中考数学二轮复习 专题练习（下）几何最值问题 新人教版

几何最值问题几何最值问题 1 1 如图 点的正方体左侧面的中心 点是正方体的一个顶点 正 方体的棱长为 ab2 一只蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是 ab a b a 3 b 22 c 10 d 4 答案 答案 c 解析 解析 将正方体展开 连接 根据两点之间 线段最短 可知就是最短路径 过abab 点做垂直于正方形的边长 垂足是点 根据正方形的性质和勾股定理知 aamm 2222 1310abambm 2 2 如图 正方体盒子的棱长为 的中点为 一只蚂蚁从点沿正方体的表面2bcmm 爬到点 蚂蚁爬行的最短距离是 1 d a 17 b 3 c 13 d 25 答案 答案 c 解析 解析 将正方体展 开如图所示 连接 根据两点之间 线段最短 知就是最 1 d m 1 d m 短路径 在中 故 1 rt d dm 1 3 2dmdd 11 13dmdmdd 3 3 如图 是高为的圆柱底面圆上一点 一只蜗牛从点出发 沿角绕圆柱a10cma30 侧面爬行 当他爬到顶上时 他沿圆柱侧面爬行的最短距离是 a 10cm b 20cm c 30cm d 40cm 答案 答案 b 解析 解析 将圆柱延点处展开如下图 根据两点之间 线段最短 可知是要求的最短路aab 径 根据角直角三角形的性质得 30 20abcm 4 4 已知如图 直角梯形中 abcdadbcaabbc 2ad 点在上移动 则当取最小值时 中边5bcdc pbcpapd apd 上的高为 ap d c p b a a 8 b 10 c 2 17 d 8 17 17 答案 答案 d 解析 解析 过点作于点 作点关于点的对称点 连接交ddmbc mab a ad 于点 bcp adbcaabbc 四边形是矩形 abmd 2 adbmabdm 在中 rt cdm 3 5cmcd 由勾股定理知 22 4abdmcdcm 在中 rt aad 2 8adaa 由勾股定理得 2 2 2 17adadaa abdm abpdmp apdp apap 故17ap 在中 apd 11 22 ap dnad dm aa 8 17 17 ad dm dn ap a 5 5 如图 在中 经过点且与边相切的 abc 15ab 12ac 9bc cab 动圆与分别相交于点 则线段长度的最小值是 cbca ef ef e fa b c a 12 5 b 36 5 c 15 2 d 8 答案 答案 b 解析 解析 取的中点 取圆与直线的切点为 连接efoabmocom 15ab 12ac 9bc 222 bcacab 由勾股定理知 是直角三角形 abc 在中 是的中点 efc oef 1 2 ocef 又 oc om ef ocom 当点三点共线且垂直于时 最小 com cmabef 36 5 ac bc efcm ab a 6 6 如图所示 正方形的面积为 是等边三角形 点在正方形abcd12abe e 内 在对角线上有一点 使的和最小 则这个最小值为 abcdacppdpe a 2 3 b 2 6 c 3 d 6 答案 答案 a 解析 解析 四边形是正方形abcd 点关于直线的对称点是点dacb pdpepbpe 根据两点之间 线段最短 当三点共线时最小 等于bpe pdpe be 是等边三角形abe 2 3beab 7 7 如图 在锐角中 的平分线交于abc 454 2bacab bac bc 点分别是和上的动点 则的最小值是 dmn adabbmmn 答案 答案 4 解析 解析 过点作于点bbgac g 是的角平分线adbac 点关于的对称点正好落在上 连接nad nac mn bmmnbmmn 根据点到直线的距离 垂线段最短 知的最小值就是bmmn bg 22 4 24 22 bgab 8 8 已知边长为的正三角形 两顶点分别在平面直角坐标系的轴 轴aabcab xy 的正半轴上滑动 点在第一象限 连结 则的长的最大值是 cococ a 1 3 2 a b 31 2 a c 31 2 a d 2a 答案 答案 c 解析 解析 取的中点 连接 abpoppc 在中 rt aob 11 22 opaba 33 22 pcaca 根据三角形三边性质 ocoppc 当 此时点三点共线 时 最大ocoppc opc oc 31 2 oca 9 9 如图 在平面直角坐标系中 的顶点在轴的正半轴上 顶点的坐rt oab axb 标为 点的坐标为 点为斜边上的一动 点 则33 c 1 0 2 pob 的最小值为 papc a 13 2 b 31 2 c 319 2 d 2 7 答案 答案 b b 解析 解析 如图 作关于的对称点 连接交于 连接 过 作aobdcdobpapd 于 则此时的值最小 dnoa npapc dppa papcpdpccd 33 b 3ab 3oa 60b 由勾股定理得 2 3ob 由三角形面积公 式得 11 22 oaabobam 即 11 332 3 22 am 3 2 am 3 23 2 ad 90amb 60b 30bam 90bao 60oam dnoa 30nda 13 22 anad 由勾股定理得 22 33 3 3 22 dn 1 0 2 c 13 31 22 cn 在 中 由勾股定理得 rt dnca 22 3 331 1 22 dc 即的最小值是 papc 31 2 所以应选 b 10 10 已知菱形的两条对角线分别为和 分别是边 的中点 abcd68mnbccd 是对角线上一点 则的最小值 pbdpmpn 答案 答案 5 解析 解析 作关于的对称点 连接 交于 连接 此时的mbdqnqbdpmpmpnp 值最小 连接 ac 四边形是菱形 abcd acbdqbpmbp 即在上 qab mqbd acmq 为中点 mbc 为中点 qab 为中点 四边形是菱形 ncdabcd bqcd bqcn 四边形 是平行四边形 bqnc nqbc 四边形是菱形 abcd 3coac 4bobd 在 中 由勾股定理得 rt boca5bc 即 5nq 5mpnpqpnpqn 故答案为 5 11 11 1 1 观察发现 如图 1 若点 在直线 同侧 在直线上找一点 使的值abmmpapbp 最小 做法如下 作点关于直线的对称点 连接 与直线的交点就是所bmb ab m 求的点 线段的长度即为的最小值 pab apbp 如图 2 在等边三角形中 点是的中点 是高 在abc2ab eabad 上找一点使 的值最小 做法如下 adp bppe 作点关于的对称点 恰好与点重合 连接 交 于一点 则这点就是所badccead 求的点故 的最小值是多少 p bppe 2 实践运用 如图 3 已知的直径为 的度数为 点是的中点 在直oacd2 ac60 b ac 径 上作出点 使 的值最小 则的值最小 则cdpbpap bpap 的最小值是多少 bpap 3 拓展延伸 如图 4 点是四边形内一点 分别在边 pabcd60abc 2bp ab 上作出点 点 求周长的最小值 bcmnpmn 解析 解析 1 观察发现 如图 2 的长为 的最小值 cebppe 在等边三角形 中 点 是 的中点abc2ab eab ceab 301bcebcabe 33cebe 故答案为 3 2 实践运用 如图 3 过 点作弦 连结 交 于 点 连结 bbecd aecdpoboe oapb becd 平分 即点 与点 关于 对称 cdbeebcd 的度数为 点 是的中点 ac60 b ac 3060bocaoc 30eoc 603090aoe 1oaoe 22aeoa 的长就是 的最小值 aebpap 故答案为 2 3 拓展延伸 如图 4 12 12 如图 在边长为的正方形中 是边上的一点 且 点为4abcdeab3ae q 对角线上的动点 则周长的最小值为 acbeq 答案 答案 6 解析 解析 连接 bdde 四边形是正方形 abcd 点与点关于直线对称 bdac 的长即为的最小值 debqqe 2222 435debqqeadae 周长的最小值 beq 516debe 故答案为 6 13 13 去冬今春 济宁市遭遇了年不遇的大旱 某乡镇为了解决抗旱问题 要在某河道200 建一座水泵站 分别向河的同一侧张村和李村送水 经实地勘查后 工程人员设计图ab 纸时 以河道上的大桥为坐标原点 以河道所在的直线为轴建立直角坐标系 如o2 3 图 两村的坐标分别为 2 3 12 7 ab 1 若从节约经费考虑 水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最 短 o 2 水泵站建在距离大桥多远的地方 可使它到张村 李村的距离相等 o 答案 答案 1 作点关于轴的对成点 连接 则点为 bxeaee12 7 设直线的函数关系式为 则aeykxb 解得 2kb 3 12kb 7 k 1 b 5 当时 0bc 2 35 所以 水泵站建在距离大桥千米的地方 可使所用输水管道最短 5 2 作线段的垂直平分线 交于点 交轴于点 设点的 坐abgfabf2 3gg 标为 2 3 0 在中 rt agda 22222 2 332 agaddg 在中 rt bcga 22222 7 122 3 bgbcgc agbg 解得 2222 327 2 3 2 13 29x 所以 水泵站建在距离大桥千米的地方 可使它到张村 李村的距离相等 9 14 14 如图 已知直线 且与之间的距离为 点到直线的距离为 点 ab ab4aa2b 到直线的距离为 试在直线上找一点 在直线上找一点 b32 30ab ambn 满足且的长度和最短 则此时 mna ammnnb amnb a 6 b 8 c 10 d 12 答案 答案 b b 解析 解析 作点 关于直线 的对称点 连接 交直线 与点 过点 作aaa a b bnn 直线 连接 nm aam 到直线 的距离为 与 之间的距离为 aa2ab4 4aamn 四边形 是平行四边形 aa nm amnba nnba b 过点 作 交 于点 bbeaa aa e 易得 2439ae 2 30ab 235a e 在 中 rt aeba 22 39beabae 在 中 rta eb 22 8a ba ebe 故选 b 15 15 下列图案给出了折叠一个直角边长为 2 的等腰直角三角形纸片 图 1 的全过程 首先 对折 如图 2 折痕交于点 打开后 过点任意折叠 使折痕交cdabddde 于点 如图 3 打开后 如图 4 再沿折叠 如图 5 打开后 折痕如图bceae 6 则折痕和长度的和的最小值是 deae 答案 答案 10 解析 解析 作点关于点的对称点 连接ac a ae ad aeae aedeaede 根据两点之间线段最短 可知的最小值就是aede ad 过点作于点ddfac f 在中 rt adfa 1 3dfaf 22 10adafdf 16 16 如图 正方形中 是上的一点 且 是abcd8ab mdc2dm n 上的一动点 求的最小值与最大值是 acdnmn n m d cb a 解析 解析 找点关于的对称点 dac n m d cb a 由正方形的性质可知 就是点关于的对称点 bdac 连接 由可知 bnbmdnmnbnmnbm 当且仅当 三点共线时 的值最小 该最小值bnmdnmn 为 22 6810 当点在上移动时 有三个特殊的位置我们要考察 nac 与的交点 即取最小值时 bmacdnmn 当点位于点时 na82 17dnmnadam 当点位于点时 故的最大nc8614dnmncdcm dnmn 值为 82 17 17 17 如图 在等腰中 的上一点 满足 在rt abc 3cacb ebc2be 斜边上求作一点使得长度之和最小是 abppcpe e p cb a 解析 解析 e e p cb a 连接 易知 be 2bebe 在中 rt bce 2 2 13cebcbe 18 18 如图 角内有点 在角的两边找两点 均不45aob p2op qr 同于点 使得的周长最小 则最小值是 opqr p o b a 答案 答案 2 解析 解析 r q p p p o b a 分别做点关于直线的对称点 连接交于点 连接p oa ob p p p p oa ob q r 此时的周长最小 pq prpqr 45opopaob 是等腰直角三角形 op p 2op 2pp 的周长最小为pqr 2 19 19 如图 菱形的两条对角线分别长 6 和 8 点 分别是变 的abcdmnabbc 中点 在对角线求作一点使得的值最小 最小值是 acppmpn nm d c b a p 答案 答案 5 解析 解析 n nm d c b a p 作点关于的对称点 连接交于点 根据两点之间线段最短 点nac n mnacp 即为所求的点p 分别是菱形边的中点 m n 点是的中点 ncd 5mnad 20 20 如图 设正的边长为 2 是边上的中点 是边上的任意一点 abc mabpbc 的最大值和最小值分别记为和 求的值 papm st 22 st m p cb a a 4 b 4 3 c 53 d 74 3 答案 答案 b 解析 解析 m m p cb a 作点关于的对称点 连接 mbc m am pm 由点 关于对称可知 m mbc pmpm 故 papmpapmam 当且仅当 共线时 等号成立 故 ap m 22 7tam 另外两个临界位置在点和点处 bc 当点位于点处时 pc23papmaccm 当点位于点处时 pb3papmabbm 故 22 23 74 3s 22 4 3st 本题也可作点关于的对称点 连接 abc a a m pa 21