抓住和式实质巧解数列习题

1 抓住和式实质 巧解数列习题抓住和式实质 巧解数列习题 人教版新课标高中数学必修 5 第 69 页有一道习题 已知 2 9 2 3 33 Sa 从学生们的作业中发现了一类典型错解 见解答一 但欣喜的是也有几个学生qa 与求 1 解答简洁 结果也完全正确 见解答二 解法一解法一 解法二解法二 6 1 2 1 2 1 1 0132 1 2 2 2 9 1 1 1 2 3 1 23 3 1 3 2 13 得代入将 或舍去解得 整理得 解 aq qq qq q qa S qaa 本题编排在新课 等比数列的前 n 项和 之后 学生自然会受到一定的暗示 那就是 用等比数列前 n 项和公式和通项公式 列出关于基本量和的两个方程 然后解方程组 1 aq 即可 这本是一种通法 但为什么那么多学生出错呢 关键是应用等比数列前 n 项公式时 缺少分类讨论的意识 对于公比为 1 的情况 往往忽视 导致丢解 其实解法一还有一个 难点 就是解关于的三次方程 由于学生在初中没有学习立方差公式 高中也没有学 q 故处理 2 式时不能将约去 从而得到一个关于的三次方程 这个方程让学生 1 q q 耗时多 有的学生甚至无法解出 而解法二 避开了分类讨论 避开了三次方程 简洁正 确地解决了该题 能做到这两点 是由于没有用等比数列的前 n 项和公式 而是利用了 其实在有关等比数列的问题中涉及到和的问题时 2 1113213 qaqaaaaaS 若能抓住等比数列前 n 项和的实质 前 n 项相加 则能避开等比数列的求和公式 从而 避开分类讨论 有时还能避开高次方程 从而将问题巧妙解决 下面就举例谈谈和式的巧妙处理 例例 1 1 人教版新课标高中数学必修 5 第 66 页练习题 如果一个等比数列前 5 项的和 等于 10 前 10 项的和等于 50 那么前 15 项的和等于多少 解解 设这个等比数列的公比为q 时 时 或解得 整理得 又 解 6 2 1 2 3 1 2 1 1 012 2 1 2 2 3 1 2 9 11 2 2 13 2 111 3213 aqaq qq qq qaa qaqaa aaaS 时 时 或解得 整理得 又 解 6 2 1 2 3 1 2 1 1 012 2 1 2 2 3 1 2 9 11 2 2 13 2 111 3213 aqaq qq qq qaa qaqaa aaaS 2 1 50 1 5 5 5 5 5 1098765432110 SqSqS aaaaaaaaaaS 5 10 1015 SqSS 同理 21016050 2 16 4 1 10 5 10 1015 105 5 SqSS qqS得代入从而得所以由因为 这里的解答也没有利用前 n 项和公式 而是抓住了前 n 项和的实质 将 S10写成了前 10 项和的形式 然后利用 an am qn m将 S10转化为 1 q5 S5 对于 S15同样处理 避免了讨 论公比是否可能为 1 轻松解决了问题 而且这种解法稍加引申拓展 可以得到关于等比 数列前 n 项和的两个性质 时 成等比数列 nnnnnm n nnm SSSSSqSqSS 232 1 2 1 这样得到的性质 来得自然 学生印象深刻 而且知道性质的用法以及在什么情况下 可用 例例 2 2 一个有穷等比数列的首项为 1 项数为偶数 如果其奇数项的和为 85 其偶数 项的和为 170 求此数列的公比 解解 设该数列的公比为 项数为 n 由题意q 2 170 1 85 42131 nn aaaaaa 3 170 2 131 q aqaqa n 得由 3 2 得 2q 故该数列的公比为 2 本题求公比时没有将奇数项 偶数项 的和用求和公式表示 仍然是抓住了和的实质 奇数项 偶数项 相加 两式相除 很快将公比求出 可见 涉及到和的问题 如果 有几个不同的和式 相加的项数又相同 细心观察和式中相加的项的特点 也许能找到避 开求和公式的解题途径 从本题也可以得到等比数列的一个性质 若项数为偶数 分别为偶数项和奇数项的和 则 奇偶与S S 奇 偶 q S S 例例 3 3 设数列是公比为的等比数列 是它的前 n 项和 若是等差数列 n aq n S n S 求公比 q 解 解 是等差数列 n S 3 1 2 2 1 1 11 n n n nn nnnn a a q qa nNnaa nNnSSSS 公比 的等比数列是公比为数列又 且 且 该题从的实质入手 将和式之间的关系转化为项的关系 得到 从而求出 n S nn aa 1 公比 这种 简洁 是用求和公式无法达到的 在等比数列的习题中 类似的题目很多 大致可以分为如下几类 一类是和式体现的 项数较少 可直接写成几项的和 如本文第一段中的习题 一类是和式体现的项数有某种 规律 或相等 或成倍数关系 常利用 an am qn m进行处理 如例 1 和例 2 一类是利用 和的实质 将和的关系转化为项的关系 如例 3 等差数列也有上面这些类型 而且可以 采用相似方法处理 本文只针对等比数列来讲 是因为它前 n 项和公式涉及到分类讨论 涉及到 从而导致它的计算相对于等差数列来说要难 在具体的问题中 若能抓住等比 n q 数列的实质 抓住求和实质 细心观察 勤于思考 而不是简单地套用公式 则能避开难 点 简洁有效地解决问题 在当前使用新教材 学生们解高次方程的能力比较弱的情况下 这种处理尤显重要 当然本文并不是说不要掌握等比数列的前 n 项和公式 相反地 我们 应该熟练掌握公式 树立分类意识 遇到必须要用公式解决时 必须解决得干净利落 总 而言之 数学的学习不仅仅是公式的简单套用 而是要具体问题具体分析 灵活运用所学 知识解决问题 最后提供几个练习题 5211 243 的通项公式 求已知项和为前的公比设等比数列 nnn aSSaSnqa 2 设等比数列的前 n 项和为 若 求公比的值 n a n S 963 2SSS q 中 求在等比数列 9654321 30603Saaaaaaan 求证 SS SSS 32 2 2 2 为为为为 为为为为为为4 nnnnnn Sn 5 设等比数列 an 的各项均为正数 项数是偶数 它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍 且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍 问数列 lgan 的前多少项和最大 取 lg2 0 3