中考数学二轮复习 专题练习（下）因动点产生的代数最值问题 新人教版

因动点产生的代数最值问题因动点产生的代数最值问题 1 如图 抛物线 2 23yxx 的图象与x轴交于ab 两点 点a在点b的左边 与y轴交于 点c 点d为抛物线的顶点 1 直接写出abc 三点的坐标 2 点m为线段ab上一点 点m不与点ab 重合 过点m作x轴的垂线 与直线ac交于点 e 与抛物线交于点p 过点p作pqab 交抛物线于点q 过点q作qnx 轴于点n 若点 p在点q左边 当矩形pmnq的周长最大时 求aema的面积 3 在 2 的条件下 当矩形pmnq的周长最大时 连接dq 过抛物线上一点f作y轴的平行线 与直线ac交于点g 点g在点f的上方 若2 2fgdq 求点f的坐标 解析 1 30100 3abc 2 22 23 14 yxxx 抛物线的对称轴为直线1x 设 2 023m xp xxx 其中31x pq 关于直线1x 对称 设q的横坐标为a 则12 1axax 2 223qxxx 2 23222mpxxpqxxx 周长 222 2222328 22210 dxxxxxx 当2x 时 d取最大值 此时2 0231 mam 设直线ac的解析式为ykxb 则 30 3 kb b 解得 1 3 k b 直线ac的解析式为3yx 将2x 代入3yx 得1y 211eem 111 1 1 222 aem sam me a 3 由 2 知 当矩形pmnq的周长最大时 2x 此时点0 3q 与点c重合 3oq 22 23 1414yxxxd 过d作dky 轴于k 则14dkok 43 1qkokoq dkq a是等腰直角三角形 2dq 2 24fgdq 设 2 23f mmm 则3g mm 22 33 23 fgmmmmm 2 34mm 解得 12 41mm 当4m 时 2 235mm 当1m 时 2 23 0mm 45f 或10 2 如图 1 抛物线 2 3 16 yx 平移后过点8 0a 和原点 顶点为b 对称轴与x轴相交于点c 与原 抛物线相交于点d 1 求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积s阴影 2 如图 2 直线ab与y轴相交于点p 点m为线段oa上一动点 pmn 为直角 边mn与 ap相交于点n 设omt 试探究 t为何值时mana为等腰三角形 t为何值时线段pn的长度最小 最小长度是多少 解析 1 平移后的抛物线过原点 设平移后抛物线的解析式为 2 3 16 yxbx 把8 0a 代入 得 2 3 088 16 b 解得 3 2 b 平移后抛物线的解析式为 2 33 162 yxx 12s阴影 提示 过d作dey 轴于e 平移后的抛物线过点8 0a 和原点 平移后的抛物线的对称轴为直线4x 4oc 把4x 代入 2 3 16 yx 得3y 3cd 4 3 12 ocde ss 阴影矩形 2 90mnapmn 当mnan 时mana为等腰三角形 nmabac 9090pmnpmonma 90pmomponmampo bacmpo rt pomrt acb aa omop bcac c 是oa的中点 bcpo 26opbc 6 34 t 解得 9 2 t 当 9 2 t 时mana为等腰三角形 连接qm 作qhoa 于h 则qmqh 即 1 2 pnqh 在rt poaa中 8610oaopap 163 sin 10 6 21010 qhqapaopnpn 1315 6 2102 pnpnpn 当且仅当m与h重合 即qmoa 时线段pn的长度最小 最小长度是15 2 此时 11158 cos3 22210 tpnpao 3 如图 在平面直角坐标系中 已知点a的坐标是4 0 且4oaocob 动点p在过 abc 三点的抛物线上 1 求抛物线的解析式 2 是否存在点p 使得acpa是以ac为直角边的直角三角形 如存在 求出所有符合条件的点 p的坐标 若不 存在 说明理由 3 过动点p作pey 轴于点e 交直线ac于点d 过点d作x轴的垂线 垂足为f 连接 ef 当线段ef的长度最短时 求出点p的坐标 解析 1 由4 0a 可知4oa 441oa ocobocob 0 410cb 设抛物线的解析式为 2 yaxbxc 1640 0 4 abc abc c 解得 1 3 4 a b c 抛物线的解析式为 2 34yxx 2 存在 当c是直角顶点时 作 1 cpac 交抛物线于点 1 p 作 1 pmy 轴于m 11 9090acpmcpaco 1 90oacacomcpoac 1 45oaocmcpoac 111 mcpmpcmcmp 设 2 1 34p mmm 则 2 344mmm 解得 1 0m 舍去 2 2m 2 34 6mm 1 2 6p 当a是直角顶点时 作 2 apac 交抛物线于点 2 p 作 2 p ny 轴于n 2 ap交y轴于q 则 2 p nx 轴 由45cao 得 2 45oap 2 45qp noqoa 2 p nqn 设 2 2 34p nnn 则 2 44 3nnn 解得 12 24nn 舍去 2 346nn 1 26p 综上所述 存在点p使得acpa是以ac为直角边的直角三角形 点p的坐标为2 6 或26 3 连接od 由题意知 四边形ofde为矩形 则odef 根据点到直线的距离垂线段最短 当odac 时od最短 即ef最短 由 1 知 在rt aoca中 4oaoc 则4 2ac 根据等腰三角形的性质 d为ac中点 又 1 2 2 dfocdfoc 点p的纵坐标为2 于是 2 342xx 解得 11 317317 22 xx 当线段ef的长度最短时 点p的坐标为 317 2 2 或 317 2 2 4 如图 在平面直角坐标系中 将抛 物线 2 3 3 yx 先向右平移1个单位 再向下平移 4 3 3 个单位 得 到新的抛物线 2 yaxbxc 该抛物线与y轴交于点b 与x轴正半轴交于点c 1 求点b和点c的坐标 2 如图 1 有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移 平移的速度为每秒1个单位 移动的时间为t秒 直线l与抛物线 2 yaxbxc 交于点p 当点p在x轴上方时 求出使pbc 的面积为2 3的 t值 3 如图 2 将直线bc绕点b逆时针旋转 与x轴交于点10m 与抛物线 2 yaxbxc 交于 点a 在y轴上有一点 2 3 0 3 d 在x轴上另取两点ef 点e在点f的左侧 2ef 线 段ef在x轴上平移 当四边形adef的周长最小时 先简单描述如何确定此时点e的位置 再直接写 出点e的坐标 解析 1 由题意 新的抛物线的解析式为 2 34 3 1 33 yx 当0 x 时 3y 当0y 时 2 34 3 1 0 33 x 解得 12 31xx 舍去 033 0bc 2 22 34 332 3 1 3 3333 yxxx 由题意 点p坐标为 2 32 3 3 33 ttt 过点p作pgy 轴于g 则 pbcocpgobcpbg ssss aaa梯形 22 132 31132 3 2 33333 33 2332233 tttttt 整理得 2 34 0tt 解得 12 41tt 舍去 t 的值是4 3 此题有多种方法 下面给出其中一种方法 将点a沿着与x轴平行的方向向左平移到点 1 a 使 1 2aa 作点d关于x轴的对称点 1 d 连接 1111 adad 与x轴的交点即为点e 点 3 0 7 e 5 如图 已知 直线24abykxk 与抛物线 2 1 2 yx 交于a b两点 1 直线ab总经过一个定点c 请直接写出点c坐标 2 当 1 2 k 时 在直线ab下方的抛物线上求点p 使abpa的面积等于5 3 若在抛物线上存在定点d 使90adb 求点d到直线ab的最大距离 解析 1 2 4 提示 24 24ykxkkx 当2x 时 无论k取何值 4y 直线ab总经过定点2 4c 2 当 1 2 k 时 直线ab的解析式为 1 3 2 yx 令 2 11 3 22 xx 即 2 6 0 xx 解得 12 32xx 点a的横坐标为3 点b的横坐标为2 过点p作pqy 轴交直线ab于点q 设 2 1 2 p mm 则 1 3 2 q mm 2 11 3 22 pqmm 5 abp sa 2 1 2 11 2335 22 mm 整理得 2 2 0mm 解得 12 21mm 点p的坐标为2 2 或 1 1 2 3 设 222 1122 111 222 a xxb xxd tt 联立 2 24 1 2 ykxk yx 消去y得 2 248 0 xkxk 1212 248xxkx xk 过点d作efx 轴 分别过点ab 作y轴的平行线 交ef于点ef 则 1 detx 22 1 11 22 aext 22 22 11 22 dfxtbfxt 由90adb 可得adedbfaa aedf debf 即 ae bfde df 2222 1212 1111 2222 xtxttxxt 2 1212 4 0txx tx x 2 244 0tktk 即 2 22 4 0 k tt 当20t 即2t 时 上式对任意实数k均成立 即点d的坐标与k无关 2 2d 连接2 42 5cdccd 过点d作dhab 垂足为h 则dhcd 当cdab 时 点d到直线ab的距离最大 最大距离为2 5 6 如图 抛物线 2 1 cyaxbxc 经过10a 5 0 4 c 两点 与x轴正半轴交于点b 对 称轴为直线2x 1 求抛物线 1 c的函数表达式 2 设点 25 0 12 d 若f是抛物线 2 1 cyaxbxc 的对称轴上使得adfa的周长取得最小 值的点 过f任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线 1 c于 111222 m xymxy 两点 试探 究 12 11 m fm f 是否为定值 请说明理由 3 将抛物线 1 c作适当平移 得到抛物线 2 2 1 4 cyxh 其中1h 若当1xm 时 yx 恒成立 试求m的最大值 解析 1 抛物线 1 c经过点10a 与x轴正半轴交于点b 对称轴为直线2x 5 0b 把 5 105 00 4 abc 代入 2 yaxbxc 得 0 2550 5 4 abc abc c 解得 1 4 1 5 4 a b c 抛物线 1 c的函数表达式为 2 5 4 1 4 yxx 2 ad 的长是定值 要使adfa周长最小 只需affd 最小 a 与b关于直线2x 对称 只需bffd 最小 又bffdbd f 为bd与直线2x 的交点 由 25 5 00 12 bd 可得直线bd为 525 1212 yx 当2x 时 55 2 44 yf 22 111 5 2 4 m fxy 2 111 15 44 yxx 2 11 91 2 44 yx 2 11 249xy 2 1111 513 49 44 m fyyy 同理 22 13 4 m fy 12 12 121212 13 1111 2 131316913 44164 yy m fm f yyyyy y 设直线 12 m m的函数表达式为ykxb 易得 5 4 2yk x 又 222 24 5 4 9 49xyyky 222 525 4 90 216 ykyk 22 1212 525 49 216 yyky yk 2 2 12 1144 1 44 k m fm fk 故 12 11 m fm f 是定值 其值为1 3 令yx 设其图象与抛物线 2 c交点的横坐标为 00 xx 且 00 xx 抛物线 2 2 1 4 cyxh 可以看作由抛物线 2 1 4 yx 左右平移得到 观察图象可知 随着抛物线 2 c向右不断平移 00 xx 的值不断增大 当1xmyx 恒成立时 m的最大值在 0 x 处取得 当 0 1x 时 对应的 0 x 即为m的最大值 将 0 1x 代入 2 1 4 xhx 得 2 14 h 解得3h 或1h 舍去 2 3 1 4 yx 由 2 1 3 4 xx 解得 00 19xx m 的最大值为9 7 如图 直线33yx 与x轴 y轴分别相交于点ac 经过点c且对称轴为1x 的抛物线 2 yaxbxc 与x轴相交于ab 两点 1 直接写出点ac 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 若点m在线段ab上以每秒1个单位长度的速度由点b向点a运动 同时 点n在线段oc上以 相同的速度由点o向点c运动 当其中一点到达终点时 另一点也随之停止运动 又pnx 轴 交 ac于p 问在运动过程中 线段pm的长度是否存在最小值 若有 试求出最小值 若无 请说明理 由 解析 1 1003ac 2 抛物线 2 yaxbxc 的对称轴为1x 12 2 b ba a 22 2yaxbxcaxaxc 抛物线过点323 01accaaa 且 抛物线的解析式为 2 23yxx 3 由对称性得点30b 设点m运动的时间为t秒03t 则300 p mtntp xt 即331 3 pp t txx 过p作pdx 轴于d 则10 3 t d 3 4 4 1 33 t m t dt 222222 42548144 4 392525 t pmdmdptt 2 pm 的最小值为144 25 线段pm的长度存在最小值 最小值为12 5 8 如图 抛物线 2 1 2 31yx 与x轴交于ab 两点 点a在点b的左侧 与y轴交于点c 顶 点为d 1 求点abd 的坐标 2 连接cd 过原点o作oecd 垂足为h oe与抛物线的对称轴交于点e 连接 aead 求证 aeoadc 3 以 2 中的点e为圆心 1为半径画圆 在对称轴右侧的抛物线上有一动点p 过点p作ea的切 线 切点为q 当pq的长最小时 求点p的坐标 并直接写出点q的坐标 解析 1 顶点d的坐标为31 令0y 得 2 3 1 1 2 0 x 解得 12 3232xx 点a在点b的左侧 32 032 0ab 2 过d作dgy 轴 垂足为g 则013gdg 令0 x 则 77 0 22 yc 1 79 22 cg 设对称轴交x轴于点m 90oecdgcdcoh 90moecohmoegcd 90cgdomedcgeom aa cgdg omem 即 9 3 2 3em 2em 3 23eed 由勾股定理 得 22 36adae 222 3 6 9adaeed aed a是直角三角形 90dae 设ae交cd于点f 则90dafehf afdhfeaeoadc 3 由ea的半径为1 根据勾股定理 得 22 1pqep 要使切线长pq最小 只需ep长最小 即 2 ep最小 设点p坐标为xy 由勾股定理 得 222 32 epxy 22 1 3132 2 2 yxxy 222 2244 15 epyyyy 当1y 时 2 ep最小值为5 把1y 代入 2 1 2 31yx 得 2 1 31 1 2 x 解得 12 15xx 又 点p在对称轴右侧的抛物线上 1 1x 舍去 点p坐标为51 设q mn 则有 2 2 22 m 3 21 5151 n mn 解得 1 1 3 1 m n 2 2 19 5 13 5 m n 此时q点坐标为31 或 1913 55 9 如图 直线2yx 与抛物线 22 2yxmxmm 交于ab 两点 a在b的左侧 与y轴 交于点c 抛物线的顶点为d 抛物线的对称轴与直线ab交于点m 1 若p为直线od上一动点 求apb 的面积 2 当四边形codm是菱形时 求点d的坐标 3 作点b关于直 线md的对称点b 以m为圆心 md为半径作ma 点q是ma上一动点 求 2 2 qbqb 的最小值 解析 1 由 22 2 2 yx yxmxmm 解得 1 1 1 1 xm ym 2 2 2 4 xm ym a 在b的左侧 1124a mmb mm 3 2ab 222 2 yxmxmmxmmd mm 4545doxcod 直线2yx 与y轴交于点0 2cc 2oc 易得直线od的解析式为yx 直线ab的解析式为2yx abod 直线ab与od之间的距离 2 2 2 hoc 11 22 3 22 3 apb sab h a 2 abodocdm 四边形codm是平行四边形 若四边形codm是菱形 则odoc 22 222mm 点d的坐标为22 或22 3 四边形codm是平行四边形 2mqmdoc 1124a mmb mm 点b到对称轴的距离为222 2mmmb 取mb中点e 则2me 2 mqme mbqmebmq 4 又 qmebmq aa 2 2 qeme qbmq 2 2 qeqb 2 2 qbqb 的最小值即为qbqe 的最小值 为线段b e 的长 设直线md与ma相交于另一点f 点b关于