新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)

基本不等式 知识点 1 1 若 则 2 若 则 当且仅当Rba abba2 22 Rba 2 22 ba ab 时取 ba 2 1 若 则 2 若 则 当且仅当 Rba ab ba 2 Rba abba2 时取 ba 3 若 则 当且仅当时取 Rba 2 2 ba ab ba 3 若 则 当且仅当时取 0 x 1 2x x 1x 若 则 当且仅当时取 0 x 1 2x x 1x 若 则 当且仅当时取 0 x 111 22 2xxx xxx 即或 ba 4 若 则 当且仅当时取 若 则0 ab 2 a b b a ba 0ab 当且仅当时取 22 2 ababab bababa 即或ba 5 若 则 当且仅当时取 Rba 2 2 22 2 baba ba 注意 1 当两个正数的积为定植时 可以求它们的和的最小值 当两个正数的和为定植时 可以求它们的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的条件 一正 二定 三取等 3 均值定理在求最值 比较大小 求变量的取值范围 证明不等式 解决实际问题方面有 广泛的应用 应用一 求最值 例 求下列函数的值域 1 y 3x 2 2 y x 1 2x 2 1 x 解 1 y 3x 2 2 值域为 1 2x 266 2 当 x 0 时 y x 2 2 1 x 当 x 0 时 y x x 2 2 1 x 1 x 值域为 2 2 解题技巧 技巧一 凑项 例 已知 求函数的最大值 5 4 x 1 42 45 yx x 解 因 所以首先要 调整 符号 又不是常数 所以对450 x 1 42 45 x x A 要进行拆 凑项 42x 5 540 4 xx 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 即时 上式等号成立 故当时 1 54 54 x x 1x 1x max 1y 技巧二 凑系数 例 当时 求的最大值 82 yxx 解析 由知 利用均值不等式求最值 必须和为定值或积为定值 此题为两个式子积的形式 但其和不是定值 注意到为定值 故只需将2 82 8xx 凑上一个系数即可 82 yxx 当 即 x 2 时取等号 当 x 2 时 的最大值为 8 82 yxx 变式 设 求函数的最大值 2 3 0 x 23 4xxy 解 2 3 0 x023 x 2 9 2 232 2 23 22 23 4 2 xx xxxxy 当且仅当即时等号成立 232xx 2 3 0 4 3 x 技巧三 分离 技巧四 换元 例 求的值域 2 710 1 1 xx yx x 解析一 本题看似无法运用均值不等式 不妨将分子配方凑出含有 x 1 的项 再将其 分离 当 即时 当且仅当 x 1 时取 号 4 21 59 1 yx x 解析二 本题看似无法运用均值不等式 可先换元 令 t x 1 化简原式在分离求最值 22 1 7 1 10544 5 tttt yt ttt 当 即 t 时 当 t 2 即 x 1 时取 号 4 259yt t 技巧五 在应用最值定理求最值时 若遇等号取不到的情况 结合函数的单 a f xx x 调性 例 求函数的值域 2 2 5 4 x y x 解 令 则 2 4 2 xt t 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4 2 4 xtt t x 因 但解得不在区间 故等号不成立 考虑单调性 1 0 1tt t 1 t t 1t 2 因为在区间单调递增 所以在其子区间为单调递增函数 故 1 yt t 1 2 5 2 y 所以 所求函数的值域为 5 2 技巧六 整体代换 多次连用最值定理求最值时 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 例 已知 且 求的最小值 0 0 xy 19 1 xy xy 错解 且 故 0 0 xy 19 1 xy 199 2212xyxyxy xyxy min12xy 错因 解法中两次连用均值不等式 在等号成立条件是 在2xyxy xy 等号成立条件是即 取等号的条件的不一致 产生错误 因此 199 2 xyxy 19 xy 9yx 在利用均值不等式处理问题时 列出等号成立条件是解题的必要步骤 而且是检验转换是 否有误的一种方法 正解 19 0 0 1xy xy 199 106 1016 yx xyxy xyxy 当且仅当时 上式等号成立 又 可得时 9yx xy 19 1 xy 4 12xy min16xy 技巧七 例 已知x y为正实数 且x 2 1 求x的最大值 y 2 21 y 2 分析 因条件和结论分别是二次和一次 故采用公式ab a 2 b 2 2 同时还应化简中y2前面的系数为 x x x 1 y 2 1 21 y 22 下面将x 分别看成两个因式 x 即x x 3 41 y 22 3 4 2 技巧八 已知a b为正实数 2b ab a 30 求函数y 的最小值 1 ab 分析 这是一个二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化为一元函数 问题 再用单调性或基本不等式求解 对本题来说 这种途径是可行的 二是直接用基本 不等式 对本题来说 因已知条件中既有和的形式 又有积的形式 不能一步到位求出最 值 考虑用基本不等式放缩后 再通过解不等式的途径进行 法一 a ab b 30 2b b 1 30 2b b 1 2 b 2 30b b 1 由a 0 得 0 b 15 令t b 1 1 t 16 ab 2 t 34 t 2 8 2t 2 34t 31 t 16 t 16 t ab 18 y 当且仅当t 4 即b 3 a 6 时 等号成立 1 18 法二 由已知得 30 ab a 2b a 2b 2 30 ab 2 2 ab2 ab 令u 则u2 2u 30 0 5 u 3 ab222 3 ab 18 y ab2 1 18 点评 本题考查不等式的应用 不等式的解法及运算能力 ab ba 2 Rba 如何由已知不等式出发求得的范围 关键是寻找到230abab Rba ab 之间的关系 由此想到不等式 这样将已知条件转换abba与 ab ba 2 Rba 为含的不等式 进而解得的范围 abab 技巧九 取平方 例 求函数的最大值 15 2152 22 yxxx 解析 注意到与的和为定值 21x 52x 22 2152 42 21 52 4 21 52 8yxxxxxx 又 所以0y 02 2y 当且仅当 即时取等号 故 21x 52x 3 2 x max 2 2y 应用二 利用均值不等式证明不等式 例 已知 a b c 且 求证 R 1abc 111 1118 abc 分析 不等式右边数字 8 使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 2 连乘 又 可由此变形入手 112 1 abcbc aaaa 解 a b c 同理 R 1abc 112 1 abcbc aaaa 12 1 ac bb 上述三个不等式两边均为正 分别相乘 得 12 1 ab cc 当且仅当时取等号 111222 1118 bcacab abcabc AA 1 3 abc 应用三 均值不等式与恒成立问题 例 已知且 求使不等式恒成立的实数的取值范围 0 0 xy 19 1 xy xym m 解 令 0 0 xyk xy 19 1 xy 99 1 xyxy kxky 109 1 yx kkxk