河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考

1 河北衡水中学河北衡水中学 20192019 届全国高三第一次摸底联考届全国高三第一次摸底联考 理科数学理科数学 本试卷 4 页 23 小题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上相应的位置 2 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 3 回答选择题时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案用 0 5mm 黑 色笔迹签字笔写在答题卡上 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 复数在复平面内对应的点位于 34zi i A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 已知全集 则R 2 2xx A B 20 xx 20 xx C D 20 x xx 或 20 x xx 或 3 某地某所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1 5 倍 为了更好 地对比该校考生的升学情况 统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况 得到如下柱状图 2015 年高考数据统计2018 年高考数据统计 则下列结论正确的是 A 与 2015 年相比 2018 年一本达线人数减少 B 与 2015 年相比 2018 年二本达线人数增加了 0 5 倍 C 与 2015 年相比 2018 年艺体达线人数相同 D 与 2015 年相比 2018 年不上线的人数有所增加 2 4 已知等差数列的公差为 2 前项和为 且 则的值为 n an n S 10 100S 7 a A 11B 12C 13D 14 5 已知是定义在上的奇函数 若时 则时 f xR0 x lnfxxx 0 x f x A B C D lnxx lnxx lnxx lnxx 6 已知椭圆和直线 若过的左焦点和下顶 22 22 10 xy Cab ab 1 43 xy l C 点的直线与平行 则椭圆的离心率为C A B C D 4 5 3 5 3 4 1 5 7 如图 在平行四边形中 对角线与交于点 且 则ABCDACBDO2AEEO ED A B 12 33 ADAB 21 33 ADAB C D 21 33 ADAB 12 33 ADAB 8 某几何体的三视图如图所示 则此几何体 A 有四个两两全等的面 B 有两对相互全等的面 C 只有一对相互全等的面 D 所有面均不全等 9 赵爽是我国古代数学家 天文学家 大约在公元 222 年 赵爽为 周碑算经 一书 作序时 介绍了 勾股圆方图 亦称 赵爽弦图 以弦为边长得到的正方形是由 4 个 全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的 类比 赵爽弦图 可类似地构造 3 如图所示的图形 它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边 三角形 设 若在大等边三角形中随机取一点 则此点取自小等边亚角形22DFAF 的概率是 A B C D 4 13 2 13 13 9 26 3 13 26 10 已知函数 为自然对数的底数 若关于的方程 0 ln 0 x ex f x x x ex 有两个不相等的实根 则的取值范围是 0fxa a A B C D 1a 11a 01a 1a 11 已知双曲线的左 右焦点分别为 过作圆 22 22 10 0 xy ab ab 1 F 2 F 1 F 的切线 交双曲线右支于点 若 则双曲线的渐近线方程 222 xya M 12 45FMF 为 A B C D 2y 3yx yx 2yx 12 如图 在正方体中 点 分别为棱 的中点 点 1111 ABCDABC D EF 1 BB 1 CC 为上底面的中心 过 三点的平面把正方体分为两部分 其中含的部分为OEFO 1 A 不含的部分为 连结和的任一点 设与平面所成角为 1 V 1 A 2 V 1 A 2 VM 1 AM 1111 ABC D 则的最大值为 sin A B 2 2 2 5 5 4 C D 2 6 5 2 6 6 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知实数 满足约束条件 则的最小值为xy 10 240 0 xy xy y 2zxy 14 已知数列 若数列的前项和 则的值为 n a 1 3n n a n 11 6 55 n n T 5 a 15 由数字 0 1 组成的一串数字代码 其中恰好有 7 个 1 3 个 0 则这样的不同数字 代码共有 个 16 已知函数的图像关于直线对称 当 sin2 32 f xxx 2x 时 的最大值为 1 2x f x 三 解答题 共 70 分 解答应写出文学说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为 必考题 每个考试都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 12 分 如图 在中 是边上的一点 ABC PBC60APC 2 3AB 4APPB 1 求的长 BP 2 若 求的值 5 3 4 AC cosACP 18 12 分 在中 分别为 的中点 如图 1 以ABC DEABAC22ABBCCD 为折痕将折起 使点到达点的位置 如图 2 DEADE AP 1 证明 平面平面 BCP CEP 2 若平面平面 求直线与平面所成角的正弦值 DEP BCEDDPBCP 5 如图 1如图 2 19 12 分 某高校为了对 2018 年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学 从大一理工科新生 中随机抽取 40 名 对他们 2018 年高考的数学分数进行分析 研究发现这 40 名新生的数学 分数在内 且其频率满足 其中 x 100 150y10 20 n ya 10101nxn nN 1 求的值 a 2 请画出这 20 名新生高考数学分数的频率分布直方图 并估计这 40 名新生的高考 数学分数的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 3 将此样本的频率估计为总体的概率 随机调查 4 名该校的大一理工科新生 记调 查的 4 名大一理工科新生中 高考数学分数不低于 130 分 的人数为随机变量 求的数学 期望 20 12 分 已知抛物线的焦点为 是上一点 且 2 20E xpy p F 0 2 AyE2AF 1 求的方程 E 2 设点是上异于点的一点 直线与直线交于点 过点作BAAB3yx PP 轴的垂线交于点 证明 直线过定点 xEMBM 21 12 分 已知函数 1 ax fxexaR 1 当时 求证 1a 0f x 2 讨论函数的零点的个数 f x 6 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所 做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系中 以为极点 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线xOyOx 的极坐标方程为 直线 的参数方程为 C 2sin2 cos0aa l 2 2 2 2 2 xt yt 为参数 直线 与曲线分别交于 两点 tlCMN 1 写出曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程 Cl 2 若点的极坐标为 求的值 P 2 5 2PMPN a 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知函数 2fxx 1 求不等式的解集 13fxxfx 2 若函数的值域为 求实数的取值范围 2 log32g xf xf xa Ra 7 参考答案及解析 河北衡水中学 2019 届全国高三第一次摸底联考 理科数学 一 选择题 1 D 解析 复数 对应的点为 位于第四象限 故选 D 3443zi ii 4 3 2 C 解析 由 得 解得 所以 2 2xx 2 20 xx 20 x 或 故选 C 20 U C Mx xx 或 3 D 解析 设 2015 年该校参加高考的人数为 则 2018 年该校参加高考的人数为S 对于选项 A 2015 年一本达线人数为 2018 年一本达线人数为1 5S0 28S 可见一本达线人数增加了 故选项 A 错误 对于选项 B 2015 年二0 24 1 50 36SS 本达线人数为 2018 年二本达线人数为 显然 2018 年二本达线0 32S0 4 1 50 6SS 人数不是增加了 0 5 倍 故选项 B 错误 对于选项 C 2015 年和 2018 年 艺体达线率没变 但是人数是不相同的 故选项 C 错误 对于选项 D 2015 年不上线人数为 2018 年0 32S 不上线人数为 不达线人数有所增加 故选 D 0 28 1 50 42SS 4 C 解析 由及公差为 2 得 所以 故 故选 C 10 100S 1 1a 21 n an 7 13a 5 B 解析 设 则 所以 又因为是定义在0 x 0 x lnfxxx f x 上的奇函数 所以 所以 故选 B R fxfx lnfxxx 6 A 解析 直线 的斜率为 所以 又 所以 故l 3 4 3 4 b c 222 bca 4 5 c e a 选 A 7 C 解析 故 1121 3333 EDEAADACADADABADADAB 选 C 8 B 解析 几何体的直观图为四棱锥 如图 因为 PABCD ADAB PAPA 90BAPDAP 所以 ABP ADP 因为平面 所以 同理 BC ABPBCBP CDDP 因为 所以 又与BPDP CDBC CPCP BCP DCP ABP 不全等 故选 B BCP 8 9 A 解析 在中 由余弦定理 得ABD 3AD 1BD 120ADB 22 2cos12013ABADBDAD BD 所以 2 13 DF AB 所以所求概率为 2 24 1313 DEF ABC S S 故选 A 10 C 解析 画出函数的图像如图所示 由图可知 所以 故 f x10a 01a 选 C 11 A 解析 如图 作于点 于点 因为与圆 1 OAFM A 21 F BFM B 1 FM 相切 所以 222 xya 12 45FMF OAa 又点在双曲线上 所以 2 2F BBMa 2 2 2F Ma 1 2FBb M 整理 得 所以 所以双曲线的渐 12 222 22FMF Mabaa 2ba 2 b a 近线方程为 故选 A 2yx 12 B 解析 连结 因为平面 所以过的平面与平面的EFEFAABCDEFOABCD 交线一定是过点且与平行的直线 过点作交于点 交于OEFOGHBCACDGAB 点 则 连结 则平行四边形即为截面 则五棱柱HGHEFAEHFGEFGH 为 三棱柱为 设点为的任一点 过 1111 AB EHADC FGD 1 VEBHFCG 2 VM 2 V 9 点作底面的垂线 垂足为 连结 则即为与平面M 1111 ABC DN 1 AN 1 MAN 1 AM 所成的角 所以 1111 ABC D 1 MAN 因为 要使的正弦值最大 必须最大 最小 当点与点 1 sin MN AM MN 1 AMM 重合时符合题意 故 故选 B H max 11 max 2 5 sin 5 MNHN AMAH 二 填空题 13 解析 可行域如图所示 3 当直线经过点时 取得最小值 解方程组可得点 22 xz y Az 10 240 xy xy 所以 故填 1 2A min 3z 3 14 16 解析 据题意 得 21 123 11 3336 55 nn n aaaa 所以当时 2n 221 1231 11 3336 55 nn n aaaa 两式相减 得 所以当时 故 111 11 3666 55 nnnn n a 2n 1 2n n a 5 16a 15 120 解析 故填 120 3 100 120C 10 16 4 解析 据题意知 函数的图像关于直线对称 曲线2yx 2x 关于直线对称 所以 所以sin 3 yx 2x 2 32 k kZ 因为 所以 所以 6 k kZ 2 6 sin2 36 f xxx 又与在区间上都为减函数 所以sin 36 yx 2yx 1 2 max 14fxf 三 解答题 17 解 1 由已知 得 1 分120APB 又 2 3AB 4APBP 在中 由余弦定理 ABP 得 4 分 2 2 2 2 3424cos120BPBPBPBP 整理 得 解得 6 分 2 440BPBP 2BP 2 由 1 知 2AP 所以在中 由正弦定理 得 8 分ACP sin60sin ACAP ACP 解得 9 分 3 4 2 sin2 55 3 4 ACP 因为 所以 从而 即是锐角 11 分 5 3 2 4 APAC ACPAPC ACP 所以 12 分 2 43 cos1 55 ACP 18 1 证明 在题图 1 中 因为 且为的中点 由平面22ABBCCD DAB 几何知识 得 1 分90ACB 又因为为的中点 所以 2 分EACDEBCA 在题图 2 中 且 CEDE PEDE CEPEE 所以平面 DE CEP 所以平面 4 分BC CEP 又因为平面 BC BCP 11 所以平面平面 5 分BCP CEP 2 解 因为平面平面 平面平面 平DEP BCEDDEP BCEDDE EP 面 DEPEPDE 所以平面 6 分EP BCED 又因为平面 CE BCED 所以 7 分EPCE 以为坐标原点 分别以 的方向为轴 轴 轴的正方向建立EED EC EP xyz 如图所示的空间直角坐标系 8 分 在题图 1 中 设 则 2BCa 4ABa 2 3ACa 3AECEa DEa 则 0 0 3Pa 0 0D a 0 3 0Ca 2 3 0Baa 所以 9 分 0 3DPaa 2 0 0BCa 0 3 3CPaa 设为平面的法向量 nx y z BCP 则 即 0 0 n BC n CP 20 330 ax ayaz 令 则 所以 11 分1y 1z 0 1 1n 设与平面所成的角为 DPBCP 则 36 sinsin cos 422 n DP a n DPn DP an DP 所以直线与平面所成角的正弦值为 12 分DPBCP 6 4 9 解 1 由题意知 所以的取值为 10 11 12 13 14 11410 n 分 代入 可得 20 10 n ay 3 分 17 01065 0 106 01055 0105 010 aaaaa 12 解得 4 分08 0 a 2 由 1 得 频率分布直方图如图 6 分1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 y 这 40 名新生的高考数学分数的平均数为 812010 014515 0 13520 012525 0 11530 0 105 分 3 由题意可知 且 高考数学分数不低于 130 分 的概率为4 3 2 1 0 所以 10 分25 0 1 015 0 4 1 4B 所以 12 分 1 4 1 4 E 10 1 解 根据题意知 1 分 a py24 因为 所以 2 分2 AF2 2 p ya 联立 解的 41 a y2 p 分 所以的方程为 5 分Eyx4 2 2 证明 方法一 设 由题意 可设直线的方程为 11 y xB 22 y xMBM 代入 得 bkxy yx4 2 044 2 bkxx 3 由根与系数的关系 得 6 分kxx4 21 bxx4 21 由轴及点在直线上 得 xMP P3 xy 3 22 xxP 则由 三点共线 得 8 分APB 2 1 2 4 1 1 2 2 x bkx x x 整理 得 0621421 2121 bxbxkxxk 将 代入上式并整理 得 0322 1 bkx 10 分 由点的任意性 得 所以 B032 bk 3223 xkkkxy 13 即直线恒过定点 12BM 3 2 分 方法二 设 3 ttP 4 2 n nB 则 6 分 4 2 t tM 1 4 2 2 n nAB 4 2 ttAP 由 三点共线 得 ABPAPAB 即 即 8 分 021 4 42 2 t n tn 012222 tnntn 当时 点坐标为 与重合 不合题意 2 nB 1 2 1 2A 当时 2 n01222 tnnt 整理 得 3 24 ntnt 因为 4 44 22 tn nt nt kBM 所以直线的方程为 10 分BM tx tnt y 44 2 结合 得 444 2 ttnt x tn y 44 nt x tn 3 24 nt x tn 32 4 x tn 所以直线恒过定点 12 分BM 3 2 21 1 证明 当时 则 1 分1 a 1 xexf x 1 x exf 由 得 0 x f0 x 当时 当时 0 x 0 x f0 x 0 x f 所以函数在区间内是减函数 在区间内是增函数 3 分 xf 0 0 所以是的极小值点 也是最小值点 且 0 x xf 00 min fxf 故当时 恒成立 5 分1 a 0 xf 14 2 解 据题意 得 1 ax aexf 当时 恒成立 则函数在上是减函数 0 a 0 x f xfR 又 所以函数有且只有一个零点 6 分 00 f xf 当时 由 得 0 a 0 x f aa x 1 ln 1 当时 aa x 1 ln 1 0 x f 当时 aa x 1 ln 1 0 x f 所以在区间内是减函数 在区间内是增函数 xf aa 1 ln 1 1 ln 1 aa 所以是函数的极小值点 也是最小值点 aa x 1 ln 1 xf 即 7 分 1 1 ln 111 ln 1 min aaaaa fxf 令 01ln ttttth 则 ttthlnln11 当时 1 t 0 t h 当时 10 t 0 t h 当时 1 t 0 t h 所以函数在区间内是增函数 在区间内是减函数 th 1 0 1 从而是函数的极大值点 也是最大值点 所以 1 t th 01 hth 即 当且仅当时取等号 9 分 01 1 ln 11 min aaa xf1 a 当 即时 函数只有一个零点 10 分 01 1 ln 11 min aaa xf1 a xf 当 即 且时 分和两种情况 01 1 ln 11 min aaa xf0 a1 a1 a10 a 讨论 i 当时 因为 所以1 a0 1 ln 1 1 aa 0111 axax eef 在区间内有一个零点 又 因此有两个零点 xf aa 1 ln 1 00 f xf 15 ii 当时 10 a0 1 ln 1 aa