 2 1 买书的类型中买一本的有 4 种 买二本的有 6 种 买三本的有 4 种 买 4 本的有一种 共有 4 6 4 1 15 种情况 把种 15 种情况看出 15 个抽屉 要保证有两位同学买到相同的 书 至少要去 16 位学生 2 从三周图书种任意借 2 本 只有 6 种情况 要保证有两个所借的图书属于同一种 至 少要 7 个学生 3 玻璃珠子的颜色有三种 要保证有 2 个同色 最少应取出 4 只珠子 练练 3 1 思路同例 3 最少要摸出 11 只手套才能保证有 4 付同色的 2 把三种颜色看作 3 个抽屉 要保证有一双同色的就要摸出 4 只袜子 这时拿出 1 双同 色的后 3 个抽屉中还剩 2 只袜子 以后 只要再摸出 2 只袜子就可保证有一双同色的 因此 要保证有 3 双同色的 最少要摸 4 2 2 8 只袜子 3 袋中有三种袜子时 每次从袋中拿出一只袜子 有可能拿出 8 只都是同一颜色 在余 下两种颜色中要拿出一双同色的袜子 最少要取 3 只 因此 最少要拿出 8 3 11 只才能 保证其中至少有 2 双颜色不同的袜子 练练 4 1 一个自然数除以 5 的余数可能是 0 1 2 3 4 把这 5 种情况看做 5 个抽屉 6 个 不同的自然数放入这 5 个抽屉 必有一个抽屉中至少有两个数 这两数的余数是相同 的 所以它们的差一定是 5 的倍数 2 一个自然数除以 8 的余数可能是 0 1 2 3 4 6 7 把这 8 种情况看做 8 个抽屉 要保证至少有两个数的差是 8 的倍数 就要保证至少有 1 个抽屉里有两个数 根据抽 屉原理 要取 9 个不同的自然数 才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数 3 一个自然数除以 n 的余数可能是 0 1 2 3 n 1 把这 n 种情况看作 n 个抽屉 把 n 1 个自然数反复如 n 个抽屉中去 则必有一个抽屉中有两个数 这两个数的 余数相同 则它们的差一定能被 n 整除 也就是 n 的倍数 练练 5 1 不可能 因为每行 每列 每条对角线上的 6 个数的和最小是 6 最大是 18 从 6 到 18 共有 13 个不同的整数值 而 6 行 6 列及两条对角线上的各个数的和共有 14 个 所以这 14 条线上的各个数的和至少有两个是相同的 2 因为每行 每列 每条对角线上的 8 个数的和最小是 24 最大是 40 从 24 到 40 共 有 17 个互不相同的整数值 而 8 行 8 列及两条对角线上的各个数的和共有 18 个 所以这 14 条线上的各个数的和至少有两个是相同的 3 每个方格中可涂上红 蓝两种不同的颜色 每列 3 个方格的土色就有 2 2 2 8 种 不同情况 把这 8 种情况看做 8 个抽屉 根据抽屉原理 9 列中至少有两列的土色方 式是相同的 抽屉原理 二 抽屉原理 二 专题简析 专题简析 在抽屉原理的第 2 条原则中 抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加 当元 素总数达到抽屉数的若干倍后 可用抽屉数除元素总数 写成下面的等式 元素总数元素总数 商商 抽屉数抽屉数 余数余数 如果余数不是 0 则最小数 商 1 如果余数正好是 0 则最小数 商 例题例题 1 幼儿园里有 120 个小朋友 各种玩具有 364 件 把这些玩具分给小朋友 是否有人会 得到 4 件或 4 件以上的玩具 把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉 把玩具件数看做是元素 则 364 120 3 4 4 120 根据抽屉原理的第 2 条规则 如果把 m x k x k 1 个 元素放到 x 个抽屉里 那么至少有一个抽屉里含有 m 1 个或更多个元素 可知至少有一个 抽屉里有 3 1 4 个元素 即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具 练习练习 1 1 1 一个幼儿园大班有 40 个小朋友 班里有各种玩具 125 件 把这些玩具分给小朋友 是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具 2 把 16 枝铅笔放入三个笔盒里 至少有一个笔盒里的笔不少于 6 枝 这是为什么 3 把 25 个球最多放在几个盒子里 才能至少有一个盒子里有 7 个球 例题例题 2 布袋里有 4 种不同颜色的球 每种都有 10 个 最少取出多少个球 才能保证其中一定 有 3 个球的颜色一样 把 4 种不同颜色看做 4 个抽屉 把布袋中的球看做元素 根据抽屉原理第 2 条 要 使其中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球 那么取出的球的个数应比抽屉个数的 2 倍多 1 即 2 4 1 9 个 球 列算式为 3 1 4 1 9 个 练习练习 2 2 1 布袋里有组都多的 5 种不同颜色的球 最少取出多少个球才能保证其中一定有 3 个 颜色一样的球 2 一个容器里放有 10 块红木块 10 块白木块 10 块蓝木块 它们的形状 大小都一 样 当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时 为确保取出的木块中至少有 4 块颜色相同 应 至少取出多少块木块 3 一副扑克牌共 54 张 其中 1 13 点各有 4 张 还有两张王的扑克牌 至少要取出 几张牌 才能保证其中必有 4 张牌的点数相同 例题例题 3 3 某班共有 46 名学生 他们都参加了课外兴趣小组 活动内容有数学 美术 书法和英 语 每人可参加 1 个 2 个 3 个或 4 个兴趣小组 问班级中至少有几名学生参加的项目完 全相同 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况 只参加一个组的有 4 种类型 只参加两个小 组的有 6 个类型 只参加三个组的有 4 种类型 参加四个组的有 1 种类型 把 4 6 4 1 15 种 类型看做 15 个抽屉 把 46 个学生放入这些抽屉 因为 46 3 15 1 所 以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同 练习练习 3 3 1 某班有 37 个学生 他们都订阅了 小主人报 少年文艺 小学生优秀作文 三种报刊中的一 二 三种 其中至少有几位同学订的报刊相同 2 学校开办了绘画 笛子 足球和电脑四个课外学习班 每个学生最多可以参加两个 可以不参加 某班有 52 名同学 问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同 3 库房里有一批篮球 排球 足球和铅球 每人任意搬运两个 问 在 31 个 搬运者 中至少有几人搬运的球完全相同 例题例题 4 4 从 1 至 30 中 3 的倍数有 30 3 10 个 不是 3 的倍数的数有 30 10 20 个 至少要 取出 20 1 21 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数 练习练习 4 4 1 在 1 2 3 49 50 中 至少要取出多少个不同的数 才能保证其中一定有一 个数能被 5 整除 2 从 1 至 120 中 至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数 3 从 1 至 36 中 最多可以取出几个数 使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数 例题例题 5 5 将 400 张卡片分给若干名同学 每人都能分到 但都不能超过 11 张 试证明 找少有 七名同学得到的卡片的张数相同 这题需要灵活运用抽屉原理 将分得 1 2 3 11 张可片看做 11 个抽屉 把同 学人数看做元素 如果每个抽屉都有一个元素 则需 1 2 3 10 11 66 张 卡片 而 400 66 6 4 张 即每个周体都有 6 个元素 还余下 4 张卡片没分掉 而这 4 张 卡片无论怎么分 都会使得某一个抽屉至少有 7 个元素 所以至少有 7 名同学得到的卡片 的张数相同 练习练习 5 1 把 280 个桃分给若干只猴子 每只猴子不超过 10 个 证明 无论怎样分 至少有 6 只猴子得到的桃一样多 2 把 61 颗棋子放在若干个格子里 每个格子最多可以放 5 颗棋子 证明 至少有 5 个格子中的棋子数目相同 3 汽车 8 小时行了 310 千米 已知汽车第一小时行了 25 千米 最后一小时行了 45 千 米 证明 一定存在连续的两小时 在这两小时内汽车至少行了 80 千米 答案 答案 练练 1 1 把 40 名小朋友看做 40 个抽屉 将 125 件玩具放入这些抽屉 因为 125 3 40 5 根 据抽屉原理 可知至少有一个抽屉有 4 件或 4 件以上的玩具 所以肯定有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具 2 把三个笔盒看做 3 个抽屉 因为 16 5 3 1 根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的 笔有 6 枝或 6 枝以上 3 把盒子数看成抽屉 要使其中一个抽屉里至少有 7 个球 那么球的个数至少应比抽屉 个数的 7 1 倍多 1 而 25 4 7 1 1 所以最多方子 4 个盒子里 才能保证 至少有一个盒子里有 7 个球 练练 2 1 最少应取出 3 1 5 1 11 个球 2 至少取出 4 1 3 1 10 块木块 3 如果没有两张王牌 至少要取 4 1 13 1 40 张 再加上两张王牌 至少要摸出 40 2 42 张 才能保证其中必有 4 张牌点数相同 练练 3 1 小学六年中最多有 2 个闰年 共 366 2 365 4 2191 天 因为 13170 6 2192 18 所以其中一定有 7 人是同年同月同日生的 2 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况 只参加一个组的有 4 种类型 只参加两个组 的有 6 种类型 只参加三个字的有 4 种类型 参加四个组的有 1 种类型 把 4 6 4 1 15 种类型看作 15 个抽屉 把 46 个学生放入这些抽屉 因为 46 15 3 1 所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同 3 全班