高考数学集合总复习-一元二次不等式及其解法自主梳理

一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法自主梳理 1 2 2 R b 2a b 2a 自我检测 1 C 2 A 3 A 4 D 5 5 解析 记 f x x2 mx 4 根据题意得 Error 解得 m 5 课堂活动区 例 1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤 1 对不等式变形 使一端为 0 且二次项系数大于 0 即 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c0 2 计算相应的判别式 3 当 0 时 求出相应的一元二次方程的根 4 根据对应二次函数的图象 写出不等式的解集 解 1 两边都乘以 3 得 3x2 6x 20 且方程 3x2 6x 2 0 的解是 x1 1 x2 1 3 3 3 3 所以原不等式的解集是 x 1 x 1 3 3 3 3 2 不等式 9x2 6x 1 0 其相应方程 9x2 6x 1 0 6 2 4 9 0 上述方程有两相等实根 x 1 3 结合二次函数 y 9x2 6x 1 的图象知 原不等式的解集为 R 变式迁移 1 解 1 不等式 2x2 4x 3 0 可转化为 2 x 1 2 10 2x2 4x 30 且方程 3x2 2x 8 0 的解是 x1 2 x2 4 3 所以原不等式的解集是 2 4 3 3 原不等式可转化为 16x2 8x 1 0 即 4x 1 2 0 原不等式的解集为 1 4 例 2 解题导引 1 含参数的一元二次不等式 若二次项系数为常数 可先考虑分解 因式 再对参数进行讨论 若不易因式分解 则可对判别式进行分类讨论 分类要不重不 漏 2 若二次项系数为参数 则应先考虑二次项是否为零 然后再讨论二次项系数不为零 时的情形 以便确定解集的形式 3 其次对方程的根进行讨论 比较大小 以便写出解集 解 上述不等式不一定为一元二次不等式 当 a 0 时为一元一次不等式 当 a 0 时 为一元二次不等式 故应对 a 进行讨论 然后分情况求解 1 a 0 时 解为 x 0 2 a 0 时 4 4a2 当 0 即 0 a 1 时 方程 ax2 2x a 0 的两根为 1 1 a2 a 不等式的解集为 x x 1 1 a2 a 1 1 a2 a 当 0 即 a 1 时 x 当 1 时 x 3 当 a0 即 1 a 0 时 不等式的解集为 x x 1 1 a2 a 1 1 a2 a 0 即 a 1 时 不等式化为 x 1 2 0 解为 x R 且 x 1 0 即 a 1 时 x R 综上所述 当 a 1 时 原不等式的解集为 当 0 a 1 时 解集为 x x0 当 1 a 0 时 解集为 x x 1 1 a2 a 1 1 a2 a 当 a 1 时 解集为 x x R 且 x 1 当 a1 当 a 0 时 原不等式变形为 x x 1 1 时 解得 x 1 1 a a 1 时 解得 x 0 a 1 时 解得 1 x 1 a 当 a0 1 a 1 解不等式可得 x1 1 a 1 a 综上所述 当 a 0 时 不等式解集为 1 1 a 当 a 0 时 不等式解集为 1 当 0 a1 时 不等式解集为 1 1 a 例 3 解题导引 注意等价转化思想的运用 二次不等式在区间上恒成立的问题可转 化为二次函数区间最值问题 解 方法一 f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为 x a 当 a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使 f x a 恒成立 只需 f x min a 即 2a 3 a 解得 3 a0 不等式 2 同解于 4x m0 4x m x2 2x 3 要使原不等式对任意实数 x 恒成立 只要 2x2 8x 6 m 0 对任意实数 x 恒成立 0 即 64 8 6 m 0 整理并解得 m4x p 3 x 1 p x2 4x 3 0 令 g p x 1 p x2 4x 3 则要使它对 0 p 4 均有 g p 0 只要有Error x 3 或 x 1 实数 x 的取值范围为 1 3 课后练习区 1 A 由已知有 x2 1 0 1 2 log Error Error x 1 或 1 x 22 2 D 化简得 P x1 Q x 2 或 x 1 集合 P Q 之间不存在 包含关系 所以 x Q 是 x P 的既不充分又不必要条件 3 D 化简得 M x x2 009 由 M N R M N 2 009 2 010 可知 N x 1 x 2 010 即 1 2 010 是方程 x2 ax b 0 的两个根 所以 b 1 2 010 2 010 a 1 2 010 即 a 2 009 4 C 当 m 1 时 不等式变为 2x 6 0 即 x 3 不符合题意 当 m 1 时 由题意知 Error 化简 得Error 解得 m 13 11 5 B 1 aix 2 1 即 a x2 2aix 0 2 i 即 aix aix 2 0 这个不等式可以化为 x 0 即 0 x 若对每个都成立 则 应最小 x 2 ai 2 ai 2 ai 即 ai应最大 也即是 0 x 2 a1 6 1 2 3 2 解析 由题意知 x a x a 1 x a 1 x a 0 因上式对 x R 都成立 所以 1 4 a2 a 1 0 即 4a2 4a 3 0 所以 a0 时 由 log2x 1 得 x 2 当 x 0 时 由 x2 1 得 x 1 综上可知 x 的取值范围为 1 2 8 2 3 3 2 解析 由导函数图象知当 x0 即 f x 在 0 上为增函数 当 x 0 时 f x 1 等价于 f x2 6 f 2 或 f x2 6 f 3 即 2 x2 6 0 或 0 x2 6 3 解得 x 2 3 3 2 9 解 0 x a x a2 0 2 分 x a x a2 当 a 0 或 a 1 时 原不等式的解集为 4 分 当 a1 时 a a2 此时 a x a2 7 分 当 0 aa2 此时 a2 x a 10 分 综上 当 a1 时 原不等式的解集为 x a x a2 当 0 a 1 时 原不等式的解集为 x a2 x a 当 a 0 或 a 1 时 原不等式解集为 12 分 10 解 由 ax2 bx c 0 的解集为 知 a 0 3 分 x 1 3 x 2 又 2 0 1 3 c a 又 2 为方程 ax2 bx c 0 的两个根 6 分 1 3 即 b a 5 3 b a 5 3 又 b a c a 8 分 c a 2 3 5 3 2 3 不等式 cx2 bx a 0 变为x2 x a0 又 a 0 2x2 5x 3 0 所求不等式的解集为 12 分 x 3 x 1 2 11 解 1 x R 时 有 x2 ax 3 a 0 恒成立 需 a2 4 3 a 0 即 a2 4a 12 0 6 a 2 4 分 2 当 x 2 2 时 设 g x x2 ax 3 a 0 分如下三种情况讨论 如图所示 如图 1 当 g x 的图象恒在 x 轴上方 满足条件时 有 a2 4 3 a 0 即 6 a 2