高考数学集合总复习-数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 导学目标导学目标 1 理解复数的基本概念 2 理解复数相等的充要条件 3 了解复数的代数表示 法及其几何意义 4 会进行复数代数形式的四则运算 5 了解复数代数形式的加 减运算的几 何意义 自主梳理 1 数系的扩充 数系扩充的脉络是 用集合符号表示为 实际上前者是后者的真子集 2 复数的有关概念 1 复数的概念 形如 a bi a b R 的数叫复数 其中 a b 分别是它的 和 若 则 a bi 为实数 若 则 a bi 为虚数 若 则 a bi 为纯虚数 2 复数相等 a bi c di a b c d R 3 共轭复数 a bi 与 c di 共轭 a b c d R 4 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面 叫做实轴 叫做虚 轴 实轴上的点表示 除原点外 虚轴上的点都表示 各象限内的点都 表示 复数集 C 和复平面内 组成的集合是一一对应的 复数集 C 与复平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的 5 复数的模 向量的模 r 叫做复数 z a bi 的模 记作 或 即 OZ z a bi 3 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 则 加法 z1 z2 a bi c di 减法 z1 z2 a bi c di 乘法 z1 z2 a bi c di 除法 z1 z2 a bi c di a bi c di c di c di c di 0 2 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何 z1 z2 z3 C 有 z1 z2 z1 z2 z3 自我检测 1 2011 山东 复数 z i 为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 2 i 2 i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 2011 广东 设复数 z 满足 1 i z 2 其中 i 为虚数单位 则 z 等于 A 1 i B 1 i C 2 2i D 2 2i 3 2011 大纲全国 复数 z 1 i 为 z 的共轭复数 则 z z 1 等于 zz A 2i B i C i D 2i 4 2011 重庆 复数等于 i2 i3 i4 1 i A i B i 1 2 1 2 1 2 1 2 C i D i 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2011 江苏 设复数 z 满足 i z 1 3 2i i 为虚数单位 则 z 的实部是 探究点一 复数的基本概念 例 1 设 m R 复数 z 2 i m2 3 1 i m 2 1 i 1 若 z 为实数 则 m 2 若 z 为纯虚数 则 m 变式迁移 1 已知复数 z a2 5a 6 i a R 试求实数 a 分别取什么值 a2 7a 6 a2 1 时 z 分别为 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 探究点二 复数的四则运算 例 2 2010 全国 复数 2等于 3 i 1 i A 3 4i B 3 4i C 3 4i D 3 4i 变式迁移 2 计算 1 1 i 2 i i3 2 1 2i 2 3 1 i 2 i 3 1 3i 3 i 2 例 3 2011 唐山模拟 计算 2 012 2 3 i 1 2 3i 2 1 i 4 8i 2 4 8i 2 11 7i 变式迁移 3 1 2010 四川 i 是虚数单位 计算 i i2 i3等于 A 1 B 1 C i D i 2 2010 福建 i 是虚数单位 4等于 1 i 1 i A i B i C 1 D 1 3 i 是虚数单位 等于 1 i 1 i 2 1 i 1 i 2 A i B i C 1 D 1 探究点三 复数的点坐标表示 Error 1 复数 a bi 2 乘法法则 a bi c di ac bd ad bc i 除法法则 i c di 0 特别地 a bi a bi c di a bi c di c2 d2 ac bd c2 d2 bc ad c2 d2 2 a2 2abi b2 a2 b2 2abi a bi a bi a2 b2 3 进行复数运算时 熟记以下结果有助于简化运算过程 1 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i in in 1 in 2 in 3 0 n N 2 1 i 2 2i 1 i 2 2i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 江西 若 z 则复数 等于 1 2i iz A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i 2 2010 北京 在复平面内 复数 6 5i 2 3i 对应的点分别为 A B 若 C 为线段 AB 的中点 则点 C 对应的复数是 A 4 8i B 8 2i C 2 4i D 4 i 3 2011 平顶山调研 若 则复数 cos sin sin cos i 在复平面 3 4 5 4 内所对应的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 2011 课标全国 复数的共轭复数是 2 i 1 2i A i B i 3 5 3 5 C i D i 5 下面四个命题 0 比 i 大 两个复数互为共轭复数 当且仅当其和为实数 x yi 1 i 的充要条件为 x y 1 如果让实数 a 与 ai 对应 那么实数集与纯虚数集一一对应 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 已知 z1 2 i z2 1 3i 则复数的虚部为 i z2 z1 7 已知复数 z1 m 2i z2 3 4i 若为实数 则实数 m z1 z2 8 2011 上海九校联考 复数 z x yi x y R 满足 z 1 x 则复数 z 对应的点 Z x y 的轨迹方程为 三 解答题 共 38 分 9 12 分 已知 z z 1 2i 求复数 z 10 12 分 2011 上海 已知复数 z1满足 z1 2 1 i 1 i i 为虚数单位