浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷（理科）（解析版）

第 1 页 共 28 页 2016 年浙江省杭州市五校联盟高考数学一诊试卷 理科 年浙江省杭州市五校联盟高考数学一诊试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 1 已知 p 关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 有解 q a 0 或 a 1 则 p 是 q 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 如果一个函数 f x 满足 1 定义域为 x1 x2 R 2 任意 x1 x2 R 若 x1 x2 0 则 f x1 f x2 0 3 任意 x R 若 t 0 总有 f x t f x 则 f x 可以是 A y x B y x3C y 3xD y log3x 3 若直角坐标平面内两点 P Q 满足条件 P Q 都在函数 y f x 的图象上 P Q 关于原 点对称 则称 P Q 是函数 y f x 的一个 伙伴点组 点组 P Q 与 Q P 看作同一个 伙伴点组 已知函数 有两个 伙伴点组 则实数 k 的取值 范围是 A 0 B 0 1 C 0 D 0 4 已知等比数列 an 前 n 项和为 Sn 则下列一定成立的是 A 若 a3 0 则 a2013 0B 若 a4 0 则 a2014 0 C 若 a3 0 则 S2013 0D 若 a4 0 则 S2014 0 5 在矩形 ABCD 中 AB BC P 为矩形内一点 且 AP 若 R 则 的最大值为 A B C D 第 2 页 共 28 页 6 已知不等式组所表示的平面区域的面积为 4 则 k 的值为 A 1B 3C 1 或 3D 0 7 某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 A B C 8D 4 8 双曲线的左 右焦点分别为 F1 F2离心率为 e 过 F2的直线与双 曲线的右支交于 A B 两点 若 F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 则 e2的值是 A 1 2B 3 2C 4 2D 5 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 前小题 前 4 小题每题小题每题 6 分 后分 后 3 小题每题小题每题 4 分 共分 共 36 分 分 9 已知函数 y f x 是 R 上的偶函数 对于任意 x R 都有 f x 6 f x f 3 成立 当 x1 x2 0 3 且 x1 x2时 都有 给出下列命题 f 3 0 直线 x 6 是函数 y f x 的图象的一条对称轴 函数 y f x 在 9 6 上为增函数 函数 y f x 在 9 9 上有四个零点 第 3 页 共 28 页 其中所有正确命题的序号为 把所有正确命题的序号都填上 10 对于各项均为整数的数列 an 如果 ai i i 1 2 3 为完全平方数 则称数列 an 具有 P 性质 不论数列 an 是否具有 P 性质 如果存在与 an 不是同一数列的 bn 且 bn 同时满足 下面两个条件 b1 b2 b3 bn是 a1 a2 a3 an的一个排列 数列 bn 具有 P 性质 则称数列 an 具有 变换 P 性质 下面三个数列 数列 an 的前 n 项和 数列 1 2 3 4 5 1 2 3 11 具有 P 性质 的为 具有 变换 P 性质 的为 11 下列命题 函数 y sin 2x 的单调减区间为 k k k Z 函数 y cos2x sin2x 图象的一个对称中心为 0 函数 y sin x 在区间 上的值域为 函数 y cosx 的图象可由函数 y sin x 的图象向右平移个单位得到 若方程 sin 2x a 0 在区间 0 上有两个不同的实数解 x1 x2 则 x1 x2 其中正确命题的序号为 12 在等腰梯形 ABCD 中 已知 AB CD AB 4 BC 2 ABC 60 动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上 且 则 当 时有最小值为 第 4 页 共 28 页 13 已知变量 x y 满足 则的取值范围是 14 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱 AA1 平面 AB1C1 AA1 1 底面 ABC 是边长为 2 的正三角 形 则此三棱柱的体积为 15 抛物线 y2 12x 的焦点为 F 点 P 为抛物线上的动点 点 M 为其准线上的动点 当 FPM 为等 边三角形时 则 FPM 的外接圆的方程为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 已知函数 f x 若 f a 求 tan a 的值 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 且满足 2a c cosB bcosC 若 f A 试证明 a2 b2 c2 ab bc ca 17 如图 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 为菱形 PA 平面 ABCD ABC 60 E F 分别是 BC PC 的中点 证明 AE PD 若 H 为 PD 上的动点 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 求二面角 E AF C 的余弦 值 第 5 页 共 28 页 18 已知椭圆 C 的方程是 a b 0 点 A B 分别是椭圆的长轴的左 右端点 左焦点坐标为 4 0 且过点 求椭圆 C 的方程 已知 F 是椭圆 C 的右焦点 以 AF 为直径的圆记为圆 M 试问 过 P 点能否引圆 M 的切线 若能 求出这条切线与 x 轴及圆 M 的弦 PF 所对的劣弧围成的图形的面积 若不能 说明理由 19 函数 y f x 的定义域为 R 若存在常数 M 0 使得 f x M x 对一切实数 x 均成立 则 称 f x 为 圆锥托底型 函数 1 判断函数 f x 2x g x x3是否为 圆锥托底型 函数 并说明理由 2 若 f x x2 1 是 圆锥托底型 函数 求出 M 的最大值 20 数列 an 满足 a1 2 an 1 an2 6an 6 n N 设 Cn log5 an 3 求证 Cn 是等比数列 求数列 an 的通项公式 设 数列 bn 的前 n 项的和为 Tn 求证 第 6 页 共 28 页 第 7 页 共 28 页 2016 年浙江省杭州市五校联盟高考数学一诊试卷 理科 年浙江省杭州市五校联盟高考数学一诊试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 1 已知 p 关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 有解 q a 0 或 a 1 则 p 是 q 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 简易逻辑 分析 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解答 解 若不等式 x2 2ax a 0 有解 则判别式 4a2 4a 0 解得 a 0 或 a 1 则 p 是 q 的必要不充分条件 故选 B 点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 根据不等式的关系是解决本题的关键 2 如果一个函数 f x 满足 1 定义域为 x1 x2 R 2 任意 x1 x2 R 若 x1 x2 0 则 f x1 f x2 0 3 任意 x R 若 t 0 总有 f x t f x 则 f x 可以是 A y x B y x3C y 3xD y log3x 考点 抽象函数及其应用 专题 函数的性质及应用 分析 先将已知条件转化为函数性质 如条件 2 反映函数是奇函数 条件 3 反映函数是单 调增函数 再利用性质进行排除即可 解答 解 由条件 1 定义域为 R 排除 D 由条件 2 任意 x1 x2 R 若 x1 x2 0 则 f x1 f x2 0 即任意 x R f x f x 0 即函数 f x 为奇函数 排除 C 第 8 页 共 28 页 由条件 3 任意 x R 若 t 0 f x t f x 即 x t x 时 总有 f x t f x 即函数 f x 为 R 上的单调增函数 排除 A 故选 B 点评 本题考查了抽象函数表达式反映函数性质的判断方法 基本初等函数的单调性和奇偶性 排除法解选择题是常用方法 3 若直角坐标平面内两点 P Q 满足条件 P Q 都在函数 y f x 的图象上 P Q 关于原 点对称 则称 P Q 是函数 y f x 的一个 伙伴点组 点组 P Q 与 Q P 看作同一个 伙伴点组 已知函数 有两个 伙伴点组 则实数 k 的取值 范围是 A 0 B 0 1 C 0 D 0 考点 函数与方程的综合运用 专题 数形结合 分析法 函数的性质及应用 分析 可作出函数 y ln x x 0 关于原点对称的函数 y lnx x 0 的图象 使它与函数 y kx 1 x 0 交点个数为 2 个即可 通过直线绕着 0 1 旋转 求得与 y lnx 相切的情况 再 由图象观察即可得到所求 k 的范围 解答 解 根据题意可知 伙伴点组 满足两点 都在函数图象上 且关于坐标原点对称 可作出函数 y ln x x 0 关于原点对称的函数 y lnx x 0 的图象 使它与函数 y kx 1 x 0 交点个数为 2 个即可 设切点为 m lnm y lnx 的导数为 y 可得 km 1 lnm k 解得 m 1 k 1 可得函数 y lnx x 0 过 0 1 点的切线斜率为 1 结合图象可知 k 0 1 时有两个交点 故选 B 第 9 页 共 28 页 点评 本题考查新定义的理解和运用 考查导数的运用 求切线的斜率 考查数形结合的思想方 法 属于中档题 4 已知等比数列 an 前 n 项和为 Sn 则下列一定成立的是 A 若 a3 0 则 a2013 0B 若 a4 0 则 a2014 0 C 若 a3 0 则 S2013 0D 若 a4 0 则 S2014 0 考点 等比数列的性质 专题 等差数列与等比数列 分析 对于选项 A B D 可通过 q 1 的等比数列排除 对于选项 C 可分公比 q 0 q 0 来 证明即可得答案 解答 解 对于选项 A 可列举公比 q 1 的等比数列 1 1 1 1 显然满足 a3 0 但 a2013 1 0 故错误 对于选项 B 可列举公比 q 1 的等比数列 1 1 1 1 显然满足 a4 0 但 a2014 1 故错误 对于选项 D 可列举公比 q 1 的等比数列 1 1 1 1 显然满足 a4 0 但 S2014 0 故错误 对于选项 C 因为 a3 a1 q2 0 所以 a1 0 当公比 q 0 时 任意 an 0 故有 S2013 0 当公比 q 0 时 q2013 0 故 1 q 0 1 q2013 0 仍然有 S2013 0 故 C 正确 故选 C 点评 本题主要考查等比数列的定义和性质 通过给变量取特殊值 举反例来说明某个命题不正 确 是一种简单有效的方法 属于中档题 第 10 页 共 28 页 5 在矩形 ABCD 中 AB BC P 为矩形内一点 且 AP 若 R 则 的最大值为 A B C D 考点 平面向量的基本定理及其意义 专题 计算题 数形结合 数形结合法 平面向量及应用 分析 设 P x y B 0 C D 0 推导出 由此能求出 的最大值 解答 解 如图 设 P x y B 0 C D 0 AP 点 P 满足的约束条件为 R x y 当且仅当 x y 时取等号 x y 的最大值为 故选 B 第 11 页 共 28 页 点评 本题考查代数式的最大值的求法 是中档题 解题时要认真审题 注意数形结合思想的合 理运用 6 已知不等式组所表示的平面区域的面积为 4 则 k 的值为 A 1B 3C 1 或 3D 0 考点 二元一次不等式 组 与平面区域 分析 由于直线 y kx 2 在 y 轴上的截距为 2 即可作出不等式组表示的平面区域三角形 再由 三角形面积公式解之即可 解答 解 不等式组表示的平面区域如下图 解得点 B 的坐标为 2 2k 2 所以 S ABC 2k 2 2 4 解得 k 1 故选 A 第 12 页 共 28 页 点评 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法 7 某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 A B C 8D 4 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 由已知中的三视图可得 该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体 画出几何体 的直观图 求出两个棱锥的体积 相加可得答案 解答 解 由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示 该几何体是一个四棱锥 A CDEF 和一个三棱锥组 F ABC 成的组合体 四棱锥 A CDEF 的底面面积为 4 高为 4 故体积为 三棱锥组 F ABC 的底面面积为 2 高为 2 故体积为 第 13 页 共 28 页 故这个几何体的体积 V 故选 A 点评 根据三视图判断空间几何体的形状 进而求几何的表 侧 底 面积或体积 是高考必考 内容 处理的关键是准确判断空间几何体的形状 一般规律是这样的 如果三视图均为三角形 则 该几何体必为三棱锥 如果三视图中有两个三角形和一个多边形 则该几何体为 N 棱锥 N 值由另 外一个视图的边数确定 如果三视图中有两个为矩形和一个多边形 则该几何体为 N 棱柱 N 值 由另外一个视图的边数确定 如果三视图中有两个为梯形和一个多边形 则该几何体为 N 棱柱 N 值由另外一个视图的边数确定 如果三视图中有两个三角形和一个圆 则几何体为圆锥 如 果三视图中有两个矩形和一个圆 则几何体为圆柱 如果三视图中有两个梯形和一个圆 则几何体 为圆台 8 双曲线的左 右焦点分别为 F1 F2离心率为 e 过 F2的直线与双 曲线的右支交于 A B 两点 若 F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 则 e2的值是 A 1 2B 3 2C 4 2D 5 2 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 压轴题 分析 设 AF1 AB m 计算出 AF2 1 m 再利用勾股定理 即可建立 a c 的关系 从 而求出 e2的值 解答 解 设 AF1 AB m 则 BF1 m AF2 m 2a BF2 m 2a AB AF2 BF2 m m 2a m 2a m 4a m AF2 1 m AF1F2为 Rt 三角形 F1F2 2 AF1 2 AF2 2 4c2 m2 4a m 第 14 页 共 28 页 4c2 8a2 e2 5 2 故选 D 点评 本题考查双曲线的标准方程与性质 考查双曲线的定义 解题的关键是确定 AF2 从而利 用勾股定理求解 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 前小题 前 4 小题每题小题每题 6 分 后分 后 3 小题每题小题每题 4 分 共分 共 36 分 分 9 已知函数 y f x 是 R 上的偶函数 对于任意 x R 都有 f x 6 f x f 3 成立 当 x1 x2 0 3 且 x1 x2时 都有 给出下列命题 f 3 0 直线 x 6 是函数 y f x 的图象的一条对称轴 函数 y f x 在 9 6 上为增函数 函数 y f x 在 9 9 上有四个零点 其中所有正确命题的序号为 把所有正确命题的序号都填上 考点 函数的零点 函数单调性的判断与证明 函数的周期性 对称图形 专题 综合题 压轴题 分析 1 赋值 x 3 又因为 f x 是 R 上的偶函数 f 3 0 2 f x 是 R 上的偶函数 所以 f x 6 f x 又因为 f x 6 f x 得周期为 6 从而 f 6 x f 6 x 所以直线 x 6 是函数 y f x 的图象的一条对称轴 3 有单调性定义知函数 y f x 在 0 3 上为增函数 f x 的周期为 6 所以函数 y f x 在 9 6 上为减函数 4 f 3 0 f x 的周期为 6 所以 f 9 f 3 f 3 f 9 0 解答 解 对于任意 x R 都有 f x 6 f x f 3 成立 令 x 3 则 f 3 6 f 3 f 3 又因为 f x 是 R 上的偶函数 所以 f 3 0 第 15 页 共 28 页 由 1 知 f x 6 f x 所以 f x 的周期为 6 又因为 f x 是 R 上的偶函数 所以 f x 6 f x 而 f x 的周期为 6 所以 f x 6 f 6 x f x f x 6 所以 f 6 x f 6 x 所以直线 x 6 是函数 y f x 的图象的一条对称轴 当 x1 x2 0 3 且 x1 x2时 都有 所以函数 y f x 在 0 3 上为增函数 因为 f x 是 R 上的偶函数 所以函数 y f x 在 3 0 上为减函数 而 f x 的周期为 6 所以函数 y f x 在 9 6 上为减函数 f 3 0 f x 的周期为 6 所以 f 9 f 3 f 3 f 9 0 函数 y f x 在 9 9 上有四个零点 故答案为 点评 本题重点考查函数性质的应用 用到了单调性 周期性 奇偶性 对称轴还有赋值法求函 数值 10 对于各项均为整数的数列 an 如果 ai i i 1 2 3 为完全平方数 则称数列 an 具有 P 性质 不论数列 an 是否具有 P 性质 如果存在与 an 不是同一数列的 bn 且 bn 同时满足 下面两个条件 b1 b2 b3 bn是 a1 a2 a3 an的一个排列 数列 bn 具有 P 性质 则称数列 an 具有 变换 P 性质 下面三个数列 数列 an 的前 n 项和 数列 1 2 3 4 5 1 2 3 11 具有 P 性质 的为 具有 变换 P 性质 的为 考点 数列的应用 第 16 页 共 28 页 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 对于 求出数列 an 的通项 验证 ai i i2 i 1 2 3 为完全平方数 可得结论 对于 数列 1 2 3 4 5 具有 变换 P 性质 数列 bn 为 3 2 1 5 4 具有 P 性质 对于 因为 11 4 都只有与 5 的和才能构成完全平方数 所以 1 2 3 11 不具有 变换 P 性质 解答 解 对于 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n2 n a1 0 ai i i2 i 1 2 3 为完全平方数 数列 an 具有 P 性质 对于 数列 1 2 3 4 5 具有 变换 P 性质 数列 bn 为 3 2 1 5 4 具有 P 性质 数列 an 具有 变换 P 性质 对于 因为 11 4 都只有与 5 的和才能构成完全平方数 所以 1 2 3 11 不具有 变换 P 性质 故答案为 点评 本题考查新定义 考查学生分析解决问题的能力 正确理解新定义是关键 11 下列命题 函数 y sin 2x 的单调减区间为 k k k Z 函数 y cos2x sin2x 图象的一个对称中心为 0 函数 y sin x 在区间 上的值域为 函数 y cosx 的图象可由函数 y sin x 的图象向右平移个单位得到 若方程 sin 2x a 0 在区间 0 上有两个不同的实数解 x1 x2 则 x1 x2 其中正确命题的序号为 考点 正弦函数的单调性 正弦函数的对称性 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 第 17 页 共 28 页 分析 令 2k 可求 利用两角和的余弦公式化简可得 y 令 2x 求出函数的对称中 心 由可得 结合正弦函数的图象可求函数的值域 根据函数的图象平移法则 左加右减的平移法则可得 根据正弦函数的图象结合函数的对称性可得 解答 解 令 2k 解得 k k Z 故 正确 y 令 2x 解得 x k k 0 时函数的一个对称中心 0 正确 y 当 结合正弦函数的图 象可得 y 1 错误 由函数 y sin x 的图象向右平移个单位得到 y sinx 的图象 故 错误 令 y sin 2x 当 x时 2x 若使方程有两解 则两解关 于 x 对称 则 x1 x2 故 正确 故答案为 点评 本题综合考查了三角函数 y Asin x A 0 0 的性质 函数的单调区间的求 解 函数的对称中心的求解 函数在闭区间上的最值的求解及函数图象的平移 还用到了两角和的 余弦公式 而解决本题的关键是要熟练掌握并能灵活运用三角函数的图象 12 在等腰梯形 ABCD 中 已知 AB CD AB 4 BC 2 ABC 60 动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上 且 则 当 时有最小值为 考点 平面向量数量积的运算 专题 综合题 转化思想 向量法 平面向量及应用 第 18 页 共 28 页 分析 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于 的代数式 根据具体的形 式求最值 解答 解 由题意 得到 AD BC CD 2 所以 4 2 cos60 2 2 cos60 4 2 2 2 cos120 2 2 2 当且仅当 时等号成立 故答案为 点评 本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用 基本不等式求最值 关键是正 确表示所求 利用基本不等式求最小值 13 已知变量 x y 满足 则的取值范围是 考点 简单线性规划 专题 数形结合 数形结合法 不等式的解法及应用 分析 作出可行域 变形目标函数可得 1 表示可行域内的点与 A 2 1 连线的斜 率与 1 的和 数形结合可得 解答 解 作出所对应的区域 如图阴影 变形目标函数可得 1 表示可行域内的点与 A 2 1 连线的斜率与 1 的和 由图象可知当直线经过点 B 2 0 时 目标函数取最小值 1 当直线经过点 C 0 2 时 目标函数取最大值 1 第 19 页 共 28 页 故答案为 点评 本题考查简单线性规划 涉及直线的斜率公式 准确作图是解决问题的关键 属中档题 14 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱 AA1 平面 AB1C1 AA1 1 底面 ABC 是边长为 2 的正三角 形 则此三棱柱的体积为 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 空间位置关系与距离 分析 由等积法证明 然后利用棱锥的体积公式求得答案 解答 解 如图 连接 B1C 则 又 AA1 平面 AB1C1 AA1 1 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形 第 20 页 共 28 页 点评 本题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系及体积等基础知识 考查 学生的空间想象能力 推理论证能力及运算求解能力 是中档题 15 抛物线 y2 12x 的焦点为 F 点 P 为抛物线上的动点 点 M 为其准线上的动点 当 FPM 为等 边三角形时 则 FPM 的外接圆的方程为 考点 抛物线的简单性质 专题 综合题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 利用抛物线的定义得出 PM 垂直于抛物线的准线 设 M 3 m 则 P 9 m 求出 PMF 的边长 写出有关点的坐标 得到外心 Q 的坐标 FPM 的外接圆的半径 从而求出其方 程 解答 解 据题意知 PMF 为等边三角形 PF PM PM 抛物线的准线 F 3 0 设 M 3 m 则 P 9 m 等边三角形边长为 12 如图 在直角三角形 APF 中 PF 12 解得外心 Q 的坐标为 3 4 则 FPM 的外接圆的半径为 4 则 FPM 的外接圆的方程为 故答案为 点评 本题主要考查了抛物线的简单性质 直线与抛物线的综合问题 考查了学生综合把握所学 知识和基本的运算能力 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 21 页 共 28 页 16 已知函数 f x 若 f a 求 tan a 的值 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 且满足 2a c cosB bcosC 若 f A 试证明 a2 b2 c2 ab bc ca 考点 正弦定理 两角和与差的正弦函数 专题 计算题 转化思想 分析法 解三角形 分析 由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f x sin 由 f a 解得 sin 1 进而可求 tan 由两角和的正切函数公式即可得解 tan a 的值 结合三角形的内角和定理及诱导公式可得 sin C B sinA 再对已知 2a c cosB bcosC 利用正弦定理化简可求 B 由 f A 及 A 的范围可得 A 进而解得 C A B 即 a b c 即可证明得解 a2 b2 c2 ab bc ca 解答 解 f x sin cos sin f a sin 解得 sin 1 2k k Z 解得 4k k Z tan tan 4k tan tan a 0 证明 A B C 即 C B A sin C B sin A sinA 将 2a c cosB bcosC 利用正弦定理化简得 2sinA sinC cosB sinBcosC 2sinAcosB sinCcosB sinBcosC sin C B sinA 在 ABC 中 0 A sinA 0 第 22 页 共 28 页 cosB 又 0 B 则 B f A sin 解得 sin 0 A 解得 A C A B a b c a2 b2 c2 ab bc ca 得证 点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用 两角和的正切函数公式 三角形的内角和定理 及诱导公式 正弦定理的综合应用 考查了等边三角形的性质 考查了计算能力和转化思想 属于 中档题 17 如图 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 为菱形 PA 平面 ABCD ABC 60 E F 分别是 BC PC 的中点 证明 AE PD 若 H 为 PD 上的动点 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 求二面角 E AF C 的余弦 值 考点 平面与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系 专题 计算题 证明题 分析 1 要证明 AE PD 我们可能证明 AE 面 PAD 由已知易得 AE PA 我们只要能证明 AE AD 即可 由于底面 ABCD 为菱形 故我们可以转化为证明 AE BC 由已知易我们不难得到 结论 2 由 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 我们分析后可得 PA 的值 由 1 的结论 我们进而可以证明平面 PAC 平面 ABCD 则过 E 作 EO AC 于 O 则 EO 平面 PAC 过 O 作 第 23 页 共 28 页 OS AF 于 S 连接 ES 则 ESO 为二面角 E AF C 的平面角 然后我们解三角形 ASO 即可求出二 面角 E AF C 的余弦值 解答 证明 证明 由四边形 ABCD 为菱形 ABC 60 可得 ABC 为正三角形 因为 E 为 BC 的中点 所以 AE BC 又 BC AD 因此 AE AD 因为 PA 平面 ABCD AE 平面 ABCD 所以 PA AE 而 PA 平面 PAD AD 平面 PAD 且 PA AD A 所以 AE 平面 PAD 又 PD 平面 PAD 所以 AE PD 解 设 AB 2 H 为 PD 上任意一点 连接 AH EH 由 知 AE 平面 PAD 则 EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角 在 Rt EAH 中 所以当 AH 最短时 EHA 最大 即当 AH PD 时 EHA 最大 此时 因此 又 AD 2 所以 ADH 45 所以 PA 2 因为 PA 平面 ABCD PA 平面 PAC 所以平面 PAC 平面 ABCD 过 E 作 EO AC 于 O 则 EO 平面 PAC 过 O 作 OS AF 于 S 连接 ES 则 ESO 为二面角 E AF C 的平面角 在 Rt AOE 中 又 F 是 PC 的中点 在 Rt ASO 中 又 第 24 页 共 28 页 在 Rt ESO 中 即所求二面角的余弦值为 点评 求二面角的大小 一般先作出二面角的平面角 此题是利用二面角的平面角的定义作出 ESO 为二面角 E AF C 的平面角 通过解 AOC 所在的三角形求得 ESO 其解题过程为 作 ESO 证 ESO 是二面角的平面角 计算 ESO 简记为 作 证 算 18 已知椭圆 C 的方程是 a b 0 点 A B 分别是椭圆的长轴的左 右端点 左焦点坐标为 4 0 且过点 求椭圆 C 的方程 已知 F 是椭圆 C 的右焦点 以 AF 为直径的圆记为圆 M 试问 过 P 点能否引圆 M 的切线 若能 求出这条切线与 x 轴及圆 M 的弦 PF 所对的劣弧围成的图形的面积 若不能 说明理由 考点 圆与圆锥曲线的综合 椭圆的标准方程 专题 综合题 第 25 页 共 28 页 分析 由题设知 a2 b2 16 即椭圆的方程为 由点在椭 圆上 知 由此能求出椭圆 C 的标准方程 由 A 6 0 F 4 0 知 所以 以 AF 为直径的圆 M 必过点 P 因此 过 P 点能引 出该圆 M 的切线 设切线为 PQ 交 x 轴于 Q 点 又 AF 的中点为 M 1 0 则显然 PQ PM 由此能求出所求的图形面积 解答 解 因为椭圆 C 的方程为 a b 0 a2 b2 16 即椭圆的方程为 点在椭圆上 解得 b2 20 或 b2 15 舍 由此得 a2 36 所以 所求椭圆 C 的标准方程为 由